קוד:סכום של סדרה הנדסית - היסטוריית גרסאות

Ofekgillon10 ב־18:55, 12 בנובמבר 2019

2019-11-12T18:55:15Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:55, 12 בנובמבר 2019
שורה 3:		שורה 3:
	\end{definition}		\end{definition}

	נסמן את הסדרה $x_n=\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_1 q + a_1 q^2 +\cdots + a_1 q^{n-1} = a_1 (1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}) $ ונשים לב ש- $x_n (1-q)=a_1 (1-q^n) \Rightarrow x_n = \frac{a_1 (q^n -1)}{q-1} $ . מה הגבול של הסדרה הזאת?		נסמן את הסדרה
			$$x_n=\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_1 q + a_1 q^2 +\cdots + a_1 q^{n-1} = a_1 (1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}) $$
			ונשים לב ש- $x_n (1-q)=a_1 (1-q^n) \Rightarrow x_n = \frac{a_1 (q^n -1)}{q-1} $ . מה הגבול של הסדרה הזאת?

	אם $\|q\|>1$ אז $\lim_{n\to \infty}\|\frac{q^n-1}{q-1}\| = \infty $		אם $\|q\|>1$ אז $\lim_{n\to \infty}\|\frac{q^n-1}{q-1}\| = \infty $

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:44Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־16:04, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T16:04:10Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:04, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
			\begin{definition}
	סדרה $a_n$ נקראת סדרה הנדסית אם $ \exists q \forall n : a_{n+1}=q\cdot a_n $.		סדרה $a_n$ נקראת סדרה הנדסית אם $ \exists q \forall n : a_{n+1}=q\cdot a_n $.
			\end{definition}

	נסמן את הסדרה $x_n=\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_1 q + a_1 q^2 +\cdots + a_1 q^{n-1} = a_1 (1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}) $ ונשים לב ש- $x_n (1-q)=a_1 (1-q^n) \Rightarrow x_n = \frac{a_1 (q^n -1)}{q-1} $ . מה הגבול של הסדרה הזאת?		נסמן את הסדרה $x_n=\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_1 q + a_1 q^2 +\cdots + a_1 q^{n-1} = a_1 (1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}) $ ונשים לב ש- $x_n (1-q)=a_1 (1-q^n) \Rightarrow x_n = \frac{a_1 (q^n -1)}{q-1} $ . מה הגבול של הסדרה הזאת?

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "סדרה $a_n$ נקראת סדרה הנדסית אם $ \exists q \forall n : a_{n+1}=q\cdot a_n $. נסמן את הסדרה $x_n=\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_1 q +..."

2014-08-15T10:45:39Z

יצירת דף עם התוכן "סדרה $a_n$ נקראת סדרה הנדסית אם $ \exists q \forall n : a_{n+1}=q\cdot a_n $. נסמן את הסדרה $x_n=\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_1 q +..."

דף חדש

סדרה $a_n$ נקראת סדרה הנדסית אם $ \exists q \forall n : a_{n+1}=q\cdot a_n $.

נסמן את הסדרה $x_n=\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_1 q + a_1 q^2 +\cdots + a_1 q^{n-1} = a_1 (1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}) $ ונשים לב ש- $x_n (1-q)=a_1 (1-q^n) \Rightarrow x_n = \frac{a_1 (q^n -1)}{q-1} $ . מה הגבול של הסדרה הזאת?

אם $|q|>1$ אז $\lim_{n\to \infty}|\frac{q^n-1}{q-1}| = \infty $

אם $|q|<1$ אז $\lim_{n\to \infty} q^n = 0 $ ואז לפי אריתמטיקה של גבולות, $\lim_{n\to \infty} x_n = \frac{a_1 (0-1)}{q-1}=\frac{a_1}{1-q} $

אם $q=1$ אז נשים לב ש- $a_n=a_1$ ולכן $x_n=n\cdot a_1 $ ולכן חוץ מבמקרה המנוון בו האיבר הראשון הוא 0, הסדרה לא תתכנס.

אם $q=-1$ אז $x_n$ תראה ככה: $a_1,0,a_1,0,\cdots $ , ושוב זה לא מתכנס חוץ מבמקרה בו $a_1=0$