קוד:מכפלת טורים - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 4 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:33Z

4 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־14:37, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T14:37:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:37, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	~~<latex2pdf>~~
	~~<tex>קוד:ראש</tex>~~

	יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר\\		יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר\\
	$c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $		$c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $
שורה 15:		שורה 12:
	$$ \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m \|a_n\| \|b_k\|= \sum_{n=0}^m \|a_n\| \cdot \sum_{k=0}^m \|b_k\| = A'\cdot B'$$		$$ \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m \|a_n\| \|b_k\|= \sum_{n=0}^m \|a_n\| \cdot \sum_{k=0}^m \|b_k\| = A'\cdot B'$$

	כאשר $A',B' $ זה טור הערכים המוחלטים של $A,B$ וידוע שהם קיימים וסופיים משום שהטורים מתכנסים בהחלט. לכן קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים של $C'_n $ ואז הטור מתכנס בהחלט.		כאשר $A',B' $ זה טור הערכים המוחלטים של $A,B$ וידוע שהם קיימים וסופיים משום שהטורים מתכנסים בהחלט. לכן קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים של $C'=\sum \|c_n\| $ ואז הטור מתכנס בהחלט.

	נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ ואת הסס"ח של $B$ ב- $B_n$. מתקיים ש-		נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ ואת הסס"ח של $B$ ב- $B_n$. מתקיים ש-

	$~~C_n~~ = \sum_{m=0}^n \sum_{k=0}^~~m a_k b_~~{m-k} \~~leq~~ \sum_{k=0}^n \sum_{m=0}^n ~~a_k b_m~~ $		$$A_n B_n = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n a_i b_j = C_n+\sum_{n<i+j\leq 2n} a_i b_j$$

			נגדיר $S_n =\sum_{i+j\leq n} \|a_i\| \|b_j\|$ ונראה שזוהי סדרה מונוטונית עולה. מתקיים ש-$C$ מתכנס בהחלט ולכן

			$$\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \|a_k b_{n-k} \| = \sum_{n=0}^\infty \sum_{i+j=n} \|a_i b_j \| <\infty $$

			ולכן $S_n $ חסומה ואז מתכנסת לגבול $S$ .
			$$\|A_n B_n - C_n\|=S_{2n} - S_n \to S-S = 0$$
			ומאריתמטיקה של גבולות $A\cdot B = C $
	\end{proof}		\end{proof}
	~~<tex>קוד:זנב</tex>~~
	~~</latex2pdf>~~

Ofekgillon10 ב־14:07, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T14:07:17Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:07, 3 בספטמבר 2014
שורה 2:		שורה 2:
	<tex>קוד:ראש</tex>		<tex>קוד:ראש</tex>

	יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר $c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $		יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר\\
			$c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $

	\~~underline~~{~~משפט:~~} נניח שהטורים $A,B$ מתכנסים בהחלט אזי גם $C$ מתכנס בהחלט ו-$C=A\cdot B$		\begin{thm}
			נניח שהטורים $A,B$ מתכנסים בהחלט אזי גם $C$ מתכנס בהחלט ו-$C=A\cdot B$
			\end{thm}

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~} קודם נראה ש-$C$ מתכנס בהחלט		\begin{proof}
			קודם נראה ש-$C$ מתכנס בהחלט

	$ \sum_{n=0}^m \|c_n\| = \sum_{n=0}^m \|\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\|\leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^n \|a_k b_{n-k}\| \leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m \|a_n\| \|b_k\|= \sum_{n=0}^m \|a_n\| \cdot \sum_{k=0}^m \|b_k\| ~~\leq~~ A\cdot B$		$$ \sum_{n=0}^m \|c_n\| = \sum_{n=0}^m \left \|\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right \|\leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^n \|a_k b_{n-k}\| \leq$$
			$$ \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m \|a_n\| \|b_k\|= \sum_{n=0}^m \|a_n\| \cdot \sum_{k=0}^m \|b_k\| = A'\cdot B'$$

	לכן ~~הסס"ח חסום~~ מלעיל ~~ומכאן שהטור~~ מתכנס בהחלט.		כאשר $A',B' $ זה טור הערכים המוחלטים של $A,B$ וידוע שהם קיימים וסופיים משום שהטורים מתכנסים בהחלט. לכן קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים של $C'_n $ ואז הטור מתכנס בהחלט.

	נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ ~~ובאותו אופן על~~ $B$. מתקיים ש-		נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ ואת הסס"ח של $B$ ב- $B_n$. מתקיים ש-

	$~~A_n B_n~~ = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n ~~a_i b_j~~ $		$C_n = \sum_{m=0}^n \sum_{k=0}^m a_k b_{m-k} \leq \sum_{k=0}^n \sum_{m=0}^n a_k b_m $

			\end{proof}
	<tex>קוד:זנב</tex>		<tex>קוד:זנב</tex>
	</latex2pdf>		</latex2pdf>

Ofekgillon10 ב־13:28, 21 באוגוסט 2014

2014-08-21T13:28:10Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:28, 21 באוגוסט 2014
שורה 1:		שורה 1:
	יהיו		<latex2pdf>
			<tex>קוד:ראש</tex>

			יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר $c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $

			\underline{משפט:} נניח שהטורים $A,B$ מתכנסים בהחלט אזי גם $C$ מתכנס בהחלט ו-$C=A\cdot B$

			\underline{הוכחה:} קודם נראה ש-$C$ מתכנס בהחלט

			$ \sum_{n=0}^m \|c_n\| = \sum_{n=0}^m \|\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\|\leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^n \|a_k b_{n-k}\| \leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m \|a_n\| \|b_k\|= \sum_{n=0}^m \|a_n\| \cdot \sum_{k=0}^m \|b_k\| \leq A\cdot B$

			לכן הסס"ח חסום מלעיל ומכאן שהטור מתכנס בהחלט.

			נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ ובאותו אופן על $B$. מתקיים ש-

			$A_n B_n = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n a_i b_j $
			<tex>קוד:זנב</tex>
			</latex2pdf>

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "יהיו"

2014-08-17T00:56:09Z

יצירת דף עם התוכן "יהיו"

דף חדש

יהיו