נקודת פיתול - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־06:19, 14 בפברואר 2017

2017-02-14T06:19:55Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:19, 14 בפברואר 2017
שורה 13:		שורה 13:
	לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'\|טיילור]] מתקיים:		לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'\|טיילור]] מתקיים:

	:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\~~frac~~{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>.		:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>.

	ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו		ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו

	:<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\~~frac~~{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>		:<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>

	כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>a</math> , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>		כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>a</math> , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

יהודה שמחה ב־12:43, 4 בנובמבר 2016

2016-11-04T12:43:49Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:43, 4 בנובמבר 2016
שורה 2:		שורה 2:
	תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> .		תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> .

	<math>a</math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של <math>a</math> הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- <math>a</math>, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.		<math>a</math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של <math>a</math> הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- <math>a</math> , ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.

	==מציאת נקודות פיתול==		==מציאת נקודות פיתול==
	נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה\|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה\|לסווג]] אותן.		נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה\|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה\|לסווג]] אותן.

	~~'''~~משפט:~~'''~~		;משפט:
	תהי <math>f</math> גזירה פעמיים בסביבת <math>a</math> כך שמצד אחד של <math>a</math> הנגזרת ~~השנייה~~ אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי <math>a</math> נקודת פיתול של <math>f</math>.		תהי <math>f</math> גזירה פעמיים בסביבת <math>a</math> כך שמצד אחד של <math>a</math> הנגזרת השניה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי <math>a</math> נקודת פיתול של <math>f</math> .

	~~'''הוכחה:'''~~

			;הוכחה:
	לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'\|טיילור]] מתקיים:		לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'\|טיילור]] מתקיים:

	:<math>f(x)=f(a)+f'(a)~~\cdot~~ (x-a)+\frac{f''(c)}{2}~~\cdot~~ (x-a)^2</math>.		:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>.

	ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו		ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו

	:<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)~~\cdot~~ (x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}~~\cdot~~ (x-a)^2</math>		:<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>

	כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>ש</math>, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>		כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>a</math> , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

יהודה שמחה ב־23:58, 26 בינואר 2016

2016-01-26T23:58:08Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:58, 26 בינואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	==הגדרה==		==הגדרה==
	תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a.		תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> .

	a נקראת נקודת פיתול קיימת סביבה שלה כך ~~שבצד~~ אחד של a הפונקציה ~~f גבוהה~~ או שווה למשיק ל-a, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.		<math>a</math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של <math>a</math> הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- <math>a</math>, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.

	==מציאת נקודות פיתול==		==מציאת נקודות פיתול==
	נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה\|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה\|לסווג]] אותן.		נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה\|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה\|לסווג]] אותן.

	'''משפט.'''		'''משפט:'''
	תהי f גזירה פעמיים ~~בסביבה של~~ a כך ~~שבצד~~ אחד של a ~~בסביבה~~ הנגזרת השנייה אי שלילית ובצד השני אי חיובית, אזי a נקודת פיתול של f.		תהי <math>f</math> גזירה פעמיים בסביבת <math>a</math> כך שמצד אחד של <math>a</math> הנגזרת השנייה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי <math>a</math> נקודת פיתול של <math>f</math>.

	'''הוכחה.'''		'''הוכחה:'''

	לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'\|טיילור]] מתקיים:		לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'\|טיילור]] מתקיים:

	::<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>.		:<math>f(x)=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math>.

			ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו

	~~ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה~~ a ~~הינו~~		:<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math>

	::<math>~~f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\frac{f''(~~c~~)}{2}(~~x-~~a)^2~~</math>		כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>ש</math>, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

	~~כיוון שהנקודה c נמצא בין x לבין a~~, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי שלילי ~~בצד~~ אחד, ואי חיובי ~~בצד~~ השני ולכן a ~~הינה~~ נקודת פיתול כפי שרצינו.

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. a נקראת נקודת פיתול קיימת סביבה שלה כך שבצד אחד..."

2012-03-08T00:26:48Z

יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. a נקראת נקודת פיתול קיימת סביבה שלה כך שבצד אחד..."

דף חדש

==הגדרה==
תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a.

a נקראת נקודת פיתול קיימת סביבה שלה כך שבצד אחד של a הפונקציה f גבוהה או שווה למשיק ל-a, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.

==מציאת נקודות פיתול==
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה|לסווג]] אותן.

'''משפט.'''
תהי f גזירה פעמיים בסביבה של a כך שבצד אחד של a בסביבה הנגזרת השנייה אי שלילית ובצד השני אי חיובית, אזי a נקודת פיתול של f.

'''הוכחה.'''

לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים:

::<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>.

ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה a הינו

::<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>

כיוון שהנקודה c נמצא בין x לבין a, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי שלילי בצד אחד, ואי חיובי בצד השני ולכן a הינה נקודת פיתול כפי שרצינו.