קוד:פונקציות רציפות הפיכות - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 3 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:49Z

3 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־17:17, 23 בספטמבר 2014

2014-09-23T17:17:57Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:17, 23 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\begin{definition}		\begin{definition}
	פונקציה $f:A\to B $ נקראת "חד-חד ערכית" (או בקיצור חח"ע) אם לכל $x\neq y $ ב-$A$ מתקיים ש- $f(x)\neq f(y) $ . הפונקציה נקראת "על" אם $\forall_{y\in B} \exists_{x\in A} : f(x)=y $ . במקרה שפונקציה היא חח"ע ועל אומרים שהיא "הפיכה", משום שאפשר להגדיר $f^{-1}:B\to A $ כך ש- $f^{-1}\circ f = Id_A ,f\circ f^{-1} = Id_B $, או במילים אחרות $\forall x\in A : f^{-1}(f(x))=x,\forall y\in B: f(f^{-1} (y))=y $		\begin{enumerate}
			\item פונקציה $f:A\to B $ נקראת "חד-חד ערכית" (או בקיצור חח"ע) אם לכל $x\neq y $ ב-$A$ מתקיים ש- $f(x)\neq f(y) $ .
			\item הפונקציה נקראת "על" אם $\forall_{y\in B} \exists_{x\in A} : f(x)=y $ .
			\item במקרה שפונקציה היא חח"ע ועל אומרים שהיא "הפיכה", משום שאפשר להגדיר $f^{-1}:B\to A $ כך ש- $f^{-1}\circ f = Id_A ,f\circ f^{-1} = Id_B $, או במילים אחרות $\forall x\in A : f^{-1}(f(x))=x,\forall y\in B: f(f^{-1} (y))=y $
			\end{enumerate}
	\end{definition}		\end{definition}

שורה 9:		שורה 13:
	סימון: כאשר נסמן $<a,b> $ הכוונה היא לאחת מהאפשרויות $[a,b) , (a,b] , [a,b] , (a,b) $ (כל אחת תתאים).		סימון: כאשר נסמן $<a,b> $ הכוונה היא לאחת מהאפשרויות $[a,b) , (a,b] , [a,b] , (a,b) $ (כל אחת תתאים).

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	נניח ש- $f:<a,b>\to \mathbb{R} $ רציפה אזי $f$ חח"ע אם ורק אם f מונוטונית עולה ממש או מונוטונית יורדת ממש.		נניח ש- $f:<a,b>\to \mathbb{R} $ רציפה אזי $f$ חח"ע אם ורק אם f מונוטונית עולה ממש או מונוטונית יורדת ממש.
	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
שורה 19:		שורה 23:

	\boxed{\Leftarrow}		\boxed{\Leftarrow}
	נניח $f$ לא מונוטונית ממש, ולכן $\exists x_1 <x_2 : f(x_1)\leq f(x_2) , \exists x_3<x_4 f(x_3)\geq f(x_4) $ (כך לא מונוטונית יורדת ולא מונוטונית עולה) . לכן $\exists \alpha, \beta,\gamma \in \{x_1,x_2,x_3,x_4\}: \alpha<\beta<\gamma \land f(\beta)\geq f(\alpha),f(\gamma) $ ואם נניח בה"כ ש- $f(\alpha)<f(\gamma) $ אזי נזכור ש- $f$ רציפה ועבור $t\in (f(\gamma),f(\beta)) $ לפי משפט ערך הביניים $\exists c_1 \in [\alpha ,\beta] : f(c_1)=t , \exists c_2\in [\beta,\gamma] : f(c_2)=t $ ומכאן ש- $f$ אינה חח"ע.		נניח $f$ לא מונוטונית ממש, ולכן
			$$\exists x_1 <x_2 : f(x_1)\leq f(x_2) , \exists x_3<x_4 f(x_3)\geq f(x_4) $$
			(כך לא מונוטונית יורדת ולא מונוטונית עולה) . לכן
			$$\exists \alpha, \beta,\gamma \in \{x_1,x_2,x_3,x_4\}: \alpha<\beta<\gamma \land f(\beta)\geq f(\alpha),f(\gamma) $$
			ואם נניח בה"כ ש- $f(\alpha)<f(\gamma) $ אזי נזכור ש- $f$ רציפה ועבור $t\in (f(\gamma),f(\beta)) $ לפי משפט ערך הביניים $\exists c_1 \in [\alpha ,\beta] : f(c_1)=t , \exists c_2\in [\beta,\gamma] : f(c_2)=t $ ומכאן ש- $f$ אינה חח"ע.
	\end{proof}		\end{proof}

