https://math-wiki.com/index.php?action=history&feed=atom&title=%D7%A7%D7%95%D7%93%3A%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%95%D7%AA_%D7%92%D7%A8%D7%90%D7%9D_%D7%AA%D7%97%D7%AA_%D7%A9%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%99_%D7%91%D7%A1%D7%99%D7%A1קוד:מטריצות גראם תחת שינוי בסיס - היסטוריית גרסאות2026-04-08T11:35:39Zהיסטוריית הגרסאות של הדף הזה בוויקיMediaWiki 1.39.4https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%93:%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%95%D7%AA_%D7%92%D7%A8%D7%90%D7%9D_%D7%AA%D7%97%D7%AA_%D7%A9%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%99_%D7%91%D7%A1%D7%99%D7%A1&diff=56408&oldid=prevארז שיינר: גרסה אחת יובאה2014-10-04T20:16:31Z<p>גרסה אחת יובאה</p>
<p><b>דף חדש</b></p><div>ננסה כעת לבדוק מה קורה למטריצת גראם, אם משנים את הבסיס שבו אנו עובדים.<br />
<br />
יהיו $B,B'$ בסיסים של $V$, $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$, וכן $B'=\left \{ v_1',\dots,v_n' \right \}$. נסמן ב-$G,G'$ את מטריצות גראם של המכפלה הפנימית $\left\langle\quad,\quad\right\rangle$ יחסית לבסיסים $B,B'$ בהתאמה.<br />
<br />
\begin{thm}<br />
<br />
תהי $C$ מטריצת המעבר מ-$B'$ ל-$B$. אזי $G'=C^tG\overline{C}$, כאשר $\overline{C}$ = הצמדת כל האיברים במטריצה $C$.<br />
<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
<br />
יהי $v\in V$, $B,B'$ בסיסים ו-$C$ מטריצת המעבר מ-$B'$ ל-$B$. אזי $\left[v \right ]_B=C\left[v \right ]_{B'}$, כלומר $\left[v \right ]_B^t=\left[v \right ]_{B'}^tC^t$.<br />
<br />
מצד אחד, $B'$ בסיס, ולכן $\left \langle v,w \right \rangle=\left[v \right ]_{B'}^tG'\overline{\left[w \right ]_{B'}}$. עם זאת, גם $B$ בסיס, ולכן $\left \langle v,w \right \rangle=\left[v \right ]_B^tG\overline{\left[w \right ]_B}=\left[v\right]_{B'}^tC^tG\overline{C}\;\overline{\left[w \right ]_{B'}}$.<br />
<br />
בסך הכל, $G'=C^tG\overline{C}$, כדרוש.<br />
<br />
\end{proof}</div>ארז שיינר