פירוק פולינום - היסטוריית גרסאות

Ufirst: /* 6 כללים\שיטות */

2011-11-10T22:09:56Z

6 כללים\שיטות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:09, 10 בנובמבר 2011
שורה 28:		שורה 28:


	'''(4):''' מעבר לשדה גדול יותר: נפרק את הפולינום מעל שדה גדול יותר מהשדה שלנו (בדרך כלל המרוכבים או הממשיים). אז ננסה לכפול את הגורמים שקיבלנו כדי לקבל פירוק מעל השדה שלנו. אם ניסינו את כל האפשרויות ונכשלנו, הפולינום אי פריק.		'''(4)''' מעבר לשדה גדול יותר: נפרק את הפולינום מעל שדה גדול יותר מהשדה שלנו (בדרך כלל המרוכבים או הממשיים). אז ננסה לכפול את הגורמים שקיבלנו כדי לקבל פירוק מעל השדה שלנו. אם ניסינו את כל האפשרויות ונכשלנו, הפולינום אי פריק.

	'''תרגיל:''' הראו כי <math>x^4+3x^2+1</math>		'''תרגיל:''' הראו כי <math>x^4+3x^2+1</math>
	אי פריק מעל הרציונלים על ידי פירוקו מעל המרוכבים.		אי פריק מעל הרציונלים על ידי פירוקו מעל המרוכבים.

	'''(5):''' אם השדה סופי ורוצים לפרק את <math>f(x)</math> אפשר לנסות לחלק את <math>f</math> בכל הפולינומים הראשוניים עד מעלה <math>\deg f/2</math> (כולל).		'''(5)''' אם השדה סופי ורוצים לפרק את <math>f(x)</math> אפשר לנסות לחלק את <math>f</math> בכל הפולינומים הראשוניים עד מעלה <math>\deg f/2</math> (כולל).

	'''תרגיל:''' הראו כי יש רק פולינום אי פריק אחד ממעלה 2 מעל <math>\mathbb{Z}_2</math>		'''תרגיל:''' הראו כי יש רק פולינום אי פריק אחד ממעלה 2 מעל <math>\mathbb{Z}_2</math>
שורה 39:		שורה 39:
	אי פריק מעל שדה זה.		אי פריק מעל שדה זה.

	'''(6):''' כשכל השאר נכשל: אם הפולינום <math>f</math> הוא ב-<math>C[x]</math> ול-<math>C</math> יש אידיאל <math>P</math> כך שמעל <math>C/P</math> הפולינום <math>f</math> אי פריק, אז הוא גם אי פריק ב-<math>C[x]</math> (ממשיכים עם הלמה של גאוס).		'''(6)''' כשכל השאר נכשל: אם הפולינום <math>f</math> הוא ב-<math>C[x]</math> ול-<math>C</math> יש אידיאל <math>P</math> כך שמעל <math>C/P</math> הפולינום <math>f</math> אי פריק, אז הוא גם אי פריק ב-<math>C[x]</math> (ממשיכים עם הלמה של גאוס).

	'''דוגמא:''' <math>x^4+17x^3+2x^2+4x+5</math> הוא אי פריק מעל <math>\mathbb{Z}</math> כי מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> הוא שווה לפולינום <math>x^4+x^3+1</math> וזה פולינום אי פריק (לפי התרגיל האחרון).		'''דוגמא:''' <math>x^4+17x^3+2x^2+4x+5</math> הוא אי פריק מעל <math>\mathbb{Z}</math> כי מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> הוא שווה לפולינום <math>x^4+x^3+1</math> וזה פולינום אי פריק (לפי התרגיל האחרון).

Ufirst: /* 6 כללים\שיטות */

2011-11-03T15:44:06Z

6 כללים\שיטות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:44, 3 בנובמבר 2011
שורה 34:		שורה 34:

	'''(5):''' אם השדה סופי ורוצים לפרק את <math>f(x)</math> אפשר לנסות לחלק את <math>f</math> בכל הפולינומים הראשוניים עד מעלה <math>\deg f/2</math> (כולל).		'''(5):''' אם השדה סופי ורוצים לפרק את <math>f(x)</math> אפשר לנסות לחלק את <math>f</math> בכל הפולינומים הראשוניים עד מעלה <math>\deg f/2</math> (כולל).

			'''תרגיל:''' הראו כי יש רק פולינום אי פריק אחד ממעלה 2 מעל <math>\mathbb{Z}_2</math>
			נצלו זאת כדי להראות ש-<math>x^4+x^3+1</math>
			אי פריק מעל שדה זה.

