קוד:גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0 - היסטוריית גרסאות

Ofekgillon10 ב־21:02, 30 באוגוסט 2015

2015-08-30T21:02:19Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:02, 30 באוגוסט 2015
שורה 12:		שורה 12:

	האמת, אי השיוויון הזה הוא ציורי וכשמראים אותו פשוט אומרים שזה נראה נכון בעין. כמובן שזוהי רמאות מתמטית מדרגה ראשונה, ועל כן גדי מהבלוג המתמטי הידוע "לא מדויק" כתב את הפוסט "הונאה מעבר לגבול". קריאה מומלצת למי שמרגיש מרומה, אך שימו לב כי זה עלול להיות קצת כבד, נסו לא להרתע.		האמת, אי השיוויון הזה הוא ציורי וכשמראים אותו פשוט אומרים שזה נראה נכון בעין. כמובן שזוהי רמאות מתמטית מדרגה ראשונה, ועל כן גדי מהבלוג המתמטי הידוע "לא מדויק" כתב את הפוסט "הונאה מעבר לגבול". קריאה מומלצת למי שמרגיש מרומה, אך שימו לב כי זה עלול להיות קצת כבד, נסו לא להרתע.

	~~\begin{cor}~~
	~~$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} $~~
	~~\end{cor}~~
	~~\begin{proof}~~
	$$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1-(1-2\sin^2(\frac{x}{2}))}{x^2}=\lim_{x\to 0} \frac12 \left ( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} \left ( \lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} \right )^2=\frac{1}{2} $$
	~~בהוכחה השתמשנו בזהות $ \cos(\alpha)=1-2\sin^2\left( \frac{\alpha}{2}\right) $ ובהצבה $t=\frac{x}{2}$ עם אריתמטיקה של גבולות.~~
	~~\end{proof}~~

	~~שני הגבולות האלו הם גבולות חשובים שיהיו שימושיים מאוד בהמשך הקורס.~~

Ofekgillon10 ב־20:57, 30 באוגוסט 2015

2015-08-30T20:57:36Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:57, 30 באוגוסט 2015
שורה 1:		שורה 1:
	בחלק זה אנחנו הולכים להוכיח גבול מאוד חשוב שיעזור לנו בהמשך, גבול מהצורה $\frac00 $.		בחלק זה אנחנו הולכים להוכיח גבול מאוד חשוב שיעזור לנו בהמשך, גבול מהצורה $\frac00 $.

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $		$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	זוהי פונקציה זוגית ולכן אפשר להסתכל רק על התחום $x>0$ . נסתכל על קשת מעגל היחידה עם זווית מרכזית של $x$ ונראה כי מתקיים $\sin(x) \leq x \leq \tan (x) \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x} =\frac{1}{\cos x} $ ומשום שהקצוות שואפים ל-1 כש- $x\to 0 $, ממשפט הסנדוויץ' נקבל שגם $\frac{x}{\sin x} $ שואף ל-1. המסקנה היא ש- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{1}=1 $		זוהי פונקציה זוגית ולכן אפשר להסתכל רק על התחום $x>0$ . נסתכל על קשת מעגל היחידה עם זווית מרכזית של $x$ ונראה כי מתקיים:
			$$\sin(x) \leq x \leq \tan (x) \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x} =\frac{1}{\cos x} $$
			ומשום שהקצוות שואפים ל-1 כש- $x\to 0 $, ממשפט הסנדוויץ' נקבל שגם $\frac{x}{\sin x} $ שואף ל-1. המסקנה היא ש- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{1}=1 $
	\end{proof}		\end{proof}

			האמת, אי השיוויון הזה הוא ציורי וכשמראים אותו פשוט אומרים שזה נראה נכון בעין. כמובן שזוהי רמאות מתמטית מדרגה ראשונה, ועל כן גדי מהבלוג המתמטי הידוע "לא מדויק" כתב את הפוסט "הונאה מעבר לגבול". קריאה מומלצת למי שמרגיש מרומה, אך שימו לב כי זה עלול להיות קצת כבד, נסו לא להרתע.

			\begin{cor}
			$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} $
			\end{cor}
			\begin{proof}
			$$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1-(1-2\sin^2(\frac{x}{2}))}{x^2}=\lim_{x\to 0} \frac12 \left ( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} \left ( \lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} \right )^2=\frac{1}{2} $$
			בהוכחה השתמשנו בזהות $ \cos(\alpha)=1-2\sin^2\left( \frac{\alpha}{2}\right) $ ובהצבה $t=\frac{x}{2}$ עם אריתמטיקה של גבולות.
			\end{proof}

			שני הגבולות האלו הם גבולות חשובים שיהיו שימושיים מאוד בהמשך הקורס.

ארז שיינר: גרסה אחת יובאה

2014-10-04T20:15:41Z

גרסה אחת יובאה

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "בחלק זה אנחנו הולכים להוכיח גבול מאוד חשוב שיעזור לנו בהמשך, גבול מהצורה $\frac00 $. \begin{theorem}..."

2014-08-26T13:33:52Z

יצירת דף עם התוכן "בחלק זה אנחנו הולכים להוכיח גבול מאוד חשוב שיעזור לנו בהמשך, גבול מהצורה $\frac00 $. \begin{theorem}..."

דף חדש

בחלק זה אנחנו הולכים להוכיח גבול מאוד חשוב שיעזור לנו בהמשך, גבול מהצורה $\frac00 $.

\begin{theorem}
$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
\end{theorem}

\begin{proof}
זוהי פונקציה זוגית ולכן אפשר להסתכל רק על התחום $x>0$ . נסתכל על קשת מעגל היחידה עם זווית מרכזית של $x$ ונראה כי מתקיים $\sin(x) \leq x \leq \tan (x) \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x} =\frac{1}{\cos x} $ ומשום שהקצוות שואפים ל-1 כש- $x\to 0 $, ממשפט הסנדוויץ' נקבל שגם $\frac{x}{\sin x} $ שואף ל-1. המסקנה היא ש- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{1}=1 $
\end{proof}