ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים - היסטוריית גרסאות

גיא ב־10:39, 5 בינואר 2013

2013-01-05T10:39:56Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:39, 5 בינואר 2013
שורה 68:		שורה 68:
	2. נחשב את המטריצה המייצגת <math>A</math>.		2. נחשב את המטריצה המייצגת <math>A</math>.

	3. נרכיב את המשוואה <math>det(\lambda I-A)=0</math>. זוהי משוואה ממעלה <math>n</math>		3. נרכיב את המשוואה <math>det(\lambda I-A)=0</math>. זוהי משוואה ממעלה <math>n</math> עם משתנה יחיד <math>\lambda</math>.

	4. נחפש פתרונות <math>\lambda_1,...,\lambda_s</math>, שהם הע"ע של <math>T</math>.		4. נחפש פתרונות <math>\lambda_1,...,\lambda_s</math>, שהם הע"ע של <math>T</math>.

גיא ב־10:39, 5 בינואר 2013

2013-01-05T10:39:22Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:39, 5 בינואר 2013
שורה 60:		שורה 60:

	יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי, יהי <math>B</math> בסיס של <math>V</math> ותהי <math>A=[T]_B</math> המטריצה המייצגת של <math>T</math> יחסית לבסיס <math>B</math>. אזי אם <math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math>, אז <math>\lambda</math> הוא גם ע"ע של <math>A</math>.		יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי, יהי <math>B</math> בסיס של <math>V</math> ותהי <math>A=[T]_B</math> המטריצה המייצגת של <math>T</math> יחסית לבסיס <math>B</math>. אזי אם <math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math>, אז <math>\lambda</math> הוא גם ע"ע של <math>A</math>.


			'''אלגוריתם לחיפוש ע"ע של אופרטור לינארי <math>T:V\rightarrow V</math>:'''

			1. נבחר בסיס <math>B</math> של <math>V</math>.

			2. נחשב את המטריצה המייצגת <math>A</math>.

			3. נרכיב את המשוואה <math>det(\lambda I-A)=0</math>. זוהי משוואה ממעלה <math>n</math>

			4. נחפש פתרונות <math>\lambda_1,...,\lambda_s</math>, שהם הע"ע של <math>T</math>.

גיא ב־10:36, 5 בינואר 2013

2013-01-05T10:36:15Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:36, 5 בינואר 2013
שורה 42:		שורה 42:
	'' <math>A=I_n</math>.''		'' <math>A=I_n</math>.''

	שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)={1}</math>.		שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)=\left \{1 \right \}</math>.

	שיטה שנייה: לפי המשפט.		שיטה שנייה: לפי המשפט.

גיא ב־10:22, 5 בינואר 2013

2013-01-05T10:22:36Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:22, 5 בינואר 2013
שורה 55:		שורה 55:

	יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Tv=T(v)=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא ו"ע של <math>T</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>.		יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Tv=T(v)=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא ו"ע של <math>T</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>.


			'''משפט:'''

			יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי, יהי <math>B</math> בסיס של <math>V</math> ותהי <math>A=[T]_B</math> המטריצה המייצגת של <math>T</math> יחסית לבסיס <math>B</math>. אזי אם <math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math>, אז <math>\lambda</math> הוא גם ע"ע של <math>A</math>.

גיא ב־10:20, 5 בינואר 2013

2013-01-05T10:20:23Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:20, 5 בינואר 2013
שורה 14:		שורה 14:
	'''הגדרה:'''		'''הגדרה:'''

	תהי <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math>. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ערך עצמי של <math>A</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Av=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא וקטור עצמי של <math>A</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>.		תהי <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math>. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ערך עצמי (ע"ע) של <math>A</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Av=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של <math>A</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>.


	'''הגדרה:'''		'''הגדרה:'''

	אוסף כל ~~הערכים העצמיים~~ של <math>A</math> נקרא הספקטרום של <math>A</math>, ומסומן <math>spec(A)</math>.		אוסף כל הע"ע של <math>A</math> נקרא הספקטרום של <math>A</math>, ומסומן <math>spec(A)</math>.

