סיווג נקודה חשודה - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־06:24, 14 בפברואר 2017

2017-02-14T06:24:46Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:24, 14 בפברואר 2017
שורה 6:		שורה 6:
	==סיווג נקודות חשודות==		==סיווג נקודות חשודות==
	'''משפט:''' תהי <math>f</math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1</math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי		'''משפט:''' תהי <math>f</math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1</math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי
	:<math>f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0~~</math>~~		:<math>\begin{align}f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0\\f^{(n+1)}(a)\ne0\end{align}</math>

	~~:<math>~~f^{(n+1)}(a)\~~ne 0~~</math>

	אזי:		אזי:
שורה 18:		שורה 16:
	לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'\|טיילור]] לכל <math>x</math> בסביבה קיימת נקודה <math>c</math> בין <math>x</math> לבין <math>a</math> כך ש:		לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'\|טיילור]] לכל <math>x</math> בסביבה קיימת נקודה <math>c</math> בין <math>x</math> לבין <math>a</math> כך ש:

	:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\~~frac~~{f^{(n)}(a)}{n!}+\~~frac~~{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>		:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}+\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>

	אבל לפי ההנחה כי <math>n</math> הנגזרות הראשונות ~~מתאפסת~~ ב- <math>a</math>, מתקיים		אבל לפי ההנחה כי <math>n</math> הנגזרות הראשונות מתאפסות ב- <math>a</math> , מתקיים

	:<math>f(x)-f(a)=\~~frac~~{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>		:<math>f(x)-f(a)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>

	לכן, אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת ~~סביבה של~~ <math>a</math> בה <math>f^{(n+1)}>0</math> ולכן לכל <math>x</math> בסביבה זו מתקיים:		לכן, אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבת <math>a</math> בה <math>f^{(n+1)}>0</math> ולכן לכל <math>x</math> בסביבה מתקיים:

	:<math>f(x)-f(a)\~~ge 0~~</math>		:<math>f(x)-f(a)\ge0</math>

	שכן <math>(x-a)^{(n+1)}\~~ge 0~~</math> תמיד עבור <math>n+1</math> זוגי.		שכן <math>(x-a)^{(n+1)}\ge0</math> תמיד עבור <math>n+1</math> זוגי.

	כלומר אם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי <math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון\|נקודת מינימום]]'''.		כלומר אם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי <math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון\|נקודת מינימום]]'''.
שורה 36:		שורה 34:
	אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה.		אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה.

	כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע ~~בסביבה של~~ <math>a</math> , סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math> .		כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבת <math>a</math> , סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math> .

	אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math> , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.		אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math> , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.

יהודה שמחה ב־12:40, 4 בנובמבר 2016

2016-11-04T12:40:29Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:40, 4 בנובמבר 2016
שורה 6:		שורה 6:
	==סיווג נקודות חשודות==		==סיווג נקודות חשודות==
	'''משפט:''' תהי <math>f</math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1</math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי		'''משפט:''' תהי <math>f</math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1</math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי
	:<math>f'(a)=f''(a)=\~~ldots~~=f^{(n)}(a)=0</math>		:<math>f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0</math>

	:<math>f^{(n+1)}(a)\ne 0</math>		:<math>f^{(n+1)}(a)\ne 0</math>
שורה 16:		שורה 16:

	==='''הוכחה:'''===		==='''הוכחה:'''===
	לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'\|טיילור]] לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:		לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'\|טיילור]] לכל <math>x</math> בסביבה קיימת נקודה <math>c</math> בין <math>x</math> לבין <math>a</math> כך ש:

	:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>		:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
שורה 36:		שורה 36:
	אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה.		אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה.

	כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבה של <math>a</math>, סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math>.		כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבה של <math>a</math> , סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math> .

	אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math>, ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.		אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math> , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.

יהודה שמחה ב־17:11, 27 בינואר 2016

2016-01-27T17:11:16Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:11, 27 בינואר 2016
שורה 2:		שורה 2:

	==הגדרת נקודה חשודה==		==הגדרת נקודה חשודה==
	תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חשודה אם <math>f'(x)=0</math> או שהנגזרת אינה מוגדרת ב-x		תהי <math>f</math> פונקציה ממשית. נקודה <math>x</math> בתחום ההגדרה של <math>f</math> נקראת חשודה אם <math>f'(x)=0</math> או שהנגזרת אינה מוגדרת ב- <math>x</math> .

