קוד:חסמים - היסטוריית גרסאות

Ofekgillon10 ב־00:00, 7 באוקטובר 2014

2014-10-07T00:00:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:00, 7 באוקטובר 2014
שורה 43:		שורה 43:
	א. $M$ חסם מלרע\\		א. $M$ חסם מלרע\\
	ב. לכל חסם מלרע $T$ מתקיים $M\geq T$\\		ב. לכל חסם מלרע $T$ מתקיים $M\geq T$\\
	מסמנים אותו $\~~sup~~ A $, מהמילה $\text{inferior}$.		מסמנים אותו $\inf A $, מהמילה $\text{inferior}$.

	\end{definition}		\end{definition}

ארז שיינר: 11 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:25Z

11 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־12:30, 24 בספטמבר 2014

2014-09-24T12:30:12Z

הצגת שינויים

Ofekgillon10 ב־08:58, 18 בספטמבר 2014

2014-09-18T08:58:51Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:58, 18 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	~~<latex2pdf>~~
	~~<tex>קוד:ראש</tex>~~

	\begin{definition}		\begin{definition}
	תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי:		תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי:
שורה 62:		שורה 59:
	\begin{enumerate}		\begin{enumerate}
	\item $-M$ חסם מלרע של $B$ $\Leftrightarrow$\\		\item $-M$ חסם מלרע של $B$ $\Leftrightarrow$\\
	$\forall b \in B : -M\leq b $ $Leftrightarrow$\\		$\forall b \in B : -M\leq b $ $\Leftrightarrow$\\
	$\forall a\in A : -M\leq -a $ $Leftrightarrow$\\		$\forall a\in A : -M\leq -a $ $\Leftrightarrow$\\
	$\forall a\in A : a\leq M $ $\Leftrightarrow$\\		$\forall a\in A : a\leq M $ $\Leftrightarrow$\\
	$M$ חסם מלעיל של $A$		$M$ חסם מלעיל של $A$
שורה 71:		שורה 68:

	\begin{remark}		\begin{remark}
	מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $\~~Phi~~ \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל קיים חסם עליון.		מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $\phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל קיים חסם עליון.
	\end{remark}		\end{remark}

	\begin{thm}		\begin{thm}
	אם $\~~Phi~~ \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון.		אם $\phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון.
	\end{thm}		\end{thm}

שורה 93:		שורה 90:

	\begin{proof}		\begin{proof}
			נוכיח עבור חסם עליון, ועבור חסם תחתון אפשר להוכיח באופן דומה.\\
			\boxed{\Leftarrow}\\
	נניח M חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-M חסם מלעיל. נותר להוכיח כי		נניח M חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-M חסם מלעיל. נותר להוכיח כי
	$$\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon$$		$$\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon$$
	נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$.\\		נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$.\\
	לכן, לפי ההגדרה, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון $M$, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.		לכן, לפי ההגדרה, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון $M$, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.\\
			\boxed{\Rightarrow}
			נניח בשלילה ש- $M$ לא חסם עליון. לפי הנתון הוא חסם מלעיל ולכן מההנחה בשלילה מסיקים שיש חסם מלעיל קטן ממנו, נסמנו $m$. נסתכל על $\varepsilon=M-m $ , ונראה ש- $M-\varepsilon=m $ , שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה, ולכן אין איבר ב-$A$ שגדול מ-$M-\varepsilon$, בסתירה לנתון.
	\end{proof}		\end{proof}

