פונקצית האקספוננט - היסטוריית גרסאות

Erez1: /* הגדרת פונקצית האקספוננט */

2022-10-23T15:32:17Z

הגדרת פונקצית האקספוננט

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:32, 23 באוקטובר 2022
שורה 29:		שורה 29:
	:<math>a^b = e^{b\ln (a)}</math>		:<math>a^b = e^{b\ln (a)}</math>

	כאשר <math>\ln</math> היא הפונקציה ההופכית לאקספוננט בממשיים. (כמובן שעלינו להוכיח כי פונקצית האקספוננט <math>e^x:\mathbb{R}\to \~~mathbb{R}~~</math> הפיכה.)		כאשר <math>\ln</math> היא הפונקציה ההופכית לאקספוננט בממשיים. (כמובן שעלינו להוכיח כי פונקצית האקספוננט <math>e^x:\mathbb{R}\to (0,\infty)</math> הפיכה.)

	שימו לב שחזקה טבעית של מספר מוגדרת באופן הרגיל כמכפלת המספר בעצמו מספר פעמים, אנחנו משתמשים בזה בטור ה"חזקות".		שימו לב שחזקה טבעית של מספר מוגדרת באופן הרגיל כמכפלת המספר בעצמו מספר פעמים, אנחנו משתמשים בזה בטור ה"חזקות".

ארז שיינר: /* הגדרת פונקצית האקספוננט */

2021-06-21T04:58:18Z

הגדרת פונקצית האקספוננט

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־04:58, 21 ביוני 2021
שורה 31:		שורה 31:
	כאשר <math>\ln</math> היא הפונקציה ההופכית לאקספוננט בממשיים. (כמובן שעלינו להוכיח כי פונקצית האקספוננט <math>e^x:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> הפיכה.)		כאשר <math>\ln</math> היא הפונקציה ההופכית לאקספוננט בממשיים. (כמובן שעלינו להוכיח כי פונקצית האקספוננט <math>e^x:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> הפיכה.)

	שימו לב שחזקה ~~שלימה~~ של מספר מוגדרת באופן הרגיל כמכפלת המספר בעצמו מספר פעמים, אנחנו משתמשים בזה בטור ה"חזקות".		שימו לב שחזקה טבעית של מספר מוגדרת באופן הרגיל כמכפלת המספר בעצמו מספר פעמים, אנחנו משתמשים בזה בטור ה"חזקות".

	==כפל אקספוננטים==		==כפל אקספוננטים==

ארז שיינר: /* הוכחה */

2021-06-20T20:08:43Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:08, 20 ביוני 2021
שורה 55:		שורה 55:
	:<math>(a_0+a_1+a_2+...)(b_0+b_1+b_2+...)=(a_0b_0)+(a_0b_1+a_1b_0)+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+...</math>		:<math>(a_0+a_1+a_2+...)(b_0+b_1+b_2+...)=(a_0b_0)+(a_0b_1+a_1b_0)+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+...</math>

	סידרנו כאן את הזוגות לפי סכום האינדקסים שלהם; קודם כל המכפלה בה סכום האינדקסים הוא אפס, לאחר מכן שתי המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא ~~שתיים~~, ואז שלוש המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא ~~שלוש~~ וכן הלאה.		סידרנו כאן את הזוגות לפי סכום האינדקסים שלהם; קודם כל המכפלה בה סכום האינדקסים הוא אפס, לאחר מכן שתי המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא אחד, ואז שלוש המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא שתיים וכן הלאה.

