קוד:מיון נק' אי רציפות - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:31Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־17:50, 23 בספטמבר 2014

2014-09-23T17:50:23Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:50, 23 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\begin{definition}		\begin{definition}
	נניח $f:A\to \mathbb{R} $ לא רציפה ב-$a$ (במקרה הזה נהוג להגיד ש- $a$ נק' אי רציפות) ואז לא נכון לומר שקיים $\lim_{x\to a} f(x) $ ששווה ל- $f(a)$ . במקרה הזה קיימות 3 אפשרויות:		נניח $f:A\to \mathbb{R} $ לא רציפה ב-$a$ (במקרה הזה נהוג להגיד ש- $a$ נק' אי רציפות) ואז לא נכון לומר שקיים $\lim_{x\to a} f(x) $ ששווה ל- $f(a)$ .\\
			במקרה הזה קיימות 3 אפשרויות:
	1. קיים הגבול $\lim_{x\to a} f(x) $ (ובפרט קיימים הגבולות החד צדדיים והם שווים) אבל הוא שונה מ-$f(a)$ . במקרה זה אומרים ש-$a$ נק' אי רציפות סליקה (או "סוג אפס").		\begin{enumerate}
			\item קיים הגבול $\lim_{x\to a} f(x) $ (ובפרט קיימים הגבולות החד צדדיים והם שווים) אבל הוא שונה מ-$f(a)$ . במקרה זה אומרים ש-$a$ נק' אי רציפות סליקה (או "סוג אפס").
	2. לא קיים הגבול, אבל קיימים הגבולות החד צדדיים $\lim_{x\to a^+} f(x) , \lim_{x\to a^-} f(x) $ (ואז זה אומר שהם שונים). במקרה הזה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג ראשון.		\item לא קיים הגבול, אבל קיימים הגבולות החד צדדיים $\lim_{x\to a^+} f(x) , \lim_{x\to a^-} f(x) $ (ואז זה אומר שהם שונים). במקרה הזה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג ראשון.
			\item לפחות אחד הגבולות החד צדדיים לא קיים. במקרה זה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג שני
	3. לפחות אחד הגבולות החד צדדיים לא קיים. במקרה זה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג שני		\end{enumerate}
	\end{definition}		\end{definition}

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	לפונקציה מונוטונית $f:(a,b)\to \mathbb{R} $ יכולות להיות נק' אי רציפות מסוג ראשון בלבד		לפונקציה מונוטונית $f:(a,b)\to \mathbb{R} $ יכולות להיות נק' אי רציפות מסוג ראשון בלבד
	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	נניח בה"כ ש- $f$ מונוטונית עולה ונראה כי $\lim_{x\to x_0^-} f(x) = \sup_{x\in (a,x_0)} f(x)\leq f(x_0) , \lim_{x\to x_0^+} f(x)=\inf_{x\in (x_0,b)}\geq f(x_0)$ ולכן הגבולות החד צדדיים קיימים.		נניח בה"כ ש- $f$ מונוטונית עולה ונראה כי
			$$\lim_{x\to x_0^-} f(x) = \sup_{x\in (a,x_0)} f(x)\leq f(x_0) , \lim_{x\to x_0^+} f(x)=\inf_{x\in (x_0,b)}\geq f(x_0)$$
			ולכן הגבולות החד צדדיים קיימים.

	אבל אם הם שווים ושונים מ- $f(x_0)$ נגיע לסתירה משום שאם נניח בה"כ ש- $\lim_{x\to x_0} f(x) > f(x_0) $ אז קיים $\delta $ כך ש- $\forall x : 0<x_0-x<\delta $ מתקיים ש- $(\lim_{x\to x_0} f(x)) - f(x) \leq (\lim_{x\to x_0} f(x))-f(x_0) \Rightarrow f(x_0)\leq f(x) $ למרות ש- $x<x_0$ וזה בסתירה למונוטוניות של $f$		אבל אם הם שווים ושונים מ- $f(x_0)$ נגיע לסתירה משום שאם נניח בה"כ ש-\\
			$\lim_{x\to x_0} f(x) > f(x_0) $ אז קיים $\delta $ כך ש- $\forall x : 0<x_0-x<\delta $ מתקיים ש-
			$$\left (\lim_{x\to x_0} f(x)\right ) - f(x) \leq \left (\lim_{x\to x_0} f(x)\right )-f(x_0) \Rightarrow f(x_0)\leq f(x) $$
			למרות ש- $x<x_0$ וזה בסתירה למונוטוניות של $f$
	\end{proof}		\end{proof}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\begin{definition} נניח $f:A\to \mathbb{R} $ לא רציפה ב-$a$ (במקרה הזה נהוג להגיד ש- $a$ נק' אי רציפות) ואז לא נכ..."

2014-08-26T22:30:42Z

יצירת דף עם התוכן "\begin{definition} נניח $f:A\to \mathbb{R} $ לא רציפה ב-$a$ (במקרה הזה נהוג להגיד ש- $a$ נק' אי רציפות) ואז לא נכ..."

דף חדש

\begin{definition}
נניח $f:A\to \mathbb{R} $ לא רציפה ב-$a$ (במקרה הזה נהוג להגיד ש- $a$ נק' אי רציפות) ואז לא נכון לומר שקיים $\lim_{x\to a} f(x) $ ששווה ל- $f(a)$ . במקרה הזה קיימות 3 אפשרויות:

1. קיים הגבול $\lim_{x\to a} f(x) $ (ובפרט קיימים הגבולות החד צדדיים והם שווים) אבל הוא שונה מ-$f(a)$ . במקרה זה אומרים ש-$a$ נק' אי רציפות סליקה (או "סוג אפס").

2. לא קיים הגבול, אבל קיימים הגבולות החד צדדיים $\lim_{x\to a^+} f(x) , \lim_{x\to a^-} f(x) $ (ואז זה אומר שהם שונים). במקרה הזה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג ראשון.

3. לפחות אחד הגבולות החד צדדיים לא קיים. במקרה זה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג שני
\end{definition}

\begin{theorem}
לפונקציה מונוטונית $f:(a,b)\to \mathbb{R} $ יכולות להיות נק' אי רציפות מסוג ראשון בלבד
\end{theorem}

\begin{proof}
נניח בה"כ ש- $f$ מונוטונית עולה ונראה כי $\lim_{x\to x_0^-} f(x) = \sup_{x\in (a,x_0)} f(x)\leq f(x_0) , \lim_{x\to x_0^+} f(x)=\inf_{x\in (x_0,b)}\geq f(x_0)$ ולכן הגבולות החד צדדיים קיימים.

אבל אם הם שווים ושונים מ- $f(x_0)$ נגיע לסתירה משום שאם נניח בה"כ ש- $\lim_{x\to x_0} f(x) > f(x_0) $ אז קיים $\delta $ כך ש- $\forall x : 0<x_0-x<\delta $ מתקיים ש- $(\lim_{x\to x_0} f(x)) - f(x) \leq (\lim_{x\to x_0} f(x))-f(x_0) \Rightarrow f(x_0)\leq f(x) $ למרות ש- $x<x_0$ וזה בסתירה למונוטוניות של $f$
\end{proof}