	~~<tex>קוד:זנב</tex>~~
	~~</latex2pdf>~~

Ofekgillon10 ב־08:51, 18 בספטמבר 2014

2014-09-18T08:51:23Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:51, 18 בספטמבר 2014
שורה 62:		שורה 62:
	\begin{enumerate}		\begin{enumerate}
	\item $-M$ חסם מלרע של $B$ $\Leftrightarrow$\\		\item $-M$ חסם מלרע של $B$ $\Leftrightarrow$\\
	$\forall b \in B : -M\leq b $ ~~אם ורק אם~~ $\forall a\in A : -M\leq -a $ ~~אם ורק אם~~ $\forall a\in A : a\leq M $ ~~אם ורק אם~~ $M$ חסם מלעיל של $A$		$\forall b \in B : -M\leq b $ $Leftrightarrow$\\
			$\forall a\in A : -M\leq -a $ $Leftrightarrow$\\
			$\forall a\in A : a\leq M $ $\Leftrightarrow$\\
			$M$ חסם מלעיל של $A$
	\item נניח $M$ חסם עליון של $A$, בפרט הוא חסם מלעיל ולכן $-M$ חסם מלרע של $B$. כעת נניח בשלילה שקיים חסם מלרע $m\geq -M $, ולכן $-m\leq M $ חסם מלעיל של $A$ בסתירה לכך ש- $M$ חסם המלעיל הכי קטן שלו, ולכן אין חסם מלרע גדול מ- $-M$ ואז הוא חסם תחתון. את הכיוון השני מוכיחים באופן דומה.		\item נניח $M$ חסם עליון של $A$, בפרט הוא חסם מלעיל ולכן $-M$ חסם מלרע של $B$. כעת נניח בשלילה שקיים חסם מלרע $m\geq -M $, ולכן $-m\leq M $ חסם מלעיל של $A$ בסתירה לכך ש- $M$ חסם המלעיל הכי קטן שלו, ולכן אין חסם מלרע גדול מ- $-M$ ואז הוא חסם תחתון. את הכיוון השני מוכיחים באופן דומה.
	\end{enumerate}		\end{enumerate}

Ofekgillon10 ב־08:49, 18 בספטמבר 2014

2014-09-18T08:49:55Z

דף חדש

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

\begin{definition}
תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי:
\begin{enumerate}
\item $M$ נקרא חסם מלעיל של A אם $\forall a\in A:a\leq M$ (כלומר שגדול/שווה מכל איברי הקבוצה)

\item $m$ נקרא חסם מלרע של A אם $\forall a\in A:a\geq m$

\item חסם מלעיל של A נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה A (בעצם המקסימום זה איבר בקבוצה שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה)

\item חסם מלרע של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A

\item חסם מלעיל של A נקרא החסם העליון של A אם אין ל-A חסם מלעיל קטן ממש ממנו, מסמנים אותו $\sup A $ (מהמילה $\text{superior}$ )

\item חסם מלרע של A נקרא החסם התחתון של A אם אין ל-A חסם מלרע גדול ממש ממנו, מסמנים אותו $\inf A $ (מהמילה $\text{inferior}$)

\end{enumerate}

\end{definition}

\begin{example}
ניקח לדוגמה את
$$A=\{1,2,3,-5,463\} $$
$1000$ חסם מלעיל של $A$ משום שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה.\\
גם $683$ חסם מלעיל של $A$, מאותה סיבה. \\
$463$ הוא חסם מלעיל מיוחד, הוא המקסימום, הוא חסם מלעיל שנמצא בתוך $A$ עצמה, ובעצם גם החסם העליון משום שאם היה חסם מלעיל קטן ממנו, אז הוא היה קטן מ- $463\in A $ , כלומר קטן ממש מאיבר בקבוצה (בעצם כל מקסימום הוא חסם עליון).\\
מצד שני\\
$-5.5 $ חסם מלרע של $A$ משום שקטן או שווה לכל איברי הקבוצה.\\
$-5 $ גם הוא חסם מלרע של $A$, אך הפעם זהו מינימום משום שזהו חסם מלרע בתוך הקבוצה $A$. באופן דומה למקסימום, בתור מינימום, הוא גם חסם תחתון.
\end{example}

\begin{example}
ניקח את
$$B=\left \{\left ( \frac{1}{10} \right )^n : n\in \mathbb{N} \right \} = \left \{0.1,0.01,0.001,\cdots\right \} $$
נשים לב ש-$0.1$ חסם מלעיל של הקבוצה, ומשום גם נמצא בתוך הקבוצה הוא מקסימום שלה ומכאן גם חסם עליון.\\
מה המינימום שלה? נראה שאין כזה ע"י כך שנמצא את החסם התחתון של $B$ ונראה שהוא לא בקבוצה, למרות שמינימום הוא תמיד גם בקבוצה וגם חסם תחתון.\\
$0$ חסם תחתון של $B$ משום שחסם מלרע וגם אם קיים חסם מלרע גדול יותר, $\varepsilon$ אז מתקיים
$$\forall n :\varepsilon\leq \left ( \frac{1}{10} \right )^n =\frac{1}{10^n}\Rightarrow$$
$$\forall n : 10^n \leq \frac{1}{\varepsilon} $$
אבל החלק הימני קבוע והחלק השמאלי יכול להיות גדול כרצוננו (עבור בחירת $n$ מספיק גדול) ולכן קיבלנו שמשהו שגדול כרצוננו קטן ממשהו קבוע וזוהי כמובן סתירה, ומכאן ש-$0$ הוא חסם המלרע הכי גדול.\\
מצד שני $0\not\in B $ , ולכן אין מינימום.
\end{example}

שימו לב לשלילות הבאות:

$M$ אינו חסם מלעיל אם"ם קיים איבר $a>M$

$m$ אינו חסם מלרע אם"ם קיים איבר $a<M$

$M$ אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.

