ארז שיינר: גרסה אחת יובאה

2014-10-04T20:16:18Z

גרסה אחת יובאה

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\subsection{התכנסות בהחלט} \begin{definition} אומרים שהטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס בהחלט אם $\sum_{n=1}^\infty |a_n| $..."

2014-09-03T12:08:03Z

יצירת דף עם התוכן "\subsection{התכנסות בהחלט} \begin{definition} אומרים שהטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס בהחלט אם $\sum_{n=1}^\infty |a_n| $..."

דף חדש

\subsection{התכנסות בהחלט}
\begin{definition}
אומרים שהטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס בהחלט אם $\sum_{n=1}^\infty |a_n| $ מתכנס.
\end{definition}

\begin{thm}
טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס.
\end{thm}

\begin{proof}
נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ-$0$, אז אנחנו יודעים ש-
$$\exists_N \forall_{n>m>N} \left |\sum_{k=m}^n |a_k| \right | < \epsilon $$
אם כך, $\left |\sum_{k=m}^n a_k \right | \leq \sum_{k=m}^n |a_k| $ פשוט מאי שיוויון המשולש, וכיוון שכל האיברים בסכום חיוביים זה בדיוק שווה ל- $\left |\sum_{k=m}^n |a_k| \right |$ שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- $N$ שאנחנו מחפשים כדי להוכיח שזה סדרת קושי פשוט להיות אותו $N$ וסיימנו!
\end{proof}

\begin{example}
הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2^n } {n^2} $ מתכנס משום ש- $\sum_{n=1}^\infty |\frac{\sin 2^n}{n^2}| \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} $ וממבחן ההשוואה הראשון, הטור מתכנס בהחלט, לכן מתכנס.
\end{example}

\subsection{התכנסות בתנאי}
\begin{definition}
אומרים שהטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס בתנאי אם הוא מתכנס אבל לא מתכנס בהחלט.
\end{definition}

\begin{example}
הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots $ מתכנס בתנאי (ראינו שלא מתכנס בהחלט כי טור הערכים המוחלטים זה הטור ההרמוני, למה הוא מתכנס נראה עוד מעט).
\end{example}

קוד:התכנסות בהחלט והתכנסות בתנאי - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: גרסה אחת יובאה

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\subsection{התכנסות בהחלט} \begin{definition} אומרים שהטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס בהחלט אם $\sum_{n=1}^\infty |a_n| $..."