קוד:משפט ערך הממוצע של לגרנז' - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 4 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:37Z

4 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־11:28, 2 בספטמבר 2014

2014-09-02T11:28:51Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:28, 2 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\begin{thm}		\begin{thm}
	תהי $f\in C[a,b]\cap D(a,b) $ אזי קיימת $c\in (a,b) $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ . באופן פיזיקלי, כבר אמרנו שהנגזרת של פונקציית המיקום לפי הזמן היא המהירות, ולכן המשפט אומר שבכל דרך "חלקה" שעושים (בלי עצירות פתאומיות או שינוי מהירות פתאומי) תמיד יש רגע בו המהירות שווה למהירות הממוצעת במהלך כל הנסיעה. באופן גיאומטרי, המשפט אומר שאם מעבירים קו על גרף הפונקציה בין נק' ההתחלה והסוף אז קיימת נקודה באמצע שהמשיק לפונקציה בנקודה מקביל לקו הזה.		תהי $f\in C[a,b]\cap D(a,b) $ אזי קיימת $c\in (a,b) $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ .
	\end{thm}		\end{thm}
			באופן פיזיקלי, כבר אמרנו שהנגזרת של פונקציית המיקום לפי הזמן היא המהירות, ולכן המשפט אומר שבכל דרך "חלקה" שעושים (בלי שינויים פתאומיים במהירות) תמיד יש רגע בו המהירות שווה למהירות הממוצעת במהלך כל הנסיעה. באופן גיאומטרי, המשפט אומר שאם מעבירים קו על גרף הפונקציה בין נק' ההתחלה והסוף אז קיימת נקודה באמצע שהמשיק לפונקציה בנקודה מקביל לקו הזה.

	\begin{proof}		\begin{proof}
שורה 10:		שורה 11:


	\begin{~~corollary~~}		\begin{cor}
	אם $f'(x)=0 $ לכל $x\in (a,b) $ אזי $f(x)=const $ (קבועה)		אם $f'(x)=0 $ לכל $x\in (a,b) $ אזי $f(x)=const $ (קבועה)
	\end{~~corollary~~}		\end{cor}

	\begin{proof}		\begin{proof}
שורה 18:		שורה 19:
	\end{proof}		\end{proof}

	\begin{~~corollary~~}		\begin{cor}
	~~אומדן של שינוי פונקציה: תהי~~ $f\in D(a,b)~~\cap C[a,b] $ כך ש- $\|~~f'(x)~~\|\leq M $ לכל $~~x~~\in (a,b~~) $ , אזי $\|f(b)-f(~~a)\|\leq M(b-a~~) $		אם $\forall x\in (a,b) : f'(x)=g'(x) $ אזי $\exists c \forall x : g(x)=f(x)+c $
	\end{~~corollary~~}		\end{cor}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	לפי לגרנז' $\exists c : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow \|f(b)-f(a)\|=\|f'(c)\|(b-a)\leq M(b-a) $		נגדיר $F(x)=g(x)-f(x) $ . מתקיים ש- $F'(x)=g'(x)-f'(x)=0 $ ולכן $F(x)=g(x)-f(x)=c $
			\end{proof}
			\begin{cor}[אומדן של שינוי פונקציה]
			תהי $f\in D(a,b)\cap C[a,b] $ כך ש- $\|f'(x)\|\leq M $ לכל $x\in (a,b) $ , אזי $\|f(b)-f(a)\|\leq M(b-a) $
			\end{cor}

			\begin{proof}
			לפי לגרנז'
			$$\exists c : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow \|f(b)-f(a)\|=\|f'(c)\|(b-a)\leq M(b-a) $$
	\end{proof}		\end{proof}

Ofekgillon10 ב־14:04, 29 באוגוסט 2014

2014-08-29T14:04:22Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:04, 29 באוגוסט 2014
שורה 9:		שורה 9:
	\end{proof}		\end{proof}

	~~מסקנה:~~

	\begin{~~thm~~}		\begin{corollary}
	אם $f'(x)=0 $ לכל $x\in (a,b) $ אזי $f(x)=const $ (קבועה)		אם $f'(x)=0 $ לכל $x\in (a,b) $ אזי $f(x)=const $ (קבועה)
	\end{~~thm~~}		\end{corollary}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	נניח בשלילה ש-$f$ לא קבועה ואז $\exists x_1,x_2 : f(x_1)\neq f(x_2) $ (בה"כ $x_1<x_2 $ ) , ולפי משפט ערך הממוצע של לגרנז' קיים $x_1<c<x_2 $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\neq 0 $ משום שהמונה שונה מ-$0$, אבל זה בסתירה לכך שהנגזרת זהותית $0$!		נניח בשלילה ש-$f$ לא קבועה ואז $\exists x_1,x_2 : f(x_1)\neq f(x_2) $ (בה"כ $x_1<x_2 $ ) , ולפי משפט ערך הממוצע של לגרנז' קיים $x_1<c<x_2 $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\neq 0 $ משום שהמונה שונה מ-$0$, אבל זה בסתירה לכך שהנגזרת זהותית $0$!
			\end{proof}

			\begin{corollary}
			אומדן של שינוי פונקציה: תהי $f\in D(a,b)\cap C[a,b] $ כך ש- $\|f'(x)\|\leq M $ לכל $x\in (a,b) $ , אזי $\|f(b)-f(a)\|\leq M(b-a) $
			\end{corollary}

			\begin{proof}
			לפי לגרנז' $\exists c : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow \|f(b)-f(a)\|=\|f'(c)\|(b-a)\leq M(b-a) $
	\end{proof}		\end{proof}

