קוד:מבחן המנה של דלאמבר לטורים - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:30Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־11:56, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T11:56:39Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:56, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\~~underline~~{~~משפט:~~} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים $\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =q $ אזי		\begin{thm}
			נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים $\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =q $ אזי
			\begin{enumerate}
			\item אם $q<1 $ הטור מתכנס

	1. אם $q<1 $ הטור ~~מתכנס~~		\item אם $q>1 $ (אפשר גם אינסופי) הטור מתבדר
			\end{enumerate}
			\end{thm}

	2~~. אם~~ $q>1 $ ~~(אפשר גם אינסופי) הטור מתבדר~~		\begin{proof}
			\begin{enumerate}
			\item
			$\exists_{n_0} \forall_{n\geq n_0} \frac{a_{n+1}}{a_n} <q' $ עבור $ q<q'<1 $ ואז $\forall n\geq n_0: a_{n+1}\leq q' a_n $ . מכאן ש-$$a_{n+1}\leq a_n \cdot q' \leq a_{n-1}\cdot q'^2 \leq \cdots \leq a_{n_0} \cdot q'^{n+1-n_0} =a_{n_0} q'^{1-n_0} \cdot q'^n $$
			נסיק ש- $\sum_{n=n_0}^\infty a_n \leq a_{n_0} q'^{1-n_0} \cdot \sum_{n=1}^\infty q'^n $ אבל זהו טור הנדסי שמתכנס, ולכן, ממבחן ההשווא ההראשון, נקבל את הדרוש.

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~}		\item
			מוכיחים את זה באופן אנלוגי ל-1 רק שצריך לקחת $1<q'<q $ ואי השיוויונים מתהפכים.
			\end{enumerate}
			\end{proof}

	~~1. $\exists_{n_0} \forall_{n\geq n_0}~~ \~~frac~~{~~a_{n+1~~}}{a_n} <q' $ עבור $ q<q'<1 $ ואז $\forall_{n\geq n_0} a_{n+1}\leq q' a_n $ . מכאן ש- $a_{n+1}\leq a_n \cdot q' \leq a_{n-1}\cdot q'^2 \leq \cdots \leq a_{n_0} \cdot q'^{n+1-n_0} =a_{n_0} q'^{1-n_0} \cdot q'^n $. נסיק ש- $\sum_{n=n_0}^\infty a_n \leq a_{n_0} q'^{1-n_0} \cdot \sum_{n=1}^\infty q'^n $ אבל זהו טור הנדסי שמתכנס, ולכן, ממבחן ההשווא ההראשון, נקבל את הדרוש.		\begin{example}
			אם $q=1 $ אי אפשר לדעת, לדוגמה אם ניקח את הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ אז בכל מקרה נקבל $q=1 $ אבל עבור $p$ים שונים נקבל התכנסות/התבדרות
	~~2. מוכיחים את זה באופן אנלוגי ל-1 רק שצריך לקחת $1<q'<q $ ואי השיוויונים מתהפכים.~~		\end{example}

	~~$\\$~~
	~~דוגמה:~~ אם $q=1 $ אי אפשר לדעת, לדוגמה אם ניקח את הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ אז בכל מקרה נקבל $q=1 $ אבל עבור $p$ים שונים נקבל התכנסות/התבדרות

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים $\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =q..."

2014-08-16T15:17:14Z

יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים $\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =q..."

דף חדש

\underline{משפט:} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים $\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =q $ אזי

1. אם $q<1 $ הטור מתכנס

2. אם $q>1 $ (אפשר גם אינסופי) הטור מתבדר

\underline{הוכחה:}

1. $\exists_{n_0} \forall_{n\geq n_0} \frac{a_{n+1}}{a_n} <q' $ עבור $ q<q'<1 $ ואז $\forall_{n\geq n_0} a_{n+1}\leq q' a_n $ . מכאן ש- $a_{n+1}\leq a_n \cdot q' \leq a_{n-1}\cdot q'^2 \leq \cdots \leq a_{n_0} \cdot q'^{n+1-n_0} =a_{n_0} q'^{1-n_0} \cdot q'^n $. נסיק ש- $\sum_{n=n_0}^\infty a_n \leq a_{n_0} q'^{1-n_0} \cdot \sum_{n=1}^\infty q'^n $ אבל זהו טור הנדסי שמתכנס, ולכן, ממבחן ההשווא ההראשון, נקבל את הדרוש.

2. מוכיחים את זה באופן אנלוגי ל-1 רק שצריך לקחת $1<q'<q $ ואי השיוויונים מתהפכים.

$\\$
דוגמה: אם $q=1 $ אי אפשר לדעת, לדוגמה אם ניקח את הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ אז בכל מקרה נקבל $q=1 $ אבל עבור $p$ים שונים נקבל התכנסות/התבדרות