שורה 26:		שורה 34:
	תהי $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בקטע ומונוטונית ממש בו. ממשפט וויירשטראס ניתן להגדיר $d=\sup f , c=\inf f $ סופיים ואז אפשר לצמצם את טווח הפונקציה מכל $\mathbb R $ אל $[c,d] $ . כעת מהמשפט השני של וויירשטראס $f$ מקבלת את הערכים האלו ולכן $c,d\in \operatorname{Im} f $ וממשפט ערך הביניים נסיק כי $f:[a,b]\to [c,d] $ פונקציה על וכיוון שהיא גם מונוטונית ממש אז היא חח"ע ואז הפיכה. כעת אפשר לדבר על $f^{-1} $ במקרה הזה.		תהי $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בקטע ומונוטונית ממש בו. ממשפט וויירשטראס ניתן להגדיר $d=\sup f , c=\inf f $ סופיים ואז אפשר לצמצם את טווח הפונקציה מכל $\mathbb R $ אל $[c,d] $ . כעת מהמשפט השני של וויירשטראס $f$ מקבלת את הערכים האלו ולכן $c,d\in \operatorname{Im} f $ וממשפט ערך הביניים נסיק כי $f:[a,b]\to [c,d] $ פונקציה על וכיוון שהיא גם מונוטונית ממש אז היא חח"ע ואז הפיכה. כעת אפשר לדבר על $f^{-1} $ במקרה הזה.

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	באותם התנאים של ההבחנה הקודמת, הפונקציה $f^{-1} : [c,d]\to [a,b] $ רציפה ומונוטונית ממש .		באותם התנאים של ההבחנה הקודמת, הפונקציה $f^{-1} : [c,d]\to [a,b] $ רציפה ומונוטונית ממש .
	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	מספיק להראות עבור $f$ מונוטונית עולה ממש ועבור יורדת ממש נוכיח באופן אנלוגי. יהיו $y_1<y_2 \in [c,d] $ ונראה כי $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) $ משום שאחרת מזה ש- $f$ מונוטונית עולה ממש נקבל ש- $y_1=f(f^{-1}(y_1))\geq f(f^{-1} (y_2))=y_2 $ בסתירה לכך ש- $y_1>y_2 $ . כעת בתור פונקציה מונוטונית עולה ממש, ובפרט מונוטונית, נק' אי הרציפות של הפונקציה הם רק מסדר ראשון. נניח $y_0 $ נק' אי רציפות מסדר ראשון ואז $\lim_{y\to y_0^-} f^{-1} (y) < f(y_0) $ ואם נסתכל על $x\in (\lim_{y\to y_0^-} f(y) , f(y_0)) $ נראה שאין לו מקור משום שהפונקציה מונוטונית עולה ממש, בסתירה להגדרה של פונקציה הפוכה!		מספיק להראות עבור $f$ מונוטונית עולה ממש ועבור יורדת ממש נוכיח באופן אנלוגי.\\
			יהיו $y_1<y_2 \in [c,d] $ ונראה כי $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) $ משום שאחרת מזה ש- $f$ מונוטונית עולה ממש נקבל ש- $y_1=f(f^{-1}(y_1))\geq f(f^{-1} (y_2))=y_2 $ בסתירה לכך ש- $y_1>y_2 $ .\\
			כעת בתור פונקציה מונוטונית עולה ממש, ובפרט מונוטונית, נק' אי הרציפות של הפונקציה הם רק מסדר ראשון. נניח $y_0 $ נק' אי רציפות מסדר ראשון ואז\\
			$\lim_{y\to y_0^-} f^{-1} (y) < f(y_0) $ ואם נסתכל על $x\in (\lim_{y\to y_0^-} f(y) , f(y_0)) $ נראה שאין לו מקור משום שהפונקציה מונוטונית עולה ממש, בסתירה להגדרה של פונקציה הפוכה!
	\end{proof}		\end{proof}

Ofekgillon10 ב־11:56, 28 באוגוסט 2014

2014-08-28T11:56:55Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:56, 28 באוגוסט 2014
שורה 1:		שורה 1:
	~~<latex2pdf>~~
	~~<tex>קוד:ראש</tex>~~

	\begin{definition}		\begin{definition}
	פונקציה $f:A\to B $ נקראת "חד-חד ערכית" (או בקיצור חח"ע) אם לכל $x\neq y $ ב-$A$ מתקיים ש- $f(x)\neq f(y) $ . הפונקציה נקראת "על" אם $\forall_{y\in B} \exists_{x\in A} : f(x)=y $ . במקרה שפונקציה היא חח"ע ועל אומרים שהיא "הפיכה", משום שאפשר להגדיר $f^{-1}:B\to A $ כך ש- $f^{-1}\circ f = Id_A ,f\circ f^{-1} = Id_B $, או במילים אחרות $\forall x\in A : f^{-1}(f(x))=x,\forall y\in B: f(f^{-1} (y))=y $		פונקציה $f:A\to B $ נקראת "חד-חד ערכית" (או בקיצור חח"ע) אם לכל $x\neq y $ ב-$A$ מתקיים ש- $f(x)\neq f(y) $ . הפונקציה נקראת "על" אם $\forall_{y\in B} \exists_{x\in A} : f(x)=y $ . במקרה שפונקציה היא חח"ע ועל אומרים שהיא "הפיכה", משום שאפשר להגדיר $f^{-1}:B\to A $ כך ש- $f^{-1}\circ f = Id_A ,f\circ f^{-1} = Id_B $, או במילים אחרות $\forall x\in A : f^{-1}(f(x))=x,\forall y\in B: f(f^{-1} (y))=y $
שורה 34:		שורה 31:

