ארז שיינר: גרסה אחת יובאה

2014-10-04T20:16:17Z

גרסה אחת יובאה

דף חדש

נחזור לתהליך גראם-שמידט, $v_i'=v_i-\pi\left(v_i\right)$, כאשר $\pi$ היא העתקה ההטלה על תת-המרחב הנפרש על ידי $\left \{ v_1',\dots,v_{i-1}' \right \}$.

נסמן ב-$C$ את מטריצת המעבר מ-$\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ ל-
$$\left \{ v_1',\dots,v_n' \right \}$. לכן $C=\left ( \begin{matrix}
1 & & \star\\
& \ddots & \\
0 & & 1
\end{matrix} \right )$$
ז"א ש-$C$ מטריצה משולשת עליונה, ועל האלכסון הראשי יש יחידות.

המעבר הבא - נרמול הבסיס $\left \{ v_1',\dots,v_n' \right \}$ - מתואר על ידי המטריצה האלכסונית
$$D=\left ( \begin{matrix}
\frac{1}{\left \| v_1' \right \|} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \frac{1}{\left \| v_n' \right \|}
\end{matrix} \right )$$

לכן, מעבר מבסיס $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ לבסיס אורתונורמלי מתואר על ידי המטריצה $DC$. תהי $G_B$ מטריצת הגראם של הבסיס $B$, אזי, לפי משפט שהוכחנו:
$$I=\left(DC \right )^tG_B\overline{\left(DC \right )}=C^tD^tG_B\overline{D}\,\overline{C}$$
נפעיל דטרמיננטה, ונקבל:
$$\det I=\det\left (C^tD^tG_B\overline{D}\,\overline{C} \right )$$
$$1=1\cdot\frac{1}{\left \| v_1' \right \|\cdots\left \| v_n' \right \|}\cdot\det G_B\cdot\frac{1}{\left \| v_1' \right \|\cdots\left \| v_n' \right \|}\cdot1$$
$$\det G_B=\left \| v_1' \right \|^2\cdots\left \| v_n' \right \|^2$$

\begin{corollary}

$$\det G_B\in\mathbb{R}_{\ge0}$$

\end{corollary}

\begin{definition}

יהי $\mathbb{F}=\mathbb{R}$, יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{R}$, נניח $\dim V=n$, ותהי $\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ קבוצת וקטורים. נגדיר \textbf{מקבילון} $P$ על ידי
$$P=\left \{ \left.\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i\right|0\leq\alpha_i\leq1 \right \}$$

\end{definition}

\begin{definition}

נניח ש-$B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס של $V$, ונגדיר את \textbf{נפח המקבילון הנוצר על ידם} להיות
$$\operatorname{vol}\left(P \right )=\sqrt{\det G_B}$$

\end{definition}

\begin{thm}

אם $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס של $V$, נסמן $P$ המקבילון הנוצר על ידי $\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$,
$S$ המקבילון הנוצר על ידי $\left \{ v_1,\dots,v_{n-1} \right \}$, ו-$h=v_n-\pi_{\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_{n-1} \right \}}\left(v_n \right )$. אזי
$$\operatorname{vol}\left(P \right )=\operatorname{vol}\left(S \right )\cdot\left \| h \right \|$$

\end{thm}

\begin{proof}

נסמן ב-$A$ את מטריצת המעבר מהבסיס $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ לבסיס $B'=\left \{ v_1,\dots,v_{n-1},h \right \}$. אזי $A$ היא מהצורה
$$A=\left(\begin{matrix}
1 & & 0 & \star\\
& \ddots & & \vdots\\
& & 1 & \star\\
& & & 1
\end{matrix} \right )$$

מטריצת גראם יחסית לבסיס $B'$ היא
$$G_{B'}=\left(\begin{matrix}
M_{nn}\left(G_B\right )& 0\\
0 & \left \| h \right \|^2
\end{matrix} \right )$$
כאשר $M_nn\left(G_B\right)$ מסמן את המינור ה-$n,n$ מ-$G_B$, כלומר $G_B$ בלי השורה ה-$n$-ית ובלי העמודה ה-$n$-ית (הצורה ככה כי $h$ מאונך לשאר הווקטורים). אם כן,
$$\operatorname{vol}\left(P \right )=\sqrt{\det G_B}=\sqrt{\det\left (\overline{A}G_{B'}A^t \right )}=\sqrt{\det\overline{A}\det G_{B'}\det A^t}=\sqrt{\det G_{B'}}=$$
$$=\sqrt{\det M_{nn}\left(G_B \right )\left \| h \right \|^2}=\sqrt{\det M_{nn}\left(G_B \right )}\left \| h \right \|=\operatorname{vol}\left(S \right )\left \| h \right \|$$

\end{proof}

\begin{thm}

אם $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס של $V$, ואם $E=\left \{ e_1,\dots,e_n \right \}$ בסיס אורתונורמלי, נסמן ב-$E$ את מטריצת המעבר ביניהם. אזי
$$\operatorname{vol}\left(P_B \right )=\left | \det A \right |$$

\end{thm}

\begin{proof}

$$\operatorname{vol}\left(P \right )=\sqrt{\det G_B}=\sqrt{\det\left(\overline{A}G_EA^t \right )}=\sqrt{\det\overline{A}\det I\det A^t}=$$
$$=\sqrt{\overline{\det A}\det A}=\sqrt{\left | \det A \right |^2}=\left | \det A \right |$$

\end{proof}

קוד:המשמעות הגיאומטרית של דטרמיננטה - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: גרסה אחת יובאה