אלעד איטח: יצירת דף עם התוכן "נמצא את הפולינום האופייני של המטריצה המקורית: $p(x)=\left |xI-A \right |=\left | \begin{pmatrix} x-1 &0 &-1 \\ 0& x-1 ..."$

2011-12-18T11:32:23Z

יצירת דף עם התוכן "נמצא את הפולינום האופייני של המטריצה המקורית: <math>p(x)=\left |xI-A \right |=\left | \begin{pmatrix} x-1 &0 &-1 \\ 0& x-1 ..."

דף חדש

נמצא את הפולינום האופייני של המטריצה המקורית:
<math>p(x)=\left |xI-A \right |=\left | \begin{pmatrix}
x-1 &0 &-1 \\
0& x-1 &0 \\
0& 0 & x-1
\end{pmatrix} \right |=(x-1)^{3}</math>

השורש היחיד של פולינום זה הוא x=1, ולכן זהו הע"ע היחיד של A המטריצה המקורית.
לפי משפט קיילי-המילטון: <math>P(A)=(A-I)^{3}=0</math>
לכן המטריצה A-I היא נילפוטנטית, ניתן לחשב ולקבל ש- <math>(A-I)^{2}=0</math> אבל <math>A-I\neq 0</math>

לכן המטריצה A-I היא נילפוטנטית מאינדקס 2.
לפי משפט ז'ורדן עבור מטריצות נילפוטנטיות, קיימת ל-A-I צורת ז'ורדן,
והבלוק הגדול ביותר שלה הוא בלוק ג'ורדן עם ע"ע 0 מסדר 2. A-I היא מסדר 3,
ולכן צורת הז'ורדן של A-I היא המטריצה הבאה:
<math>J=\begin{pmatrix}
0 & 1 &0 \\
0& 0 & 0\\
0& 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

קיימת מטריצה P הפיכה כך ש- <math>P^{-1}(A-I)P=P^{-1}AP-I=J</math> ולכן <math>P^{-1}AP=J+I</math>

J+I היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן שהע"ע שלהם הוא 1, וקיימת P הפיכה כך ש- <math>P^{-1}AP=J+I</math>
לכן, המטריצה <math>G=J+I=\begin{pmatrix}
1& 1 &0 \\
0& 1 &0 \\
0& 0& 1
\end{pmatrix}</math> היא צורת הז'ורדן של A.

פתרון (אלעד איטח) - היסטוריית גרסאות

אלעד איטח: יצירת דף עם התוכן "נמצא את הפולינום האופייני של המטריצה המקורית: p(x)=\left |xI-A \right |=\left | \begin{pmatrix} x-1 &0 &-1 \\ 0& x-1 ..."

אלעד איטח: יצירת דף עם התוכן "נמצא את הפולינום האופייני של המטריצה המקורית: $p(x)=\left |xI-A \right |=\left | \begin{pmatrix} x-1 &0 &-1 \\ 0& x-1 ..."$