	''הערה:''		''הערה:''
שורה 38:		שורה 38:


	'''~~דוגמות~~ למציאת ע"ע:'''		'''דוגמה למציאת ע"ע:'''

	''1. <math>A=I_n</math>.''		'' <math>A=I_n</math>.''

	שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)={1}</math>.		שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)={1}</math>.
שורה 50:		שורה 50:
	0 & & \lambda-1		0 & & \lambda-1
	\end{pmatrix}</math>, כלומר <math>det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n</math>, ומכאן <math>(\lambda-1)^n=0</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\lambda=1</math>.		\end{pmatrix}</math>, כלומר <math>det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n</math>, ומכאן <math>(\lambda-1)^n=0</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\lambda=1</math>.


			'''הגדרה:'''

			יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Tv=T(v)=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא ו"ע של <math>T</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>.

גיא ב־10:17, 5 בינואר 2013

2013-01-05T10:17:14Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:17, 5 בינואר 2013
שורה 49:		שורה 49:
	& \ddots & \\		& \ddots & \\
	0 & & \lambda-1		0 & & \lambda-1
	\end{pmatrix}</math>, כלומר <math>det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n</math>, ומכאן <math>(lambda-1)^n=0</math> <math>Leftrightarrow</math> <math>\lambda=1</math>.		\end{pmatrix}</math>, כלומר <math>det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n</math>, ומכאן <math>(\lambda-1)^n=0</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\lambda=1</math>.

גיא ב־10:16, 5 בינואר 2013

2013-01-05T10:16:53Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:16, 5 בינואר 2013
שורה 43:		שורה 43:

	שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)={1}</math>.		שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)={1}</math>.

			שיטה שנייה: לפי המשפט.
			<math>\lambda I_n-I_n=\begin{pmatrix}
			\lambda-1 & &0 \\
			& \ddots & \\
			0 & & \lambda-1
			\end{pmatrix}</math>, כלומר <math>det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n</math>, ומכאן <math>(lambda-1)^n=0</math> <math>Leftrightarrow</math> <math>\lambda=1</math>.

גיא ב־10:12, 5 בינואר 2013

2013-01-05T10:12:53Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:12, 5 בינואר 2013
שורה 36:		שורה 36:

	<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של מטריצה <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math> אם ורק אם <math>det(\lambda I-A)=0</math>.		<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של מטריצה <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math> אם ורק אם <math>det(\lambda I-A)=0</math>.


			'''דוגמות למציאת ע"ע:'''

			''1. <math>A=I_n</math>.''

			שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)={1}</math>.

גיא ב־10:09, 5 בינואר 2013

2013-01-05T10:09:05Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:09, 5 בינואר 2013
שורה 31:		שורה 31:
	''הערה:''		''הערה:''
	<math>A</math> אינה הפיכה אם ורק אם <math>det(A)=0</math>.		<math>A</math> אינה הפיכה אם ורק אם <math>det(A)=0</math>.


			'''משפט:'''

			<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של מטריצה <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math> אם ורק אם <math>det(\lambda I-A)=0</math>.

גיא ב־10:07, 5 בינואר 2013

2013-01-05T10:07:13Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:07, 5 בינואר 2013
שורה 20:		שורה 20:

	אוסף כל הערכים העצמיים של <math>A</math> נקרא הספקטרום של <math>A</math>, ומסומן <math>spec(A)</math>.		אוסף כל הערכים העצמיים של <math>A</math> נקרא הספקטרום של <math>A</math>, ומסומן <math>spec(A)</math>.


	''הערה:''		''הערה:''
שורה 29:		שורה 28:

	<math>\lambda=0</math> הוא ע"ע של <math>A</math> אם ורק אם <math>A</math> אינה הפיכה.		<math>\lambda=0</math> הוא ע"ע של <math>A</math> אם ורק אם <math>A</math> אינה הפיכה.


	''הערה:''		''הערה:''
	<math>A</math> אינה הפיכה אם ורק אם <math>det(A)=0</math>.		<math>A</math> אינה הפיכה אם ורק אם <math>det(A)=0</math>.