	'''(6):''' כשכל השאר נכשל: אם הפולינום <math>f</math> הוא ב-<math>C[x]</math> ול-<math>C</math> יש אידיאל <math>P</math> כך שמעל <math>C/P</math> הפולינום <math>f</math> אי פריק, אז הוא גם אי פריק ב-<math>C[x]</math> (ממשיכים עם הלמה של גאוס).		'''(6):''' כשכל השאר נכשל: אם הפולינום <math>f</math> הוא ב-<math>C[x]</math> ול-<math>C</math> יש אידיאל <math>P</math> כך שמעל <math>C/P</math> הפולינום <math>f</math> אי פריק, אז הוא גם אי פריק ב-<math>C[x]</math> (ממשיכים עם הלמה של גאוס).

	'''דוגמא:''' <math>x^4+17x^3+2x^2+4x+5</math> הוא אי פריק מעל <math>\mathbb{Z}</math> כי מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> הוא שווה לפולינום <math>x^4+x^3+1</math> וזה פולינום אי פריק (~~בדקו בעזרת (5)~~).		'''דוגמא:''' <math>x^4+17x^3+2x^2+4x+5</math> הוא אי פריק מעל <math>\mathbb{Z}</math> כי מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> הוא שווה לפולינום <math>x^4+x^3+1</math> וזה פולינום אי פריק (לפי התרגיל האחרון).

Ufirst: /* 6 כללים\שיטות */

2011-11-03T15:41:52Z

6 כללים\שיטות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:41, 3 בנובמבר 2011
שורה 30:		שורה 30:
	'''(4):''' מעבר לשדה גדול יותר: נפרק את הפולינום מעל שדה גדול יותר מהשדה שלנו (בדרך כלל המרוכבים או הממשיים). אז ננסה לכפול את הגורמים שקיבלנו כדי לקבל פירוק מעל השדה שלנו. אם ניסינו את כל האפשרויות ונכשלנו, הפולינום אי פריק.		'''(4):''' מעבר לשדה גדול יותר: נפרק את הפולינום מעל שדה גדול יותר מהשדה שלנו (בדרך כלל המרוכבים או הממשיים). אז ננסה לכפול את הגורמים שקיבלנו כדי לקבל פירוק מעל השדה שלנו. אם ניסינו את כל האפשרויות ונכשלנו, הפולינום אי פריק.

			'''תרגיל:''' הראו כי <math>x^4+3x^2+1</math>
			אי פריק מעל הרציונלים על ידי פירוקו מעל המרוכבים.

	'''(5):''' אם השדה סופי ורוצים לפרק את <math>f(x)</math> אפשר לנסות לחלק את <math>f</math> בכל הפולינומים הראשוניים עד מעלה <math>\deg f/2</math> (כולל).		'''(5):''' אם השדה סופי ורוצים לפרק את <math>f(x)</math> אפשר לנסות לחלק את <math>f</math> בכל הפולינומים הראשוניים עד מעלה <math>\deg f/2</math> (כולל).

Ufirst: /* 6 כללים\שיטות */

2011-11-03T15:39:24Z

6 כללים\שיטות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:39, 3 בנובמבר 2011
שורה 12:		שורה 12:
	'''דוגמא:''' <math>x^3+x+1</math> אי פריק מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> כי אין לו שורשים בשדה.		'''דוגמא:''' <math>x^3+x+1</math> אי פריק מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> כי אין לו שורשים בשדה.

	'''(3)''' קריטריון אייזנשטיין:		'''(3)''' '''קריטריון אייזנשטיין''':
	:יהי <math>C</math> חוג חילופי ו-<math>P</math> אידיאל ראשוני. יהי <math>f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0\in C[x]</math> כך ש:		:יהי <math>C</math> חוג חילופי ו-<math>P</math> אידיאל ראשוני. יהי <math>f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0\in C[x]</math> כך ש:
	:א. <math>a_n\notin P</math>		:א. <math>a_n\notin P</math>
שורה 18:		שורה 18:
	:ג. <math>a_n\in P\setminus P^2</math>		:ג. <math>a_n\in P\setminus P^2</math>
	:אזי <math>f(x)</math> אי פריק ב-<math>C[x]</math>.		:אזי <math>f(x)</math> אי פריק ב-<math>C[x]</math>.
	לרוב משתמשים בקריטריון אייזנשטיין יחד עם הלמה של גאוס:		לרוב משתמשים בקריטריון אייזנשטיין יחד עם '''הלמה של גאוס''':
	:יהי <math>C</math> תחום פריקות יחידה עם שדה שברים <math>F</math> ו-<math>f(x)\in C[x]</math> פולינום כך ש:		:יהי <math>C</math> תחום פריקות יחידה עם שדה שברים <math>F</math> ו-<math>f(x)\in C[x]</math> פולינום כך ש:
	:א. המחלק המשותף המקסימלי של מקדמי <math>f</math> הוא 1.		:א. המחלק המשותף המקסימלי של מקדמי <math>f</math> הוא 1.
שורה 26:		שורה 26:

	'''דוגמא:''' <math>2x^5+6x^4+9x+3</math> אי פריק ב-<math>\mathbb{Q}[x]</math>. נשתמש בקריטריון אייזנשטיין עם <math>p=3</math> כדי להראות שהפולינום אי-פריק ב-<math>\mathbb{Z}[x]</math> ואז נשתמש בלמה של גאוס כדי להסיק שהפולינום אי פריק ב-<math>\mathbb{Q}[x]</math>.		'''דוגמא:''' <math>2x^5+6x^4+9x+3</math> אי פריק ב-<math>\mathbb{Q}[x]</math>. נשתמש בקריטריון אייזנשטיין עם <math>p=3</math> כדי להראות שהפולינום אי-פריק ב-<math>\mathbb{Z}[x]</math> ואז נשתמש בלמה של גאוס כדי להסיק שהפולינום אי פריק ב-<math>\mathbb{Q}[x]</math>.


			'''(4):''' מעבר לשדה גדול יותר: נפרק את הפולינום מעל שדה גדול יותר מהשדה שלנו (בדרך כלל המרוכבים או הממשיים). אז ננסה לכפול את הגורמים שקיבלנו כדי לקבל פירוק מעל השדה שלנו. אם ניסינו את כל האפשרויות ונכשלנו, הפולינום אי פריק.


			'''(5):''' אם השדה סופי ורוצים לפרק את <math>f(x)</math> אפשר לנסות לחלק את <math>f</math> בכל הפולינומים הראשוניים עד מעלה <math>\deg f/2</math> (כולל).

			'''(6):''' כשכל השאר נכשל: אם הפולינום <math>f</math> הוא ב-<math>C[x]</math> ול-<math>C</math> יש אידיאל <math>P</math> כך שמעל <math>C/P</math> הפולינום <math>f</math> אי פריק, אז הוא גם אי פריק ב-<math>C[x]</math> (ממשיכים עם הלמה של גאוס).

			'''דוגמא:''' <math>x^4+17x^3+2x^2+4x+5</math> הוא אי פריק מעל <math>\mathbb{Z}</math> כי מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> הוא שווה לפולינום <math>x^4+x^3+1</math> וזה פולינום אי פריק (בדקו בעזרת (5)).

Ufirst: יצירת דף עם התוכן "להלן מספר שיטות שיעזרו לנו לאורך הקורס בפירוק פולינומים או בקביעה האם הם ראשוניים. (למתענ..."

2011-11-03T15:25:48Z

יצירת דף עם התוכן "להלן מספר שיטות שיעזרו לנו לאורך הקורס בפירוק פולינומים או בקביעה האם הם ראשוניים. (למתענ..."

דף חדש

להלן מספר שיטות שיעזרו לנו לאורך הקורס בפירוק פולינומים או בקביעה האם הם ראשוניים.

(למתעניינים, קיימים אלגוריתמים לפירוק פולינומים מעל שדות סופיים ומעל הרחבות של הרציונליים. לא נגע בהם כאן.)

== 6 כללים\שיטות ==

'''(1)''' כל פולינום ממעלה 1 הוא אי פריק.

'''(2)''' פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא אי פריק אם ורק אם אין לו שורש.

'''דוגמא:''' <math>x^3+x+1</math> אי פריק מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> כי אין לו שורשים בשדה.

'''(3)''' קריטריון אייזנשטיין:
:יהי <math>C</math> חוג חילופי ו-<math>P</math> אידיאל ראשוני. יהי <math>f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0\in C[x]</math> כך ש:
:א. <math>a_n\notin P</math>
:ב. <math>a_i\in P</math> לכל <math>0<i<n</math>
:ג. <math>a_n\in P\setminus P^2</math>
:אזי <math>f(x)</math> אי פריק ב-<math>C[x]</math>.
לרוב משתמשים בקריטריון אייזנשטיין יחד עם הלמה של גאוס:
:יהי <math>C</math> תחום פריקות יחידה עם שדה שברים <math>F</math> ו-<math>f(x)\in C[x]</math> פולינום כך ש:
:א. המחלק המשותף המקסימלי של מקדמי <math>f</math> הוא 1.
:ב. קיימים <math>g(x),h(x)\in F[x]</math> כך ש-<math>f(x)=g(x)h(x)</math>.
:אזי <math>g(x),h(x)\in C[x]</math>.
:בפרט, נובע שפולינום <math>f(x)\in C[x]</math> הוא אי פריק ב-<math>F[x]</math> אם ורק אם הוא אי פריק ב-<math>C[x]</math>.

'''דוגמא:''' <math>2x^5+6x^4+9x+3</math> אי פריק ב-<math>\mathbb{Q}[x]</math>. נשתמש בקריטריון אייזנשטיין עם <math>p=3</math> כדי להראות שהפולינום אי-פריק ב-<math>\mathbb{Z}[x]</math> ואז נשתמש בלמה של גאוס כדי להסיק שהפולינום אי פריק ב-<math>\mathbb{Q}[x]</math>.