	בכתיב מדוייק אנחנו רוצים לטעון כי		בכתיב מדוייק אנחנו רוצים לטעון כי

ארז שיינר: /* זהות אוילר */

2021-06-20T19:59:57Z

זהות אוילר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:59, 20 ביוני 2021
שורה 159:		שורה 159:
	==זהות אוילר==		==זהות אוילר==

	בסרטון הבא ניתן לראות הוכחה לזהות אוילר <math>e^{ix}=cis(x)</math> המתבססת על ~~תוצאות שהוכחנו~~ כאן		בסרטון הבא ניתן לראות הוכחה לזהות אוילר <math>e^{ix}=cis(x)</math> המתבססת על ההגדרה שהצגנו כאן

	<videoflash>KEnspLE5278</videoflash>		<videoflash>KEnspLE5278</videoflash>

ארז שיינר: /* קשר לפעולת החזקה */

2021-06-20T19:49:17Z

קשר לפעולת החזקה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:49, 20 ביוני 2021
שורה 124:		שורה 124:
	===חזקות רציונאליות===		===חזקות רציונאליות===

	~~מחקירת~~ פונקציות ניתן להוכיח שלכל מספר ממשי חיובי <math>0<x\in\mathbb{R}</math>		בעזרת חקירת פונקציות (מונוטונית וערך הביניים) ניתן להוכיח שלכל מספר ממשי חיובי <math>0<a\in\mathbb{R}</math> ולכל <math>0<n\in\mathbb{N}</math> קיים פתרון יחיד למשוואה <math>x^n=a</math> ואנחנו מגדירים פתרון זה להיות <math>\sqrt[n]{a}</math>.


			כעת, אני מעוניין להוכיח כי <math>e^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{e}</math>

			אכן, אם נעלה מספר זה בחזקה הטבעית n נקבל כי

			:<math>\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^n = e^{\frac{1}{n}}\cdot e^{\frac{1}{n}} \cdots e^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}}=e^{n\cdot \frac{1}{n}}=e^1=e </math>

			כיוון שיש פתרון יחיד למשוואה <math>x^n=e</math>, אנחנו בטוחים שמצאנו את המספר הנכון.


			באופן דומה ניתן להוכיח כי לכל <math>0<n,k\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי

			:<math>e^{\frac{n}{k}}=\sqrt[k]{e^n}=\left(\sqrt[k]{e}\right)^n</math>


			==הנגזרת==

			כיוון שפונקצית האקספוננט מוגדרת ע"י טור חזקות שמתכנס בכל המרוכבים, מותר לבצע גזירה איבר איבר

			:<math>\left(e^x\right)'=\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right)'=\sum_{n=1}^\infty n\cdot \frac{x^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=e^x</math>


			כלומר הנגזרת של פונקצית האקספוננט היא פונקצית האקספוננט עצמה! (אני בשוק.)

			כיוון שראינו שפונקצית האקספוננט חיובית בערכים ממשיים, נובע שהיא מונוטונית עולה (ולכן חח"ע) בממשיים.

			כיוון שהיא רציפה בממשיים (טור חזקות) והגבולות שלה באינסוף ומינוס אינסוף הם אינסוף ואפס בהתאמה (קל לחשב) ניתן לומר כי האקספוננט הפיכה מקבוצת הממשיים אל קבוצת הממשיים החיוביים.

			נגדיר את פונקצית הלוגריתם <math>\ln:(0,\infty)\to\mathbb{R}</math> להיות ההופכית שלה.


			==זהות אוילר==

			בסרטון הבא ניתן לראות הוכחה לזהות אוילר <math>e^{ix}=cis(x)</math> המתבססת על תוצאות שהוכחנו כאן

			<videoflash>KEnspLE5278</videoflash>

ארז שיינר: /* קשר לפעולת החזקה */

2021-06-20T19:32:14Z

קשר לפעולת החזקה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:32, 20 ביוני 2021
שורה 111:		שורה 111:

	בסה"כ, לכל <math>x\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>e^x>0</math>		בסה"כ, לכל <math>x\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>e^x>0</math>


			===חזקות טבעיות===

			לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>n=1+1+...+1</math> הוא סכום של n אחדות. לכן:

			:<math>e^n =e^{1+1+...+1}=e^1\cdot e^1 \cdots e^1=(e)^n</math>

			כלומר פונקצית האקספוננט בn באמת שווה לe בחזקה הטבעית n.