	==סיווג נקודות חשודות==		==סיווג נקודות חשודות==
	'''משפט.''' תהי f פונקציה הגזירה '''ברציפות''' n+1 פעמים בסביבת הנקודה a. עוד נניח כי		'''משפט:''' תהי <math>f</math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1</math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי
	::<math>f'(a)=f''(a)=~~...~~=f^{(n)}(a)=0</math>		:<math>f'(a)=f''(a)=\ldots=f^{(n)}(a)=0</math>

	::<math>f^{(n+1)}(a)\~~neq~~ 0</math>		:<math>f^{(n+1)}(a)\ne 0</math>

	אזי:		אזי:
	*אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון\|נקודת מינימום מקומי]]'''		*אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי <math>a</math> '''[[נקודת קיצון\|נקודת מינימום מקומי]]'''.
	*אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון\|נקודת מקסימום מקומי]]'''		*אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math> אזי <math>a</math> '''[[נקודת קיצון\|נקודת מקסימום מקומי]]'''.
	*אם 1+n אי זוגי אזי a [[נקודת פיתול]]		*אם <math>n+1</math> אי-זוגי אזי <math>a</math> [[נקודת פיתול]].


	~~'''הוכחה~~.~~'''~~


			==='''הוכחה:'''===
	לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'\|טיילור]] לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:		לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'\|טיילור]] לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:

	::<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+~~...~~+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+~~\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>~~		:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>

	~~אבל לפי ההנחה כי n הנגזרות הראשונות מתאפסת ב-a, מתקיים~~

	~~::<math>f(x)-f(a)=~~\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>

	~~לכן, אם n+1 זוגי וגם~~ <math>~~f^{(~~n~~+1)}(a)>0~~</math> ~~לפי רציפות הנגזרת השנייה קיימת סביבה של a בה~~ <math>~~f^{(n+1)}>0~~</math> ~~ולכן לכל x בסביבה זו~~ מתקיים:		אבל לפי ההנחה כי <math>n</math> הנגזרות הראשונות מתאפסת ב- <math>a</math>, מתקיים

	::<math>f(x)-f(a)\~~geq 0~~</math>		:<math>f(x)-f(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>

	~~שכן~~ <math>(x-a)^{(n+1)}~~\geq~~ 0</math> ~~תמיד עבור n+1 זוגי.~~		לכן, אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבה של <math>a</math> בה <math>f^{(n+1)}>0</math> ולכן לכל <math>x</math> בסביבה זו מתקיים:

			:<math>f(x)-f(a)\ge 0</math>

	~~כלומר אם~~ <math>f^{(n+1)}~~(a)~~>0</math> ~~אזי x הינה '''[[נקודת קיצון\|נקודת מינימום]]'''~~		שכן <math>(x-a)^{(n+1)}\ge 0</math> תמיד עבור <math>n+1</math> זוגי.

	~~באופן דומה,~~ אם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math> אזי x ~~הינה~~ '''[[נקודת קיצון\|נקודת ~~מקסימום~~]]'''		כלומר אם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי <math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון\|נקודת מינימום]]'''.

			באופן דומה, אם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math> אזי <math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון\|נקודת מקסימום]]'''.

	אם n+1 אי זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.		אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה.

	~~כיוון~~ שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבה של a, סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math>.		כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבה של <math>a</math>, סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math>.

	אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב-a ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math>, ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן a ~~הינה~~ '''[[נקודת פיתול]]'''		אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math>, ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.

אריק1111: /* סיווג נקודות חשודות */

2012-08-02T11:04:36Z

סיווג נקודות חשודות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:04, 2 באוגוסט 2012
שורה 13:		שורה 13:
	*אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון\|נקודת מינימום מקומי]]'''		*אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון\|נקודת מינימום מקומי]]'''
	*אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון\|נקודת מקסימום מקומי]]'''		*אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון\|נקודת מקסימום מקומי]]'''
	*אם n אי זוגי אזי a [[נקודת פיתול]]		*אם 1+n אי זוגי אזי a [[נקודת פיתול]]

ארז שיינר: /* סיווג נקודות חשודות */

2012-03-08T00:09:07Z

סיווג נקודות חשודות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:09, 8 במרץ 2012
שורה 41:		שורה 41:
	אם n+1 אי זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.		אם n+1 אי זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.

	~~לכן באופן~~		כיוון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבה של a, סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math>.

			אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב-a ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math>, ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן a הינה '''[[נקודת פיתול]]'''

ארז שיינר: /* סיווג נקודות חשודות */

2012-03-07T21:47:44Z

סיווג נקודות חשודות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:47, 7 במרץ 2012
שורה 5:		שורה 5:

	==סיווג נקודות חשודות==		==סיווג נקודות חשודות==
			'''משפט.''' תהי f פונקציה הגזירה '''ברציפות''' n+1 פעמים בסביבת הנקודה a. עוד נניח כי
			::<math>f'(a)=f''(a)=...=f^{(n)}(a)=0</math>

			::<math>f^{(n+1)}(a)\neq 0</math>

			אזי:
			*אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון\|נקודת מינימום מקומי]]'''
			*אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון\|נקודת מקסימום מקומי]]'''
			*אם n אי זוגי אזי a [[נקודת פיתול]]


			'''הוכחה.'''


			לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'\|טיילור]] לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:

			::<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>

			אבל לפי ההנחה כי n הנגזרות הראשונות מתאפסת ב-a, מתקיים

			::<math>f(x)-f(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>

			לכן, אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השנייה קיימת סביבה של a בה <math>f^{(n+1)}>0</math> ולכן לכל x בסביבה זו מתקיים:

			::<math>f(x)-f(a)\geq 0</math>

			שכן <math>(x-a)^{(n+1)}\geq 0</math> תמיד עבור n+1 זוגי.


			כלומר אם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי x הינה '''[[נקודת קיצון\|נקודת מינימום]]'''

			באופן דומה, אם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math> אזי x הינה '''[[נקודת קיצון\|נקודת מקסימום]]'''


			אם n+1 אי זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.

			לכן באופן

ארז שיינר: /* סיווג נקודות חשודות */

2012-03-07T21:14:25Z

סיווג נקודות חשודות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:14, 7 במרץ 2012
שורה 5:		שורה 5:

	==סיווג נקודות חשודות==		==סיווג נקודות חשודות==
	~~===נקודות המאפסות את הנגזרת===~~

	~~===נקודות בהן הנגזרת אינה מוגדרת===~~
	~~אם הנגזרת אינה מוגדרת ב-x אזי:~~

	*אם הנגזרת חיובית מצד ימין של x ושלילית משמאל בסביבה אזי x [[נקודת קיצון\|נקודת מינימום]]
	*אם הנגזרת שלילית מצד שמאל של x וחיובית מימין בסביבה אזי x [[נקודת קיצון\|נקודת מקסימום]]

	~~אם המקרים האלה הללו אינם מתקיימים באף סביבה של הנקודה אזי יש לבחון כל מקרה לגופו.~~

ארז שיינר: /* נקודות בהן הנגזרת אינה מוגדרת */

2012-03-07T21:09:08Z

נקודות בהן הנגזרת אינה מוגדרת

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:09, 7 במרץ 2012
שורה 10:		שורה 10:
	אם הנגזרת אינה מוגדרת ב-x אזי:		אם הנגזרת אינה מוגדרת ב-x אזי:

	*אם הנגזרת חיובית מצד ימין של x ושלילית משמאל בסביבה אזי x נקודת מינימום		*אם הנגזרת חיובית מצד ימין של x ושלילית משמאל בסביבה אזי x [[נקודת קיצון\|נקודת מינימום]]
	*אם הנגזרת שלילית מצד שמאל של x וחיובית מימין בסביבה אזי x נקודת מקסימום		*אם הנגזרת שלילית מצד שמאל של x וחיובית מימין בסביבה אזי x [[נקודת קיצון\|נקודת מקסימום]]

	אם המקרים האלה הללו אינם מתקיימים באף סביבה של הנקודה אזי יש לבחון כל מקרה לגופו.		אם המקרים האלה הללו אינם מתקיימים באף סביבה של הנקודה אזי יש לבחון כל מקרה לגופו.

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "קטגוריה:אינפי ==הגדרת נקודה חשודה== תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חש..."

2012-03-07T21:08:30Z

יצירת דף עם התוכן "קטגוריה:אינפי ==הגדרת נקודה חשודה== תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חש..."

דף חדש

[[קטגוריה:אינפי]]

==הגדרת נקודה חשודה==
תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חשודה אם <math>f'(x)=0</math> או שהנגזרת אינה מוגדרת ב-x

==סיווג נקודות חשודות==
===נקודות המאפסות את הנגזרת===

===נקודות בהן הנגזרת אינה מוגדרת===
אם הנגזרת אינה מוגדרת ב-x אזי:

*אם הנגזרת חיובית מצד ימין של x ושלילית משמאל בסביבה אזי x נקודת מינימום
*אם הנגזרת שלילית מצד שמאל של x וחיובית מימין בסביבה אזי x נקודת מקסימום

אם המקרים האלה הללו אינם מתקיימים באף סביבה של הנקודה אזי יש לבחון כל מקרה לגופו.