$m$ אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.

\begin{remark}
תהי $A\subseteq \mathbb{R} $ ונגדיר $B=\{-a : a\in A\} $. אזי $M $ חסם מלעיל של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם מלרע של $B$ ובנוסף $M$ חסם עליון של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם תחתון של $B$.
\end{remark}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $-M$ חסם מלרע של $B$ $\Leftrightarrow$\\
$\forall b \in B : -M\leq b $ אם ורק אם $\forall a\in A : -M\leq -a $ אם ורק אם $\forall a\in A : a\leq M $ אם ורק אם $M$ חסם מלעיל של $A$
\item נניח $M$ חסם עליון של $A$, בפרט הוא חסם מלעיל ולכן $-M$ חסם מלרע של $B$. כעת נניח בשלילה שקיים חסם מלרע $m\geq -M $, ולכן $-m\leq M $ חסם מלעיל של $A$ בסתירה לכך ש- $M$ חסם המלעיל הכי קטן שלו, ולכן אין חסם מלרע גדול מ- $-M$ ואז הוא חסם תחתון. את הכיוון השני מוכיחים באופן דומה.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $\Phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל קיים חסם עליון.
\end{remark}

\begin{thm}
אם $\Phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון.
\end{thm}

\begin{proof}
תהי $A$ לא ריקה חסומה מלרע. אם נגדיר את $B$ כמו במשפט האחרון נקבל שהיא חסומה מלעיל לפי המשפט, ומההערה יש לה חסם עליון $M$. מאותו המשפט, נקבל ש- $-M$ חסם תחתון של $A$ ולכן הוכחנו שיש לה חסם תחתון. (מצאנו אותו)
\end{proof}

\begin{thm}
תהי $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל אזי:

M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a>M-\epsilon$

m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a<m+\epsilon$

\end{thm}
במילים: M חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את M בגודל כלשהו שאינו אפס נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)

\begin{proof}
נניח M חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-M חסם מלעיל. נותר להוכיח כי
$$\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon$$
נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$.\\
לכן, לפי ההגדרה, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון $M$, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.

\end{proof}

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>

Ofekgillon10 ב־23:16, 17 בספטמבר 2014

2014-09-17T23:16:42Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:16, 17 בספטמבר 2014
שורה 56:		שורה 56:

	\begin{remark}		\begin{remark}
	תהי $A\subseteq \mathbb{R} $ ונגדיר $B=\{-a : a\in A\} $. אזי $M $ חסם מלעיל של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם מלרע של $B$		תהי $A\subseteq \mathbb{R} $ ונגדיר $B=\{-a : a\in A\} $. אזי $M $ חסם מלעיל של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם מלרע של $B$ ובנוסף $M$ חסם עליון של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם תחתון של $B$.
	\end{remark}		\end{remark}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	$-M$ חסם מלרע של $B$ אם ורק אם $\forall b \in B : -M\leq b $ אם ורק אם $\forall a\in A : -M\leq -a $ אם ורק אם $\forall a\in A : a\leq M $ אם ורק אם $M$ חסם מלעיל של $A$		\begin{enumerate}
			\item $-M$ חסם מלרע של $B$ אם ורק אם $\forall b \in B : -M\leq b $ אם ורק אם $\forall a\in A : -M\leq -a $ אם ורק אם $\forall a\in A : a\leq M $ אם ורק אם $M$ חסם מלעיל של $A$
			\item נניח $M$ חסם עליון של $A$, בפרט הוא חסם מלעיל ולכן $-M$ חסם מלרע של $B$. כעת נניח בשלילה שקיים חסם מלרע $m\geq -M $, ולכן $-m\leq M $ חסם מלעיל של $A$ בסתירה לכך ש- $M$ חסם המלעיל הכי קטן שלו, ולכן אין חסם מלרע גדול מ- $-M$ ואז הוא חסם תחתון. את הכיוון השני מוכיחים באופן דומה.
			\end{enumerate}
	\end{proof}		\end{proof}