			===חזקות רציונאליות===

			מחקירת פונקציות ניתן להוכיח שלכל מספר ממשי חיובי <math>0<x\in\mathbb{R}</math>

ארז שיינר: /* הופכי */

2021-06-20T19:26:49Z

הופכי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:26, 20 ביוני 2021
שורה 89:		שורה 89:

	===הופכי===		===הופכי===
			לכל מספר <math>x</math> מתקיים כי

			:<math>e^x\cdot e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1</math>

			לכן ההופכי של <math>e^x</math> הוא <math>e^{-x}</math>

			או בשפת העם:

			:<math>e^{-x} = \frac{1}{e^x}</math>

			(אגב שימו לב שנובע כי <math>e^x\neq 0</math>.)


			===חיוביות===

			לכל <math>0< x\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>e^x>0</math> כסכום של מספרים ממשיים חיוביים.

			כיוון ש <math>e^{-x}=\frac{1}{e^x}</math> נובע כי גם <math>e^{-x}>0</math>

			וכמובן ש<math>e^0=1>0</math>

			בסה"כ, לכל <math>x\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>e^x>0</math>

ארז שיינר: /* הגדרת פונקצית האקספוננט */

2021-06-20T19:18:02Z

הגדרת פונקצית האקספוננט

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:18, 20 ביוני 2021
שורה 17:		שורה 17:
	:<math>e^1 =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}</math>		:<math>e^1 =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}</math>

			נשים לב כי

	הקוראים עשויים להזדעק ולומר שהסימון <math>e^x</math> שמור לחזקה של שני מספרים; ובכן, אנחנו נגדיר חזקה של שני מספרים באמצעות האקספוננט ונוכיח את התכונות המוכרות של פעולת החזקה.		:<math>e^0=\sum_{n=0}^\infty \frac{0^n}{n!}=1</math>

			כן כן, <math>0^0=1</math>, אני הרגע אמרתי את זה.


			הקוראים עשויים להזדעק ולומר שהסימון <math>e^x</math> שמור לחזקה של שני מספרים; ובכן, אנחנו נגדיר חזקה של שני מספרים באמצעות האקספוננט ונוכיח את התכונות המוכרות של פעולת החזקה.

	כלומר נגדיר לכל <math>a,b\in\mathbb{R}</math> כך ש <math>a>0</math> כי		כלומר נגדיר לכל <math>a,b\in\mathbb{R}</math> כך ש <math>a>0</math> כי
שורה 25:		שורה 31:
	כאשר <math>\ln</math> היא הפונקציה ההופכית לאקספוננט בממשיים. (כמובן שעלינו להוכיח כי פונקצית האקספוננט <math>e^x:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> הפיכה.)		כאשר <math>\ln</math> היא הפונקציה ההופכית לאקספוננט בממשיים. (כמובן שעלינו להוכיח כי פונקצית האקספוננט <math>e^x:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> הפיכה.)

			שימו לב שחזקה שלימה של מספר מוגדרת באופן הרגיל כמכפלת המספר בעצמו מספר פעמים, אנחנו משתמשים בזה בטור ה"חזקות".

	==כפל אקספוננטים==		==כפל אקספוננטים==

ארז שיינר: /* כפל אקספוננטים */

2021-06-20T19:05:44Z

כפל אקספוננטים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:05, 20 ביוני 2021
שורה 76:		שורה 76:

	בדיוק כפי שרצינו.		בדיוק כפי שרצינו.

			==קשר לפעולת החזקה==

			מהתכונה היסודית של כפל האקספוננטים ניתן להסיק לא מעט מתכונות החזקה המוכרות.

			===הופכי===

ארז שיינר: /* כפל אקספוננטים */

2021-06-20T19:02:57Z

כפל אקספוננטים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:02, 20 ביוני 2021
שורה 27:		שורה 27:

	==כפל אקספוננטים==		==כפל אקספוננטים==
	אחת התכונות הבסיסיות והחשובות ביותר של האקספוננט היא		אחת התכונות הבסיסיות והחשובות ביותר של האקספוננט היא שלכל <math>x,y\in\mathbb{C}</math> מתקיים כי
	:<math>e^x\cdot e^y = e^{x+y}</math>		:<math>e^x\cdot e^y = e^{x+y}</math>