ארז שיינר: גרסה אחת יובאה

2014-10-04T20:15:41Z

גרסה אחת יובאה

דף חדש

\begin{prop}

אם $n\ge 2$, אזי $J_\lambda$ איננה לכסינה.

\end{prop}

\begin{proof}

נחפש ו"ע של $J_{n}(\lambda )$. יהי
$$v=\left(\begin{matrix}
\alpha _{1} & \\
\vdots & \\
\alpha _{n} & \\
\end{matrix}
\right)$$
ו"ע של $J_{n}\left(\lambda \right)$.
$\lambda $ הוא הע"ע היחיד של
$J_{n}\left(\lambda \right)$ (כי הוכחנו כאשר דיברנו על ע"ע שעבור מטריצה משולשת,
הע"ע הם האיברים שעל האלכסון הראשי שלה). נשים לב:
$$J_n\left ( \lambda \right )v=\left ( \begin{matrix}
\lambda & 1 & &0 \\
& \lambda & \ddots & \\
& & \ddots & 1\\
0& & & \lambda
\end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix}
\alpha_1\\
\alpha_2\\
\vdots\\
\alpha_n
\end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix}
\lambda\alpha_1+\alpha_2\\
\vdots\\
\lambda\alpha_{n-1}+\alpha_n\\
\lambda\alpha_n
\end{matrix} \right )=\lambda v=\left ( \begin{matrix}
\lambda\alpha_1\\
\vdots\\
\lambda\alpha_{n-1}\\
\lambda\alpha_n
\end{matrix} \right )$$
קיבלנו מערכת משוואות:
$$\left \{ \begin{matrix}
\lambda\alpha_1+\alpha_2=\lambda\alpha_1\\
\vdots\\
\lambda\alpha_{n-1}+\alpha_n=\lambda\alpha_{n-1}\\
\lambda\alpha_n=\lambda\alpha_n
\end{matrix} \right.\Rightarrow\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0
$$
לכן כל ו"ע של $J_{n}\left(\lambda \right)$ הוא מהצורה
$$v=\left ( \begin{matrix}
\alpha_1\\
0\\
\vdots\\
0
\end{matrix} \right )$$
אבל
$$V_{\lambda }(J_{n}(\lambda ))=\left\{ v\in\mathbb{F}^{n}\mid J_{n}(\lambda
)v=\lambda v\right\} $$
מרחב וקטורי ממימד 1, לכן למרחב הוקטורי $\mathbb{F}^{n}$
אין בסיס המורכב מו"ע של $J_{n}(\lambda )$
, ולכן $J_{n}(\lambda )$
אינו לכסין.

\end{proof}

בעצם, מה הפריע לנו? לא היו מספיק וקטורים עצמיים לערך העצמי $\lambda$. בלוק ז'ורדן הוא דוגמה חשובה, והיא תחזור בהמשך הקורס ותקבל תפקיד משמעותי ביותר.

קוד:בלוק ז'ורדן איננו לכסין - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: גרסה אחת יובאה