קוד:הגדרת הגבול לפי קושי - היסטוריית גרסאות

Ofekgillon10 ב־09:25, 8 בינואר 2015

2015-01-08T09:25:47Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:25, 8 בינואר 2015
שורה 1:		שורה 1:
			כעת מעולם הסדרות אנחנו הולכים לעבור לעולם הפונקציות, בו נעסוק מעכשיו ועד סוף אינפי. כמו שבסדרות התחלנו מההגדרה של מה הוא גבול סדרה, גם פה אנו צריכים לדבר על גבול של פונקציה.\\
			אם בסדרות אפשר היה לדבר על גבול "באינסוף" בלבד, כלומר לאן הסדרה הולכת ושואפת כשמתקדמים באיברי הסדרה, הרי שבפונקציה אפשר לדבר על לאן הפונקציה מתקרבת בסביבה של נקודה.\\
			להגדרת גבול של פונקציה בנקודה יש 2 גרסאות, לפי קושי ולפי היינה. פה נראה את ההגדרה של קושי לגבול:
	\begin{definition}		\begin{definition}
	אומרים ש-$L$ הוא גבול של $f$ בנקודה $a$ אם מתקיים		אומרים ש-$L$ הוא גבול של $f(x)$ בנקודה $a$ ומסמנים: $ \displaystyle{\lim_{x\to a}} f(x)=L $ אם מתקיים
	$$\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall x : \left (\|x-a\|<\delta \rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon \right ) $$		$$\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall x : \left (0<\|x-a\|<\delta \rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon \right ) $$
	\end{definition}		\end{definition}
	שוב אנו נתקלים בהגדרת גבול שנראית מסובכת במבט ראשון, אבל העקרון העומד מאחוריה הגיוני. אנו רוצים שעבור כל מרחק מ-$L$ (זה ה- $\varepsilon $)~~, לא חשוב כמה קטן~~, תהיה לנו סביבה של $a$ ~~שבה כל~~ הערכים (מלבד $a$, משום שהרעיון בגבול זה שלא אכפת לנו מה קורה בנקודה עצמה) מועברים ע"י $f$ למספרים שהמרחק שלהם מ-$L$ קטן מהמרחק ההתחלתי שניתן לנו.		שוב אנו נתקלים בהגדרת גבול שנראית מסובכת במבט ראשון, אבל העקרון העומד מאחוריה הגיוני. אנו רוצים שעבור כל מרחק מהגבול $L$, לא חשוב כמה קטן (זה ה- $\varepsilon>0 $), תהיה לנו סביבה של $a$ (ה"רדיוס" שלה הוא $\delta$) שכל הערכים בסביבה זו מלבד $a$ (משום שהרעיון בגבול זה שלא אכפת לנו מה קורה בנקודה עצמה) מועברים ע"י $f$ למספרים שהמרחק שלהם מ-$L$ קטן מהמרחק ההתחלתי שניתן לנו.

	\begin{example}		\begin{example}

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:15:48Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־20:39, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T20:39:28Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:39, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
			\begin{definition}
			אומרים ש-$L$ הוא גבול של $f$ בנקודה $a$ אם מתקיים
			$$\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall x : \left (\|x-a\|<\delta \rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon \right ) $$
			\end{definition}
			שוב אנו נתקלים בהגדרת גבול שנראית מסובכת במבט ראשון, אבל העקרון העומד מאחוריה הגיוני. אנו רוצים שעבור כל מרחק מ-$L$ (זה ה- $\varepsilon $), לא חשוב כמה קטן, תהיה לנו סביבה של $a$ שבה כל הערכים (מלבד $a$, משום שהרעיון בגבול זה שלא אכפת לנו מה קורה בנקודה עצמה) מועברים ע"י $f$ למספרים שהמרחק שלהם מ-$L$ קטן מהמרחק ההתחלתי שניתן לנו.

	\~~underline~~{~~הגדרה:~~} ~~אומרים ש-$L$ הוא גבול של $f$ בנקודה $a$ אם מתקיים~~		\begin{example}

	~~$\forall_{\varepsilon>0} \exists_{\delta>0}\| \forall_x : (\|x-a\|<\delta \rightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon $~~		$f(x)=\begin{cases} 1 & \text{if} \ x\neq0 \\ 0& \text{if}\ x=0\end{cases} $ אז $\lim_{x\to 0} f(x)=1 $
			\end{example}
	~~דוגמה:~~		\begin{proof} יהי אפסילון גדול מ-$0$, במקרה הזה אפשר לבחור כל $\delta $, ניקח לדוגמה $\delta = 1 $ ואז לכל $x$ שמקיים $\|x-0\|<1 $ מתקיים ש- $\|f(x)-1\|=\|1-1\|=0<\varepsilon $ .
			\end{proof}
	$f(x)=\begin{cases} 1 & if \ x\neq0 \\ 0& if\ x=0\end{cases} $ אז $\lim_{x\to 0} f(x)=1 $

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~} יהי אפסילון גדול מ-0, במקרה הזה אפשר לבחור כל $\delta $, ניקח לדוגמה $\delta = 1 $ואז לכל $x$ שמקיים $\|x-0\|<1 $ מתקיים ש- $\|f(x)-1\|=\|1-1\|=0<\varepsilon $ . ~~משל~~

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " \underline{הגדרה:} אומרים ש-$L$ הוא גבול של $f$ בנקודה $a$ אם מתקיים $\forall_{\varepsilon>0} \exists_{\delta>0}| \forall_x..."

2014-08-21T14:05:39Z

יצירת דף עם התוכן " \underline{הגדרה:} אומרים ש-$L$ הוא גבול של $f$ בנקודה $a$ אם מתקיים $\forall_{\varepsilon>0} \exists_{\delta>0}| \forall_x..."

דף חדש

\underline{הגדרה:} אומרים ש-$L$ הוא גבול של $f$ בנקודה $a$ אם מתקיים

$\forall_{\varepsilon>0} \exists_{\delta>0}| \forall_x : (|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon $

דוגמה:

$f(x)=\begin{cases} 1 & if \ x\neq0 \\ 0& if\ x=0\end{cases} $ אז $\lim_{x\to 0} f(x)=1 $

\underline{הוכחה:} יהי אפסילון גדול מ-0, במקרה הזה אפשר לבחור כל $\delta $, ניקח לדוגמה $\delta = 1 $ואז לכל $x$ שמקיים $|x-0|<1 $ מתקיים ש- $|f(x)-1|=|1-1|=0<\varepsilon $ . משל