https://math-wiki.com/index.php?action=history&feed=atom&title=%D7%A7%D7%95%D7%93%3A%D7%9C%D7%9B%D7%A1%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99_%D7%A9%D7%9C_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%A8%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9Dקוד:לכסון אוניטרי של אופרטורים - היסטוריית גרסאות2026-04-09T01:24:49Zהיסטוריית הגרסאות של הדף הזה בוויקיMediaWiki 1.39.4https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%93:%D7%9C%D7%9B%D7%A1%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99_%D7%A9%D7%9C_%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%A8%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=56353&oldid=prevארז שיינר: 2 גרסאות יובאו2014-10-04T20:16:29Z<p>2 גרסאות יובאו</p>
<p><b>דף חדש</b></p><div>הגענו למשפט הלכסון האוניטרי.<br />
<br />
\begin{thm}<br />
<br />
יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי. אזי קיים בסיס אורתונורמלי $B$ של $V$ כך שהמטריצה המייצגת $A=\left[T\right]_B$ אלכסונית אם ורק אם הפולינום האופייני $p_T\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים, וכן $T$ נורמלית.<br />
<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[$\boxed{\Rightarrow}$] נניח ש-$p_T\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים וש-$T$ נורמלי. $p_T\left(x\right)$ מתפרק לחלוטין, ולכן $T$ ניתן לשילוש אוניטרי, ז"א שקיים בסיס אורתונורמלי $B$ של $V$ כך ש-$A=\left[T\right]_B$ משולשת. המטריצה $A$ משולשת, על פי הבנייה, וגם נורמלית (כי $B$ אורתונורמלי), ולכן לפי הלמה הקודמת, $A$ אלכסונית, כדרוש.<br />
<br />
\item[$\boxed{\Leftarrow}$] $T$ ניתן ללכסון אוניטרי, אז הוא גם ניתן לשילוש אוניטרי, ולכן $p_T\left(x\right)$ מתפרק לחלוטין. אם כן, נותר להוכיח ש-$T$ נורמלי.<br />
<br />
מספיק להוכיח שאם $B$ בסיס אורתונורמלי של $V$ כך ש-$A=\left[T\right]_B$ אלכסונית, אזי $A$ נורמלית. $A$ אלכסונית, לכן $A^*=\overline{A}^t$ גם אלכסונית, ולכן $AA^*=A^*A$, כי מטריצות אלכסוניות מתחלפות זו עם זו.<br />
<br />
\end{description}<br />
<br />
\end{proof}</div>ארז שיינר