שורה 70:		שורה 73:
	אם $\Phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון.		אם $\Phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון.
	\end{thm}		\end{thm}

			\begin{proof}
			תהי $A$ לא ריקה חסומה מלרע. אם נגדיר את $B$ כמו במשפט האחרון נקבל שהיא חסומה מלעיל לפי המשפט, ומההערה יש לה חסם עליון $M$. מאותו המשפט, נקבל ש- $-M$ חסם תחתון של $A$ ולכן הוכחנו שיש לה חסם תחתון. (מצאנו אותו)
			\end{proof}

	\begin{thm}		\begin{thm}

Ofekgillon10 ב־22:29, 17 בספטמבר 2014

2014-09-17T22:29:22Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:29, 17 בספטמבר 2014
שורה 23:		שורה 23:

	\begin{example}		\begin{example}
	ניקח לדוגמה את $A=\{1,2,3,-5,463\} $\\		ניקח לדוגמה את
			$$A=\{1,2,3,-5,463\} $$
	$1000$ חסם מלעיל של $A$ משום שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה.\\		$1000$ חסם מלעיל של $A$ משום שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה.\\
	גם $683$ חסם מלעיל של $A$, מאותה סיבה. \\		גם $683$ חסם מלעיל של $A$, מאותה סיבה. \\
	$463$ הוא חסם מלעיל מיוחד, הוא המקסימום, הוא חסם מלעיל שנמצא בתוך $A$ עצמה, ובעצם גם החסם העליון משום שאם היה חסם מלעיל קטן ממנו, אז הוא היה קטן מ- $463\in A $ , כלומר קטן ממש מאיבר בקבוצה. (בעצם כל מקסימום הוא חסם עליון).\\		$463$ הוא חסם מלעיל מיוחד, הוא המקסימום, הוא חסם מלעיל שנמצא בתוך $A$ עצמה, ובעצם גם החסם העליון משום שאם היה חסם מלעיל קטן ממנו, אז הוא היה קטן מ- $463\in A $ , כלומר קטן ממש מאיבר בקבוצה (בעצם כל מקסימום הוא חסם עליון).\\
	\\		מצד שני\\
	$-5.5 $ חסם מלרע של $A$ משום שקטן או שווה לכל איברי הקבוצה.\\		$-5.5 $ חסם מלרע של $A$ משום שקטן או שווה לכל איברי הקבוצה.\\
	$-5 $ גם הוא חסם מלרע של $A$, אך הפעם זהו מינימום משום שזהו חסם מלרע בתוך הקבוצה $A$. באופן דומה למקסימום, בתור מינימום, הוא גם חסם תחתון.		$-5 $ גם הוא חסם מלרע של $A$, אך הפעם זהו מינימום משום שזהו חסם מלרע בתוך הקבוצה $A$. באופן דומה למקסימום, בתור מינימום, הוא גם חסם תחתון.
	\end{example}		\end{example}

			\begin{example}
			ניקח את
			$$B=\left \{\left ( \frac{1}{10} \right )^n : n\in \mathbb{N} \right \} = \left \{0.1,0.01,0.001,\cdots\right \} $$
			נשים לב ש-$0.1$ חסם מלעיל של הקבוצה, ומשום גם נמצא בתוך הקבוצה הוא מקסימום שלה ומכאן גם חסם עליון.\\
			מה המינימום שלה? נראה שאין כזה ע"י כך שנמצא את החסם התחתון של $B$ ונראה שהוא לא בקבוצה, למרות שמינימום הוא תמיד גם בקבוצה וגם חסם תחתון.\\
			$0$ חסם תחתון של $B$ משום שחסם מלרע וגם אם קיים חסם מלרע גדול יותר, $\varepsilon$ אז מתקיים
			$$\forall n :\varepsilon\leq \left ( \frac{1}{10} \right )^n =\frac{1}{10^n}\Rightarrow$$
			$$\forall n : 10^n \leq \frac{1}{\varepsilon} $$
			אבל החלק הימני קבוע והחלק השמאלי יכול להיות גדול כרצוננו (עבור בחירת $n$ מספיק גדול) ולכן קיבלנו שמשהו שגדול כרצוננו קטן ממשהו קבוע וזוהי כמובן סתירה, ומכאן ש-$0$ הוא חסם המלרע הכי גדול.\\
			מצד שני $0\not\in B $ , ולכן אין מינימום.
			\end{example}

