קוד:פונקציות קמורות וקעורות - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 3 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:48Z

3 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־13:04, 2 בספטמבר 2014

2014-09-02T13:04:05Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:04, 2 בספטמבר 2014
שורה 8:		שורה 8:
	פונקציה נקראת קמורה ממש אם		פונקציה נקראת קמורה ממש אם

	$$\forall x_1\neq x_2 \forall 0<\lambda<1 : f(x_1+\lambda(x_2-x_1))<f(x_1)+\lambda (f(x_2)-f(x_1) $$		$$\forall x_1\neq x_2 \forall 0<\lambda<1 : f(x_1+\lambda(x_2-x_1))<f(x_1)+\lambda (f(x_2)-f(x_1)) $$

	באופן אנלוגי מגדירים קעורה וקעורה ממש.		באופן אנלוגי מגדירים קעורה וקעורה ממש.
שורה 40:		שורה 40:
	מצד שני		מצד שני

	$$\frac{f(x_2+\lambda(x_1-x_2)) - f(x_2)}{\underset{\text{is negative}}{\underbrace{\lambda (x_1-x_2)}}}\geq \frac{f(x_2)+\lambda (f(x_1)-f(x_2))-f(x_2)}{\lambda (x_1-x_2)} = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{(x_1-x_2)}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $$		$$\frac{f(x_2+\lambda(x_1-x_2)) - f(x_2)}{\underset{\text{is negative}}{\underbrace{\lambda (x_1-x_2)}}}\geq \frac{f(x_2)+\lambda (f(x_1)-f(x_2))-f(x_2)}{\lambda (x_1-x_2)} =$$
			$$ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{(x_1-x_2)}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $$

	אבל אם $\lambda\to 0 $ נקבל לפי הגדרה בצד שמאל את $f'(x_2)$ ולכן $f'(x_2)\geq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $		אבל אם $\lambda\to 0 $ נקבל לפי הגדרה בצד שמאל את $f'(x_2)$ ולכן $f'(x_2)\geq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $
שורה 55:		שורה 56:

	אבל $f' $ מונוטונית עולה ולכן $f'(\xi_1)\leq f'(\xi_2) \Rightarrow \frac{f(c)-f(x_1)}{c-x_1} \leq \frac{f(x_2)-f(c)}{x_2-c} $ נכפיל במכנה של כל צד (שניהם חיוביים) ונקבל		אבל $f' $ מונוטונית עולה ולכן $f'(\xi_1)\leq f'(\xi_2) \Rightarrow \frac{f(c)-f(x_1)}{c-x_1} \leq \frac{f(x_2)-f(c)}{x_2-c} $ נכפיל במכנה של כל צד (שניהם חיוביים) ונקבל
			$$(x_2-c)(f(c)-f(x_1)) \leq (c-x_1)(f(x_2)-f(c)) \Rightarrow$$
	$$(x_2-c)(f(c)-f(x_1)) \leq (c-x_1)(f(x_2)-f(c)) \Rightarrow (x_2-c)f(c)+(c-x_1)f(c) \leq (c-x_1)f(x_2)+(x_2-c)f(x_1) \Rightarrow$$		$$(x_2-c)f(c)+(c-x_1)f(c) \leq (c-x_1)f(x_2)+(x_2-c)f(x_1) \Rightarrow$$
	$$f(c)\leq \frac{x_2-c}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{c-x_1}{x_2-x_1}f(x_2) \Rightarrow$$		$$f(c)\leq \frac{x_2-c}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{c-x_1}{x_2-x_1}f(x_2) \Rightarrow$$
	$$f(x_1+\lambda (x_2-x_1))\leq \frac{(1-\lambda) (x_2-x_1)}{x_2-x_1} f(x_1)+ \frac{\lambda (x_2-x_1)}{x_2-x_1}} f(x_2) =$$		$$f(x_1+\lambda (x_2-x_1))\leq \frac{(1-\lambda) (x_2-x_1)}{x_2-x_1} f(x_1)+ \frac{\lambda (x_2-x_1)}{x_2-x_1}} f(x_2) =$$

Ofekgillon10 ב־13:29, 31 באוגוסט 2014

2014-08-31T13:29:53Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 מי שזוכר מהתיכון, תמיד בחקירת פונקציות היה צריך למצוא "נק' פיתול" ו"תחומי קעירות וקמירות". בשלב זה אתם אמורים לשים לב שמתמטיקאים לא מגדירים דברים כמו "קמור זה כשזה נראה מחייך" כמו שעשינו בתיכון. בחלק הזה נפרמל את הדברים ונראה גם שימוש של זה.
@@ שורה 35: / שורה 32: @@
 \boxed{\Leftarrow}
-יהיו $x_1,x_2\in (a,b) $ ובה"כ $x_1<x_2 $. ידוע ש- $f$ קמורה ולכן $\forall 0<\lambda<1 : f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\leq f(x_1)+\lambda (f(x_2)-f(x_1)) $
+יהיו $x_1,x_2\in (a,b) $ ובה"כ $x_1<x_2 $. ידוע ש- $f$ קמורה ולכן $\forall 0<\lambda<1 : f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\leq f(x_1)+\lambda (f(x_2)-f(x_1)) $ . כעת נשים לב
 \end{proof}
-<tex>קוד:זנב</tex>
+תרגיל בית: אי שיוויון ינסן:
-</latex2pdf>

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " קוד:ראש מי שזוכר מהתיכון, תמיד בחקירת פונקציות היה צריך למצוא "נק' פיתול" ו"ת..."

2014-08-31T01:20:52Z

יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> מי שזוכר מהתיכון, תמיד בחקירת פונקציות היה צריך למצוא "נק' פיתול" ו"ת..."

דף חדש

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

מי שזוכר מהתיכון, תמיד בחקירת פונקציות היה צריך למצוא "נק' פיתול" ו"תחומי קעירות וקמירות". בשלב זה אתם אמורים לשים לב שמתמטיקאים לא מגדירים דברים כמו "קמור זה כשזה נראה מחייך" כמו שעשינו בתיכון. בחלק הזה נפרמל את הדברים ונראה גם שימוש של זה.

\begin{definition}
פונקציה $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ נקראת "קמורה" אם
$$\forall x_1,x_2 \forall 0<\lambda<1 : f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\leq f(x_1)+\lambda (f(x_2)-f(x_1)) $$
כלומר \textbf{לכל} 2 נק' על גרף הפונקציה הקטע שמחבר ביניהם נמצא מעל גרף הפונקציה.

פונקציה נקראת קמורה ממש אם

$$\forall x_1\neq x_2 \forall 0<\lambda<1 : f(x_1+\lambda(x_2-x_1))<f(x_1)+\lambda (f(x_2)-f(x_1) $$

באופן אנלוגי מגדירים קעורה וקעורה ממש.

\end{definition}

\begin{thm}
תהי $f \in D(a,b) $ אזי

1. $f$ קמורה אם ורק אם $f'$ מונו' עולה

2. $f$ קעורה אם ורק אם $f'$ מונו' יורדת

3. $f$ קמורה ממש אם ורק אם $f'$ מונו' עולה ממש

4. $f$ קעורה ממש אם ורק אם $f'$ מונו' יורדת ממש

\end{thm}

\begin{proof}
נוכיח רק את 1, כל שאר ההוכחות דומות מאוד.

\boxed{\Leftarrow}

יהיו $x_1,x_2\in (a,b) $ ובה"כ $x_1<x_2 $. ידוע ש- $f$ קמורה ולכן $\forall 0<\lambda<1 : f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\leq f(x_1)+\lambda (f(x_2)-f(x_1)) $
\end{proof}

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>