ארז שיינר: 3 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:27Z

3 גרסאות יובאו

דף חדש

בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה $P^{-1}AP$ משולשת עליונה או תחתונה. מסתבר שאין הבדל:

\begin{remark}

אם $C$ מטריצה משולשת עליונה, אזי $C$ דומה למטריצה משולשת תחתונה.

\end{remark}

\begin{proof}

נגדיר את המטריצה
$$P=\left(\begin{matrix}
0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0
\end{matrix} \right )$$
(כלומר, 1-ים על האלכסון המקיים $i+j=n+1$, ובשאר אפסים).

קל לבדוק כי $P^2=I$, ולכן $P^{-1}=P$.

נסתכל על $P^{-1}CP$. מתקיים
$$\left(\begin{matrix}
0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0
\end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix}
c_{11} & & \star\\
& \ddots & \\
0 & & c_{nn}
\end{matrix} \right )\left(\begin{matrix}
0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0
\end{matrix} \right )=$$
$$=
\left ( \begin{matrix}
0 & & c_{nn}\\
& \dots & \\
c_{11} & & \star
\end{matrix} \right )
\left(\begin{matrix}
0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0
\end{matrix} \right )=
\left ( \begin{matrix}
c_{nn} & &0 \\
& \ddots & \\
\star & & c_{11}
\end{matrix} \right )$$.

\end{proof}

קוד:כל מטריצה משולשית עליונה דומה לתחתונה - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 3 גרסאות יובאו