קוד:קיבוץ איברים בטור - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:50Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־12:24, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T12:24:21Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:24, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	אנחנו רגילים מחיי היום יום שחוק הקיבוץ עובד לחיבור: $(a+b)+c=a+(b+c) $ . האם זה ככה בטורים?		אנחנו רגילים מחיי היום יום שחוק הקיבוץ עובד לחיבור: $(a+b)+c=a+(b+c) $ . האם זה ככה בטורים?

	נסתכל על $1-1+1-1+1-1+\cdots=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+0+\cdots = 0 $ . אפשר גם להגיד ש-		נסתכל על
			$$1-1+1-1+1-1+\cdots=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+0+\cdots = 0 $$
			אפשר גם להגיד ש-
			$$1-1+1-1+1-1+1-\cdots=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-\cdots=1-0-0-0-\cdots=1 $$
			לסיכום, אי אפשר באופן כללי, אבל מתי כן?

	$~~1-1~~+~~1-1~~+~~1-1+1-~~\cdots~~=1-(1-1~~)-(1-1)~~-(1-1)-~~\cdots=1~~-0-0-0-~~\~~cdots~~=1 $		\begin{thm}
			אם טור מתכנס, אפשר להשתמש בחוק הקיבוץ. יותר פורמלית, אם נגדיר $n_k$ סדרה מונוטונית עולה של טבעיים אז הטור $(a_1+a_2+\cdots+a_{n_1})+(a_{n_1+1}+\cdots a_{n_2})+\cdots = \sum_{k=1}^\infty (\sum_{p=n_{k-1}+1}^{n_k} a_p) $ מתכנס לאותו מספר כמו הטור המקורי.
			\end{thm}

	~~לסיכום, אי אפשר באופן כללי, אבל מתי כן?~~		\begin{proof}
	$\\$		לשם ההוכחה נסמן את הסס"ח של הטור המקורי בתור $A_n$ והסס"ח של הטור "החדש" בתור $\tilde{A_n} $. סדרת הסכומים החלקיים במקרה הזה תהיה פשוט
	~~\underline~~{~~משפט:~~} ~~אם טור מתכנס, אפשר להשתמש בחוק הקיבוץ. יותר פורמלית, אם נגדיר~~ $~~n_k~~$ ~~סדרה מונוטונית עולה~~ של ~~טבעיים אז~~ הטור $~~(a_1+a_2+~~\~~cdots+a_~~{~~n_1~~}~~)+(a_{n_1+1}+~~\~~cdots a_~~{~~n_2~~}~~)+\cdots~~ = \sum_{k=1}^~~\infty (\sum_~~{p=n_{k-~~1}+1}^~~{~~n_k~~} ~~a_p)~~ $ ~~מתכנס לאותו מספר כמו הטור המקורי~~.		$$\tilde{A_m} = \sum_{p=1}^{n_m} a_p = A_{n_m} $$
			וכיוון ש- $A_{n_m} \to S$ בתור תת סדרה של $A_n $ שמתכנסת אז גם $A_m \to S $ .
			\end{proof}

	\underline{הוכחה:} לשם ההוכחה נסמן את הסס"ח של הטור המקורי בתור $A_n$ והסס"ח של הטור "החדש" בתור $\tilde{A_n} $. סדרת הסכומים החלקיים במקרה הזה תהיה פשוט $\tilde{A_m} = \sum_{p=1}^{n_m} a_p = A_{n_m} $ וכיוון ש- $A_{n_m} \to S$ בתור תת סדרה של $A_n $ שמתכנסת אז גם $A_m \to S $ .
	~~$\\$~~
	\underline{תרגיל בית:} יהי הטור $\sum a_n $ ונתון ש- $a_n\to 0 $ וגם ש- $\exists C : \forall k : \|n_{k+1} -n_k \| <C $ אז אם הסס"ח$\tilde{A_n} $ מתכנסת אז גם $A_n$ מתכנסת. בעצם התרגיל הוא על טור שאיבריו שואפים ל-0 והקיבוץ לא "רחב כרצוננו" אז אם הטור החדש מתכנס גם הטור המקורי.		\underline{תרגיל בית:} יהי הטור $\sum a_n $ ונתון ש- $a_n\to 0 $ וגם ש- $\exists C : \forall k : \|n_{k+1} -n_k \| <C $ אז אם הסס"ח$\tilde{A_n} $ מתכנסת אז גם $A_n$ מתכנסת. בעצם התרגיל הוא על טור שאיבריו שואפים ל-0 והקיבוץ לא "רחב כרצוננו" אז אם הטור החדש מתכנס גם הטור המקורי.

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "אנחנו רגילים מחיי היום יום שחוק הקיבוץ עובד לחיבור: $(a+b)+c=a+(b+c) $ . האם זה ככה בטורים? נסתכל..."

2014-08-16T23:11:34Z

יצירת דף עם התוכן "אנחנו רגילים מחיי היום יום שחוק הקיבוץ עובד לחיבור: $(a+b)+c=a+(b+c) $ . האם זה ככה בטורים? נסתכל..."

דף חדש

אנחנו רגילים מחיי היום יום שחוק הקיבוץ עובד לחיבור: $(a+b)+c=a+(b+c) $ . האם זה ככה בטורים?

נסתכל על $1-1+1-1+1-1+\cdots=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+0+\cdots = 0 $ . אפשר גם להגיד ש-

$1-1+1-1+1-1+1-\cdots=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-\cdots=1-0-0-0-\cdots=1 $

לסיכום, אי אפשר באופן כללי, אבל מתי כן?
$\\$
\underline{משפט:} אם טור מתכנס, אפשר להשתמש בחוק הקיבוץ. יותר פורמלית, אם נגדיר $n_k$ סדרה מונוטונית עולה של טבעיים אז הטור $(a_1+a_2+\cdots+a_{n_1})+(a_{n_1+1}+\cdots a_{n_2})+\cdots = \sum_{k=1}^\infty (\sum_{p=n_{k-1}+1}^{n_k} a_p) $ מתכנס לאותו מספר כמו הטור המקורי.

\underline{הוכחה:} לשם ההוכחה נסמן את הסס"ח של הטור המקורי בתור $A_n$ והסס"ח של הטור "החדש" בתור $\tilde{A_n} $. סדרת הסכומים החלקיים במקרה הזה תהיה פשוט $\tilde{A_m} = \sum_{p=1}^{n_m} a_p = A_{n_m} $ וכיוון ש- $A_{n_m} \to S$ בתור תת סדרה של $A_n $ שמתכנסת אז גם $A_m \to S $ .
$\\$
\underline{תרגיל בית:} יהי הטור $\sum a_n $ ונתון ש- $a_n\to 0 $ וגם ש- $\exists C : \forall k : |n_{k+1} -n_k | <C $ אז אם הסס"ח$\tilde{A_n} $ מתכנסת אז גם $A_n$ מתכנסת. בעצם התרגיל הוא על טור שאיבריו שואפים ל-0 והקיבוץ לא "רחב כרצוננו" אז אם הטור החדש מתכנס גם הטור המקורי.