קוד:סדרות חסומות - היסטוריית גרסאות

Ofekgillon10 ב־22:13, 6 באוקטובר 2014

2014-10-06T22:13:16Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:13, 6 באוקטובר 2014
שורה 5:		שורה 5:
	\begin{example}		\begin{example}
	הסדרה הזאת לא חסומה:		הסדרה הזאת לא חסומה:
			$$ 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,\cdots $$
	$ 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,\cdots $

	משום שלא חסומה מלעיל.		משום שלא חסומה מלעיל.
	\end{example}		\end{example}
שורה 21:		שורה 19:
	ונראה ש- $\forall n : \|a_n\|\leq M $ משום שאם $ n\leq N $ אז האיבר $ \|a_n\| $ נמצא בקבוצה ש-$ M $ הוא המקסימום שלה, ואם $ n>N $ אז גם ככה $ \|a_n-L\|<1 $ ולכן $ \|a_n\|<\|L\|+1\leq M $ .		ונראה ש- $\forall n : \|a_n\|\leq M $ משום שאם $ n\leq N $ אז האיבר $ \|a_n\| $ נמצא בקבוצה ש-$ M $ הוא המקסימום שלה, ואם $ n>N $ אז גם ככה $ \|a_n-L\|<1 $ ולכן $ \|a_n\|<\|L\|+1\leq M $ .
	\end{proof}		\end{proof}

			\begin{example}
			הסדרות $a_n=n$ ו- $b_n=(-1)^n\cdot n $ לא חסומות, ומכאן שהן לא מתכנסות.
			\end{example}

	\begin{remark}		\begin{remark}
	המשפט ההפוך לא נכון. לדוגמה הסדרה $ a_n=(-1)^n $ חסומה מלעיל ע"י 1 ומלרע ע"י $ -1 $ אבל לא מתכנסת		המשפט ההפוך לא נכון. לדוגמה הסדרה $ a_n=(-1)^n $ חסומה מלעיל ע"י 1 ומלרע ע"י $ -1 $ אבל לא מתכנסת
	\end{remark}		\end{remark}

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:43Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־15:08, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T15:08:32Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:08, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	~~הגדרה:~~ סדרה $ \{a_n \}_{n=1}^\infty $ נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה (ראינו את ההגדרה של קבוצה חסומה).		\begin{definition}
			סדרה $ \{a_n \}_{n=1}^\infty $ נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה (ראינו את ההגדרה של קבוצה חסומה).
			\end{definition}

	~~לדוגמה:~~ הסדרה הזאת לא חסומה:		\begin{example}
			הסדרה הזאת לא חסומה:

	$ 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,\cdots $		$ 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,\cdots $

	משום שלא חסומה מלעיל.		משום שלא חסומה מלעיל.
			\end{example}

	\~~underline~~{~~משפט~~}: כל סדרה מתכנסת היא חסומה		\begin{thm}
			כל סדרה מתכנסת היא חסומה
			\end{thm}

	\~~underline~~{~~הוכחה~~}: נניח שהסדרה מתכנסת ל- $ L $, ולכן לכל אפסילון קיים $ N $ כך ~~שלכל~~ $ n>N ~~$, $~~ \|a_n-L\|<\~~epsilon~~ $. בפרט, עבור $ \~~epsilon~~=1 $. נגדיר $ M=max\{\|a_1\|,\|a_2\|,\cdots,\|a_N\|,\|L+1\|\} $ ונראה ש- $\forall n : \|a_n\|\leq M $ משום שאם $ n\leq N $ אז האיבר $ \|a_n\| $ נמצא בקבוצה ש-$ M $ הוא המקסימום שלה, ואם $ n>N $ אז גם ככה $ \|a_n-L\|<1 $ ולכן $ \|a_n\|<\|L\|+1<M $ . ~~משל~~		\begin{proof}
			נניח שהסדרה מתכנסת ל- $ L $, ולכן לכל אפסילון קיים $ N $ כך ש-\\
			$ \forall n>N : \|a_n-L\|<\varepsilon $. בפרט, עבור $ \varepsilon=1 $. נגדיר
			$$ M=\max\{\|a_1\|,\|a_2\|,\cdots,\|a_N\|,\|L+1\|\} $$
			ונראה ש- $\forall n : \|a_n\|\leq M $ משום שאם $ n\leq N $ אז האיבר $ \|a_n\| $ נמצא בקבוצה ש-$ M $ הוא המקסימום שלה, ואם $ n>N $ אז גם ככה $ \|a_n-L\|<1 $ ולכן $ \|a_n\|<\|L\|+1\leq M $ .
			\end{proof}

	~~הערה חשובה:~~ המשפט ההפוך לא נכון. לדוגמה ~~אם ניקח את~~ $ a_n=(-1)^n $ ~~(כלומר הסדרה $ 1,-1,1,-1,\cdots $ )~~ חסומה מלעיל ע"י 1 ומלרע ע"י $ -1 $ אבל לא מתכנסת		\begin{remark}
			המשפט ההפוך לא נכון. לדוגמה הסדרה $ a_n=(-1)^n $ חסומה מלעיל ע"י 1 ומלרע ע"י $ -1 $ אבל לא מתכנסת
			\end{remark}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "הגדרה: סדרה $ \{a_n \}_{n=1}^\infty $ נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה (ראינו את ההגדרה של קבוצ..."

2014-08-11T16:10:33Z

יצירת דף עם התוכן "הגדרה: סדרה $ \{a_n \}_{n=1}^\infty $ נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה (ראינו את ההגדרה של קבוצ..."

דף חדש

הגדרה: סדרה $ \{a_n \}_{n=1}^\infty $ נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה (ראינו את ההגדרה של קבוצה חסומה).

לדוגמה: הסדרה הזאת לא חסומה:

$ 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,\cdots $

משום שלא חסומה מלעיל.

\underline{משפט}: כל סדרה מתכנסת היא חסומה

\underline{הוכחה}: נניח שהסדרה מתכנסת ל- $ L $, ולכן לכל אפסילון קיים $ N $ כך שלכל $ n>N $, $ |a_n-L|<\epsilon $. בפרט, עבור $ \epsilon=1 $. נגדיר $ M=max\{|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|L+1|\} $ ונראה ש- $\forall n : |a_n|\leq M $ משום שאם $ n\leq N $ אז האיבר $ |a_n| $ נמצא בקבוצה ש-$ M $ הוא המקסימום שלה, ואם $ n>N $ אז גם ככה $ |a_n-L|<1 $ ולכן $ |a_n|<|L|+1<M $ . משל

הערה חשובה: המשפט ההפוך לא נכון. לדוגמה אם ניקח את $ a_n=(-1)^n $ (כלומר הסדרה $ 1,-1,1,-1,\cdots $ ) חסומה מלעיל ע"י 1 ומלרע ע"י $ -1 $ אבל לא מתכנסת