	שימו לב לשלילות הבאות:		שימו לב לשלילות הבאות:
שורה 44:		שורה 56:

	\begin{remark}		\begin{remark}
	מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל ~~(מלרע)~~ קיים חסם עליון ~~(תחתון)~~.		תהי $A\subseteq \mathbb{R} $ ונגדיר $B=\{-a : a\in A\} $. אזי $M $ חסם מלעיל של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם מלרע של $B$
			\end{remark}

			\begin{proof}
			$-M$ חסם מלרע של $B$ אם ורק אם $\forall b \in B : -M\leq b $ אם ורק אם $\forall a\in A : -M\leq -a $ אם ורק אם $\forall a\in A : a\leq M $ אם ורק אם $M$ חסם מלעיל של $A$
			\end{proof}

			\begin{remark}
			מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $\Phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל קיים חסם עליון.
	\end{remark}		\end{remark}

			\begin{thm}
			אם $\Phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון.
			\end{thm}

	\begin{thm}		\begin{thm}

Ofekgillon10 ב־22:10, 17 בספטמבר 2014

2014-09-17T22:10:51Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:10, 17 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
			<latex2pdf>
			<tex>קוד:ראש</tex>

	\begin{definition}		\begin{definition}
	תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי:		תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי:
שורה 17:		שורה 20:

	\end{definition}		\end{definition}


			\begin{example}
			ניקח לדוגמה את $A=\{1,2,3,-5,463\} $\\
			$1000$ חסם מלעיל של $A$ משום שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה.\\
			גם $683$ חסם מלעיל של $A$, מאותה סיבה. \\
			$463$ הוא חסם מלעיל מיוחד, הוא המקסימום, הוא חסם מלעיל שנמצא בתוך $A$ עצמה, ובעצם גם החסם העליון משום שאם היה חסם מלעיל קטן ממנו, אז הוא היה קטן מ- $463\in A $ , כלומר קטן ממש מאיבר בקבוצה. (בעצם כל מקסימום הוא חסם עליון).\\
			\\
			$-5.5 $ חסם מלרע של $A$ משום שקטן או שווה לכל איברי הקבוצה.\\
			$-5 $ גם הוא חסם מלרע של $A$, אך הפעם זהו מינימום משום שזהו חסם מלרע בתוך הקבוצה $A$. באופן דומה למקסימום, בתור מינימום, הוא גם חסם תחתון.
			\end{example}


	שימו לב לשלילות הבאות:		שימו לב לשלילות הבאות:

	M אינו חסם מלעיל אם"ם קיים איבר a>M		$M$ אינו חסם מלעיל אם"ם קיים איבר $a>M$

	m אינו חסם מלרע אם"ם קיים איבר a<m		$m$ אינו חסם מלרע אם"ם קיים איבר $a<M$

	M אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.		$M$ אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.

	m אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.		$m$ אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.

	\begin{remark}		\begin{remark}
שורה 49:		שורה 64:

	\end{thm}		\end{thm}

			<tex>קוד:סיום</tex>
			</latex2pdf>

Ofekgillon10 ב־09:48, 17 בספטמבר 2014

2014-09-17T09:48:01Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:48, 17 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	~~<latex2pdf>~~
	~~<tex>קוד:ראש</tex>~~

	\begin{definition}		\begin{definition}
	תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי:		תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי:
שורה 13:		שורה 10:
	\item חסם מלרע של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A		\item חסם מלרע של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A

	\item חסם מלעיל של A נקרא החסם העליון של A אם אין ל-A חסם מלעיל קטן ממש ממנו, מסמנים אותו $\sup A $ (מהמילה )		\item חסם מלעיל של A נקרא החסם העליון של A אם אין ל-A חסם מלעיל קטן ממש ממנו, מסמנים אותו $\sup A $ (מהמילה $\text{superior}$ )

	\item חסם מלרע של A נקרא החסם התחתון של A אם אין ל-A חסם מלרע גדול ממש ממנו, מסמנים אותו $\inf A $ (מהמילה inferior)		\item חסם מלרע של A נקרא החסם התחתון של A אם אין ל-A חסם מלרע גדול ממש ממנו, מסמנים אותו $\inf A $ (מהמילה $\text{inferior}$)

	\end{enumerate}		\end{enumerate}
שורה 52:		שורה 49:

	\end{thm}		\end{thm}

	~~<tex>קוד:זנב</tex>~~
	~~</latex2pdf>~~