ארז שיינר: 3 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:18Z

3 גרסאות יובאו

דף חדש

נרצה לראות כיצד שינוי הבסיס משפיע על הבסיס הדואלי, ונמצא קשר בין מטריצות המעבר המתאימות.

\begin{thm}

יהיו $B,\tilde{B}$ בסיסים של $V$, יהיו $B^*,\tilde{B}^*$ הבסיסים הדואליים המתאימים של $V^*$, תהי $C$ מטריצת המעבר מ-$B$ ל-$\tilde{B}$ ותהי $C'$ מטריצת המעבר מ-$B^*$ ל-$\tilde{B}^*$. אזי $C'=\left(C^{-1}\right)^t=\left(C^t\right)^{-1}$.

\end{thm}

\begin{proof}

נוכיח שמטריצת המעבר מ-$\tilde{B}^*$ ל-$B^*$ שווה ל-$C^t$. נסמן מטריצה זו ב-$C''=\left(C'\right)^{-1}$.

נסמן $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$,
$\tilde{B}=\left \{ w_1,\dots,w_n \right \}$,
$B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \}$,
$\tilde{B}^*=\left \{ \psi_1,\dots,\psi_n \right \}$. אזי
$$C''=\left(\begin{matrix}
| & & |\\
\left[\varphi_1 \right ]_{\tilde{B}^*} & \cdots & \left[\varphi_n \right ]_{\tilde{B}^*}\\
| & & |
\end{matrix} \right )=
\left(\begin{matrix}
\varphi_1\left(w_1 \right ) & \cdots & \varphi_n\left(w_1 \right )\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\varphi_1\left(w_n \right ) & \cdots & \varphi_n\left(w_n \right )
\end{matrix} \right )=$$
$$=\left(\begin{matrix}
- & \left(\left[w_1 \right ]_B \right )^t & -\\
& \vdots & \\
- & \left(\left[w_n \right ]_B \right )^t & -
\end{matrix} \right )=
\left(\begin{matrix}
| & & |\\
\left[w_1 \right ]_B & \cdots &\left[w_n \right ]_B \\
| & & |
\end{matrix} \right )^t=C^t$$

הוכחנו $C''=C^t$, ולכן $C'=\left(C'' \right )^{-1}=\left(C^t \right )^{-1}$.

\end{proof}

קוד:השפעת שינוי בסיס על הבסיס הדואלי - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 3 גרסאות יובאו