ארז שיינר: גרסה אחת יובאה

2014-10-04T20:16:29Z

גרסה אחת יובאה

דף חדש

\begin{remark}

לכסון עוזר בהעלאה בחזקה של מטריצה. הסבר:

נניח ש-$A$ לכסינה ו-$k\in\mathbb{N}$. נניח ש-$P$ היא המטריצה המלכסנת של $A$, ונניח שהמטריצה $D=P^{-1}AP$ היא מטריצה אלכסונית. אזי:
$$A^k=\left ( PDP^{-1} \right )^k=\underbrace{\left ( PDP^{-1} \right )\left ( PDP^{-1} \right )\cdots\left ( PDP^{-1} \right )}_{k\;\text{times}}=PD^kP^{-1}$$
לכאורה, לא נפטרנו מהבעיה; עדיין צריך להעלות מטריצה בחזקה גבוהה. אבל $D$ אלכסונית, נניח
$$D=\left ( \begin{matrix}
\alpha_1 & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \alpha_n
\end{matrix} \right )$$
אזי
$$D^k=\left ( \begin{matrix}
\alpha_1^k & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \alpha_n^k
\end{matrix} \right )$$
וזה קל לחישוב!

\end{remark}

קוד:לכסון עוזר בהעלאה בחזקה - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: גרסה אחת יובאה