קוד:מבחן לוגריתמי - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:30Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־11:51, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T11:51:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:51, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\~~underline~~{~~משפט:~~} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים $\lim_{n\to \infty} \frac{-\ln(a_n)}{\ln(n)} =\lim_{n\to \infty} \log_n \frac{1}{a_n} = \alpha $ (אם הטור הזה מועמד להתכנסות אז האיבר הכללי שואף ל-0 ולכן אפשר לראות שבכל מקרה $\alpha $ חייב להיות חיובי במקרה זה).		\begin{thm}
			נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים
			$$\lim_{n\to \infty} \frac{-\ln(a_n)}{\ln(n)} =\lim_{n\to \infty} \log_n \frac{1}{a_n} = \alpha $$
			(אם הטור הזה מועמד להתכנסות אז האיבר הכללי שואף ל-0 ולכן אפשר לראות שבכל מקרה $\alpha $ חייב להיות חיובי במקרה זה).
			\begin{enumerate}
			\item אם $\alpha>1 $ (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתכנס

	1. אם $\alpha>1 $ ~~(גם אינסופי זה בסדר)~~ הטור ~~מתכנס~~		\item אם $\alpha<1 $ הטור מתבדר
			\end{enumerate}
			\end{thm}

	2. אם $\alpha<1 $ הטור ~~מתבדר~~		\begin{proof}
			\begin{enumerate}
			\item $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} : \log_n \frac{1}{a_n} >\alpha' $ עבור $1<\alpha'<\alpha $ .\\
			קיבלנו $\frac{1}{a_n}>n^{\alpha'} $ ואז כמובן $\frac{1}{n^{\alpha'}} > a_n $ והטור $\sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{n^{\alpha'}} $ מתכנס (הוכחנו כשדיברנו על מבחן העיבוי) ולכן, ממבחן ההשוואה הראשון, הטור שלנו מתכנס

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~}		\item ההוכחה אנלוגית ממש רק שניקח $\alpha<\alpha'<1 $ ונקבל טור שהוכחנו שהוא מתבדר כשדיברנו על מבחן העיבוי.
			\end{enumerate}
			\end{proof}

	~~1. $~~\~~exists_~~{~~n_0~~} \forall_{n>n_0} : \log_n \frac{1}{a_n} >\alpha' $ עבור $1<\alpha'<\alpha $ . קיבלנו $\frac{1}{a_n}>n^{\alpha'} $ ואז כמובן $\frac{1}{n^{\alpha'}} > a_n $ והטור $\sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{n^{\alpha'}} $ מתכנס (הוכחנו כשדיברנו על מבחן העיבוי) ולכן, ממבחן ההשוואה הראשון, הטור ~~שלנו~~ מתכנס		\begin{example}
			האם הטור הבא מתכנס או מתבדר?
	~~2. ההוכחה אנלוגית ממש רק שניקח $\alpha<\alpha'<1 $ ונקבל טור שהוכחנו שהוא~~ מתבדר ~~כשדיברנו על מבחן העיבוי.~~		$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\ln(\ln(n))}} $$
			פתרון: נראה כי $\lim_{n\to\infty} \log_n (n^{\ln(\ln(n))}) = \lim_{n\to\infty} \ln(\ln(n))=\infty $ ולכן ממבחן לוגריתמי הטור מתכנס
	$~~\\$~~		\end{example}
	~~דוגמה:~~ $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\ln(\ln(n))}} $ ~~מתכנס או מתבדר?~~ נראה כי $\lim_{n\to\infty} \log_n (n^{\ln(\ln(n))}) = \lim_{n\to\infty} \ln(\ln(n))=\infty $ ולכן ממבחן לוגריתמי הטור מתכנס

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים $\lim_{n\to \infty} \frac{-\ln(a_n)}{\ln(n..."

2014-08-16T14:53:50Z

יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים $\lim_{n\to \infty} \frac{-\ln(a_n)}{\ln(n..."

דף חדש

\underline{משפט:} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים $\lim_{n\to \infty} \frac{-\ln(a_n)}{\ln(n)} =\lim_{n\to \infty} \log_n \frac{1}{a_n} = \alpha $ (אם הטור הזה מועמד להתכנסות אז האיבר הכללי שואף ל-0 ולכן אפשר לראות שבכל מקרה $\alpha $ חייב להיות חיובי במקרה זה).

1. אם $\alpha>1 $ (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתכנס

2. אם $\alpha<1 $ הטור מתבדר

\underline{הוכחה:}

1. $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} : \log_n \frac{1}{a_n} >\alpha' $ עבור $1<\alpha'<\alpha $ . קיבלנו $\frac{1}{a_n}>n^{\alpha'} $ ואז כמובן $\frac{1}{n^{\alpha'}} > a_n $ והטור $\sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{n^{\alpha'}} $ מתכנס (הוכחנו כשדיברנו על מבחן העיבוי) ולכן, ממבחן ההשוואה הראשון, הטור שלנו מתכנס

2. ההוכחה אנלוגית ממש רק שניקח $\alpha<\alpha'<1 $ ונקבל טור שהוכחנו שהוא מתבדר כשדיברנו על מבחן העיבוי.

$\\$
דוגמה: $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\ln(\ln(n))}} $ מתכנס או מתבדר? נראה כי $\lim_{n\to\infty} \log_n (n^{\ln(\ln(n))}) = \lim_{n\to\infty} \ln(\ln(n))=\infty $ ולכן ממבחן לוגריתמי הטור מתכנס