Ofekgillon10 ב־13:56, 29 באוגוסט 2014

2014-08-29T13:56:37Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:56, 29 באוגוסט 2014
שורה 1:		שורה 1:
			\begin{thm}
	\begin{~~theorem~~}
	תהי $f\in C[a,b]\cap D(a,b) $ אזי קיימת $c\in (a,b) $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ . באופן פיזיקלי, כבר אמרנו שהנגזרת של פונקציית המיקום לפי הזמן היא המהירות, ולכן המשפט אומר שבכל דרך "חלקה" שעושים (בלי עצירות פתאומיות או שינוי מהירות פתאומי) תמיד יש רגע בו המהירות שווה למהירות הממוצעת במהלך כל הנסיעה. באופן גיאומטרי, המשפט אומר שאם מעבירים קו על גרף הפונקציה בין נק' ההתחלה והסוף אז קיימת נקודה באמצע שהמשיק לפונקציה בנקודה מקביל לקו הזה.		תהי $f\in C[a,b]\cap D(a,b) $ אזי קיימת $c\in (a,b) $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ . באופן פיזיקלי, כבר אמרנו שהנגזרת של פונקציית המיקום לפי הזמן היא המהירות, ולכן המשפט אומר שבכל דרך "חלקה" שעושים (בלי עצירות פתאומיות או שינוי מהירות פתאומי) תמיד יש רגע בו המהירות שווה למהירות הממוצעת במהלך כל הנסיעה. באופן גיאומטרי, המשפט אומר שאם מעבירים קו על גרף הפונקציה בין נק' ההתחלה והסוף אז קיימת נקודה באמצע שהמשיק לפונקציה בנקודה מקביל לקו הזה.
	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
שורה 12:		שורה 11:
	מסקנה:		מסקנה:

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	אם $f'(x)=0 $ לכל $x\in (a,b) $ אזי $f(x)=const $ (קבועה)		אם $f'(x)=0 $ לכל $x\in (a,b) $ אזי $f(x)=const $ (קבועה)
	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	נניח בשלילה ש-$f$ לא קבועה ואז $\exists x_1,x_2 : f(x_1)\neq f(x_2) $ (בה"כ $x_1<x_2 $ ) , ולפי משפט ערך הממוצע של לגרנז' קיים $x_1<c<x_2 $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\neq 0 $ משום שהמונה שונה מ-$0$, אבל זה בסתירה לכך שהנגזרת זהותית $0$!		נניח בשלילה ש-$f$ לא קבועה ואז $\exists x_1,x_2 : f(x_1)\neq f(x_2) $ (בה"כ $x_1<x_2 $ ) , ולפי משפט ערך הממוצע של לגרנז' קיים $x_1<c<x_2 $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\neq 0 $ משום שהמונה שונה מ-$0$, אבל זה בסתירה לכך שהנגזרת זהותית $0$!
	\end{proof}		\end{proof}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " \begin{theorem} תהי $f\in C[a,b]\cap D(a,b) $ אזי קיימת $c\in (a,b) $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ . באופן פיזיקלי, כבר א..."

2014-08-28T23:19:50Z

יצירת דף עם התוכן " \begin{theorem} תהי $f\in C[a,b]\cap D(a,b) $ אזי קיימת $c\in (a,b) $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ . באופן פיזיקלי, כבר א..."

דף חדש

\begin{theorem}
תהי $f\in C[a,b]\cap D(a,b) $ אזי קיימת $c\in (a,b) $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ . באופן פיזיקלי, כבר אמרנו שהנגזרת של פונקציית המיקום לפי הזמן היא המהירות, ולכן המשפט אומר שבכל דרך "חלקה" שעושים (בלי עצירות פתאומיות או שינוי מהירות פתאומי) תמיד יש רגע בו המהירות שווה למהירות הממוצעת במהלך כל הנסיעה. באופן גיאומטרי, המשפט אומר שאם מעבירים קו על גרף הפונקציה בין נק' ההתחלה והסוף אז קיימת נקודה באמצע שהמשיק לפונקציה בנקודה מקביל לקו הזה.
\end{theorem}

\begin{proof}
נגדיר $F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a) $ ונראה כי $F(a)=F(b)=f(a) $ ולכן מתקיים משפט רול וקיימת $c$ כך ש-

$F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \Rightarrow f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $
\end{proof}

מסקנה:

\begin{theorem}
אם $f'(x)=0 $ לכל $x\in (a,b) $ אזי $f(x)=const $ (קבועה)
\end{theorem}

\begin{proof}
נניח בשלילה ש-$f$ לא קבועה ואז $\exists x_1,x_2 : f(x_1)\neq f(x_2) $ (בה"כ $x_1<x_2 $ ) , ולפי משפט ערך הממוצע של לגרנז' קיים $x_1<c<x_2 $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\neq 0 $ משום שהמונה שונה מ-$0$, אבל זה בסתירה לכך שהנגזרת זהותית $0$!
\end{proof}