ארז שיינר: גרסה אחת יובאה

2014-10-04T20:16:50Z

גרסה אחת יובאה

דף חדש

\begin{thm}[קריטריון בסיסי ללכסון מטריצה]

מטריצה $A$ לכסינה אם ורק אם יש ב-$F^{n}$ בסיס המורכב מוקטורים
עצמיים של $A$.

אם
$$P^{-1}AP=D=\left(\begin{matrix}
\lambda _{1} & & 0 \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda _{n} \\
\end{matrix}
\right)$$
אזי איברי הבסיס הנ"ל הם עמודות המטריצה $P$.

\end{thm}

\begin{proof}

\begin{description}

\item[$\boxed{\Leftarrow}$]
נניח שהמטריצה $A$ לכסינה,
$$P^{-1}AP=D=\left(\begin{matrix}
\lambda _{1} & & 0 \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda _{n} \\
\end{matrix}
\right)$$
נסמן $e_{1},\ldots ,e_{n}$ וקטורי היחידה. ניקח $i=1,\dots,n$,
ונשים לב כי
$$P^{-1}APe_{i}=\left(\begin{matrix}
\lambda _{1} & & 0 \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda _{n} \\
\end{matrix}
\right)\left ( \begin{matrix}
0\\
\vdots\\
1\\
\vdots\\
0
\end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix}
0\\
\vdots\\
\lambda_i\\
\vdots\\
0
\end{matrix} \right )=\lambda _{i}e_{i}$$
לכן $e_{i}$ ו"ע של $P^{-1}AP$ הקשור לע"ע $
\lambda _{i}$ ($A\sim P^{-1}AP$, לכן $\lambda _{i}$ ע"ע של $A$
).

קיבלנו כי
$$P^{-1}APe_{i}=\lambda _{i}e_{i}$$
נכפול ב-$P$ משמאל,
ואז
$$A(Pe_{i})=\lambda _{i}(Pe_{i})$$
נסמן $v_{i}=Pe_{i}$, לכן
$$Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}$$
$$v_{i}=\left(\begin{matrix}
| & & | \\
p_{1} & \cdots & p_{n} \\
| & & | \\
\end{matrix}
\right)$$

\item[$\boxed{\Rightarrow}$]
נניח שקיים בסיס $\left\{v_{1},\dots ,v_{n}\right\} $ המורכב מו"ע של $
A$. נוכיח ש-$A$ לכסינה. נגדיר
$$P=\left(\begin{matrix}
| & & | \\
v_{1} & \cdots & v_{n} \\
| & & | \\
\end{matrix}
\right)$$
$Pe_{i}=v_{i}$, לכן $e_{i}=P^{-1}v_{i}$. נשים לב כי:
$$AP=A\left(\begin{matrix}
| & & | \\
v_{1} & \cdots & v_{n} \\
| & & | \\
\end{matrix}
\right)=\left(\begin{matrix}
| & & | \\
Av_{1} & \cdots & Av_{n} \\
| & & | \\
\end{matrix}
\right)=\left(\begin{matrix}
| & & | \\
\lambda _{1}v_{1} & \cdots & \lambda _{n}v_{n} \\
| & & | \\
\end{matrix}
\right)$$
וכעת, נראה כי
$$P^{-1}AP=P^{-1}\left(\begin{matrix}
| & & | \\
\lambda _{1}v_{1} & \cdots & \lambda _{n}v_{n} \\
| & & | \\
\end{matrix}
\right)=$$
$$=\left(\begin{matrix}
| & & | \\
\lambda _{1}P^{-1}v_{1} & \cdots & \lambda _{n}P^{-1}v_{n}\\
| & & | \\
\end{matrix}
\right)=\left ( \begin{matrix}
\lambda_1 & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \lambda_n
\end{matrix} \right )$$
ולכן מצאנו מטריצה הפיכה $P$ כך ש-$P^{-1}AP$
אלכסונית, כדרוש.

\end{description}

\end{proof}

\begin{remark}

איברי האלכסון הראשי של מטריצה אלכסונית הם הערכים העצמיים שלה.

\end{remark}

קוד:קריטריון בסיסי ללכסון מטריצה - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: גרסה אחת יובאה