קוד:אריתמטיקה של גבולות של פונקציות - היסטוריית גרסאות

Ofekgillon10 ב־07:08, 31 באוגוסט 2015

2015-08-31T07:08:56Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:08, 31 באוגוסט 2015
שורה 1:		שורה 1:
	~~יהיו~~ $ f,g $ פונקציות.		תהיינה $ f,g $ פונקציות.


	\begin{~~theorem~~} אם $ \lim_{x\to a} f(x)=0 , \exists M \exists \delta \forall x:0<\|x-a\|<\delta\Rightarrow \|g(x)\|<M $ אז $ \lim_{x\to a} f(x) g(x) = 0 $ (מכפלה של ~~סדרה~~ חסומה ~~בסדרה~~ ששואפת ל-0 זו ~~סדרה~~ ששואפת ל-0)		\begin{thm} אם
			$$ \lim_{x\to a} f(x)=0 ,\ \exists M \exists \delta \forall x:0<\|x-a\|<\delta\Rightarrow \|g(x)\|<M $$
			אז $ \lim_{x\to a} f(x) g(x) = 0 $ (מכפלה של פונקציה חסומה בסביבת נקודה בפונקציה ששואפת ל-0 בנק' זו היא פונקציה ששואפת ל-0)

	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	נשתמש בעקרון היינה: נניח $x_n\to a $ ונראה כי $f(x_n)\to 0 $ וקיימת סביבה של $a$ בה $g(x_n) $ חסומה ולכן $f(x_n) g(x_n) \to 0 $ ~~(כש- $x$ שואף ל-0 $a$ )~~		נשתמש בעקרון היינה: נניח $x_n\to a $ ונראה כי $f(x_n)\to 0 $ וקיימת סביבה של $a$ בה $g(x_n) $ חסומה ולכן $f(x_n) g(x_n) \to 0 $
	\end{proof}		\end{proof}


	~~$\\$~~ \begin{~~theorem~~} נניח ש- $ f(x) \to l_1 , g(x) \to l_2 $ (כאשר $l_1,l_2 \in \mathbb{R} $ ) אזי:		\begin{thm} נניח ש- $ f(x) \to l_1 , g(x) \to l_2 $ (כאשר $l_1,l_2 \in \mathbb{R} $ ) אזי:

	1. $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = l_1+l_2 $		1. $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = l_1+l_2 $
שורה 21:		שורה 23:
	4. אם $ l_1>0 $ אז $\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} $		4. אם $ l_1>0 $ אז $\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} $

	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	שוב נשתמש בעקרון היינה, נגדיר $x_n \to a , x_n \neq a $ ~~ואם נשתמש~~ באריתמטיקת גבולות של סדרות ~~נקבל את הדרוש~~		שוב נשתמש בעקרון היינה, נגדיר $x_n \to a , x_n \neq a $ ונשתמש באריתמטיקת גבולות של סדרות:
			$$ \lim_{x\to a} f(x)+g(x) = \lim_{n\to \infty} f(x_n)+g(x_n) =\lim_{n\to \infty} f(x_n)+\lim_{n\to \infty}g(x_n)=l_1+l_2 $$
			השאר מוכחים באופן דומה.
	\end{proof}		\end{proof}

ארז שיינר: גרסה אחת יובאה

2014-10-04T20:15:41Z

גרסה אחת יובאה

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "יהיו $ f,g $ פונקציות. \begin{theorem} אם $ \lim_{x\to a} f(x)=0 , \exists M \exists \delta \forall x:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |g(x)|
2014-08-26T14:07:46Z

יצירת דף עם התוכן "יהיו $ f,g $ פונקציות. \begin{theorem} אם $ \lim_{x\to a} f(x)=0 , \exists M \exists \delta \forall x:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |g(x)|<M $ אז $..."

דף חדש
יהיו $ f,g $ פונקציות.

\begin{theorem} אם $ \lim_{x\to a} f(x)=0 , \exists M \exists \delta \forall x:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |g(x)|<M $ אז $ \lim_{x\to a} f(x) g(x) = 0 $ (מכפלה של סדרה חסומה בסדרה ששואפת ל-0 זו סדרה ששואפת ל-0)

\end{theorem}

\begin{proof}
נשתמש בעקרון היינה: נניח $x_n\to a $ ונראה כי $f(x_n)\to 0 $ וקיימת סביבה של $a$ בה $g(x_n) $ חסומה ולכן $f(x_n) g(x_n) \to 0 $ (כש- $x$ שואף ל-0 $a$ )
\end{proof}

$\\$ \begin{theorem} נניח ש- $ f(x) \to l_1 , g(x) \to l_2 $ (כאשר $l_1,l_2 \in \mathbb{R} $ ) אזי:

1. $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = l_1+l_2 $

2. $ \lim_{x\to a} (f(x) g(x)) = l_1 l_2 $

3. אם $c$ קבוע אז $c\cdot f(x) \to cl_1 $

4. אם $ l_1>0 $ אז $\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} $

\end{theorem}

\begin{proof}
שוב נשתמש בעקרון היינה, נגדיר $x_n \to a , x_n \neq a $ ואם נשתמש באריתמטיקת גבולות של סדרות נקבל את הדרוש
\end{proof}