קוד:משפטי וויירשטראס לפונקציות רציפות - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:38Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־18:03, 23 בספטמבר 2014

2014-09-23T18:03:40Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:03, 23 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
			\begin{enumerate}
	תהי $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בכל הקטע אזי		תהי $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בכל הקטע אזי

	1. $f$ חסומה בקטע $[a,b] $		\item $f$ חסומה בקטע $[a,b] $
			\item $$\exists x_{\text{min}},x_{\text{max}} : f(x_{\text{min}})=\inf_{x\in(a,b)} f(x) , f(x_{\text{max}})=\sup_{x\in(a,b)} f(x) $$
			\end{enumerate}

	~~2. $~~\~~exists_{x_{\text~~{~~min}~~},~~x_{\text{max}}} : f(x_{\text{min}})=\inf_{x\in(a,b)} f(x) , f(x_{\text{max}})=\sup_{x\in(a,b)} f(x) $~~		\end{thm}
	~~\end{theorem}~~		במילים אחרות, פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה שם ומקבלת את המקסימום והמינימום שלה.

	\begin{proof}		\begin{proof}
	1. נניח בשלילה ש-$f$ לא חסומה. אזי $\forall n \exists_{x_n} : \|f(x_n)\|>n $ אבל $a\leq x_n \leq b $ ולכן זוהי סדרה חסומה ולפי בולצאנו ווירשטראס יש לה תת סדרה מתכנסת $x_{n_k}\to x_0 $ אבל מהרציפות של $f $ נקבל ש- $f(x_{n_k})\to f(x_0) $ למרות שמההגדרה של $x_{n_k}$, מתקיים ש- $\|f(x_{n_k})\|\to \infty $ בסתירה.		\begin{enumerate}

			\item נניח בשלילה ש-$f$ לא חסומה. אזי $\forall n \exists_{x_n} : \|f(x_n)\|>n $ אבל $a\leq x_n \leq b $ ולכן זוהי סדרה חסומה ולפי בולצאנו ווירשטראס יש לה תת סדרה מתכנסת\\
			$x_{n_k}\to x_0 $ אבל מהרציפות של $f $ נקבל ש- $f(x_{n_k})\to f(x_0) $ למרות שמההגדרה של $x_{n_k}$, מתקיים ש- $\|f(x_{n_k})\|\to \infty $ בסתירה.
			\item נסמן את החסמים בתור $M,m$ ונשים לב ש- $-m$ החסם העליון של $-f$ ולכן אם נוכיח את הטענה עבור החסם העליון, הטענה ל-$m$ תתקבל ישירות.\\
			נניח בשלילה ש- $f$ לא מקבלת את הערך $M$, לכן אפשר להגדיר את $g(x)=\frac{1}{M-f(x)} $ והיא תהיה רציפה משום שהמכנה לא מתאפס. אבל לפי משפט 1 $g$ חסומה ומכאן ש-
			$$\frac{1}{M-f(x)}<C \Rightarrow M-f(x)>\frac{1}{C} \Rightarrow M-\frac{1}{C}>f(x) $$
			בסתירה להגדרה ש- $M$ חסם עליון
			\end{enumerate}

	2.נסמן את החסמים בתור $M,m$ ונשים לב - $-m$ החסם העליון של $-f$ ולכן אם נוכיח את הטענה עבור החסם העליון, הטענה ל-$m$ תתקבל ישירות. נניח בשלילה ש- $f$ לא מקבלת את הערך $M$, לכן אפשר להגדיר את $g(x)=\frac{1}{M-f(x)} $ והיא תהיה רציפה משום שהמכנה לא מתאפס. אבל לפי משפט 1 $g$ חסומה ומכאן ש- $\frac{1}{M-f(x)}<C \Rightarrow M-f(x)>\frac{1}{C} \Rightarrow M-\frac{1}{C}>f(x) $ בסתירה להגדרה ש- $M$ חסם עליון
	\end{proof}		\end{proof}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\begin{theorem} תהי $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בכל הקטע אזי 1. $f$ חסומה בקטע $[a,b] $ 2. $\exists_{x_{\text{min}},x_{\text{max}}..."

2014-08-27T15:16:59Z

יצירת דף עם התוכן "\begin{theorem} תהי $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בכל הקטע אזי 1. $f$ חסומה בקטע $[a,b] $ 2. $\exists_{x_{\text{min}},x_{\text{max}}..."

דף חדש

\begin{theorem}
תהי $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בכל הקטע אזי

1. $f$ חסומה בקטע $[a,b] $

2. $\exists_{x_{\text{min}},x_{\text{max}}} : f(x_{\text{min}})=\inf_{x\in(a,b)} f(x) , f(x_{\text{max}})=\sup_{x\in(a,b)} f(x) $
\end{theorem}

\begin{proof}
1. נניח בשלילה ש-$f$ לא חסומה. אזי $\forall n \exists_{x_n} : |f(x_n)|>n $ אבל $a\leq x_n \leq b $ ולכן זוהי סדרה חסומה ולפי בולצאנו ווירשטראס יש לה תת סדרה מתכנסת $x_{n_k}\to x_0 $ אבל מהרציפות של $f $ נקבל ש- $f(x_{n_k})\to f(x_0) $ למרות שמההגדרה של $x_{n_k}$, מתקיים ש- $|f(x_{n_k})|\to \infty $ בסתירה.

2.נסמן את החסמים בתור $M,m$ ונשים לב - $-m$ החסם העליון של $-f$ ולכן אם נוכיח את הטענה עבור החסם העליון, הטענה ל-$m$ תתקבל ישירות. נניח בשלילה ש- $f$ לא מקבלת את הערך $M$, לכן אפשר להגדיר את $g(x)=\frac{1}{M-f(x)} $ והיא תהיה רציפה משום שהמכנה לא מתאפס. אבל לפי משפט 1 $g$ חסומה ומכאן ש- $\frac{1}{M-f(x)}<C \Rightarrow M-f(x)>\frac{1}{C} \Rightarrow M-\frac{1}{C}>f(x) $ בסתירה להגדרה ש- $M$ חסם עליון
\end{proof}