	\begin{proof}		\begin{proof}
	נניח ~~שלא רציפה~~		מספיק להראות עבור $f$ מונוטונית עולה ממש ועבור יורדת ממש נוכיח באופן אנלוגי. יהיו $y_1<y_2 \in [c,d] $ ונראה כי $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) $ משום שאחרת מזה ש- $f$ מונוטונית עולה ממש נקבל ש- $y_1=f(f^{-1}(y_1))\geq f(f^{-1} (y_2))=y_2 $ בסתירה לכך ש- $y_1>y_2 $ . כעת בתור פונקציה מונוטונית עולה ממש, ובפרט מונוטונית, נק' אי הרציפות של הפונקציה הם רק מסדר ראשון. נניח $y_0 $ נק' אי רציפות מסדר ראשון ואז $\lim_{y\to y_0^-} f^{-1} (y) < f(y_0) $ ואם נסתכל על $x\in (\lim_{y\to y_0^-} f(y) , f(y_0)) $ נראה שאין לו מקור משום שהפונקציה מונוטונית עולה ממש, בסתירה להגדרה של פונקציה הפוכה!
	\end{proof}		\end{proof}

	~~<tex>קוד:זנב</tex>~~
	~~</latex2pdf>~~

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " קוד:ראש \begin{definition} פונקציה $f:A\to B $ נקראת "חד-חד ערכית" (או בקיצור חח"ע) אם לכל $x\..."

2014-08-28T11:15:25Z

יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> \begin{definition} פונקציה $f:A\to B $ נקראת "חד-חד ערכית" (או בקיצור חח"ע) אם לכל $x\..."

דף חדש

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

\begin{definition}
פונקציה $f:A\to B $ נקראת "חד-חד ערכית" (או בקיצור חח"ע) אם לכל $x\neq y $ ב-$A$ מתקיים ש- $f(x)\neq f(y) $ . הפונקציה נקראת "על" אם $\forall_{y\in B} \exists_{x\in A} : f(x)=y $ . במקרה שפונקציה היא חח"ע ועל אומרים שהיא "הפיכה", משום שאפשר להגדיר $f^{-1}:B\to A $ כך ש- $f^{-1}\circ f = Id_A ,f\circ f^{-1} = Id_B $, או במילים אחרות $\forall x\in A : f^{-1}(f(x))=x,\forall y\in B: f(f^{-1} (y))=y $
\end{definition}

\begin{definition}
פונקציה $f:A\to \mathbb{R} $ נקראת מונוטונית עולה ממש אם $\forall x<y : f(x)<f(y) $ ובאופן אנלוגי מונוטוני יורדת ממש.
\end{definition}

סימון: כאשר נסמן $<a,b> $ הכוונה היא לאחת מהאפשרויות $[a,b) , (a,b] , [a,b] , (a,b) $ (כל אחת תתאים).

\begin{theorem}
נניח ש- $f:<a,b>\to \mathbb{R} $ רציפה אזי $f$ חח"ע אם ורק אם f מונוטונית עולה ממש או מונוטונית יורדת ממש.
\end{theorem}

\begin{proof}

\boxed{\Rightarrow}
טריוויאלי מההגדרה

\boxed{\Leftarrow}
נניח $f$ לא מונוטונית ממש, ולכן $\exists x_1 <x_2 : f(x_1)\leq f(x_2) , \exists x_3<x_4 f(x_3)\geq f(x_4) $ (כך לא מונוטונית יורדת ולא מונוטונית עולה) . לכן $\exists \alpha, \beta,\gamma \in \{x_1,x_2,x_3,x_4\}: \alpha<\beta<\gamma \land f(\beta)\geq f(\alpha),f(\gamma) $ ואם נניח בה"כ ש- $f(\alpha)<f(\gamma) $ אזי נזכור ש- $f$ רציפה ועבור $t\in (f(\gamma),f(\beta)) $ לפי משפט ערך הביניים $\exists c_1 \in [\alpha ,\beta] : f(c_1)=t , \exists c_2\in [\beta,\gamma] : f(c_2)=t $ ומכאן ש- $f$ אינה חח"ע.
\end{proof}

הבחנה:

תהי $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בקטע ומונוטונית ממש בו. ממשפט וויירשטראס ניתן להגדיר $d=\sup f , c=\inf f $ סופיים ואז אפשר לצמצם את טווח הפונקציה מכל $\mathbb R $ אל $[c,d] $ . כעת מהמשפט השני של וויירשטראס $f$ מקבלת את הערכים האלו ולכן $c,d\in \operatorname{Im} f $ וממשפט ערך הביניים נסיק כי $f:[a,b]\to [c,d] $ פונקציה על וכיוון שהיא גם מונוטונית ממש אז היא חח"ע ואז הפיכה. כעת אפשר לדבר על $f^{-1} $ במקרה הזה.

\begin{theorem}
באותם התנאים של ההבחנה הקודמת, הפונקציה $f^{-1} : [c,d]\to [a,b] $ רציפה ומונוטונית ממש .
\end{theorem}

\begin{proof}
נניח שלא רציפה
\end{proof}

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>