קוד:שקילות בין הגדרות הגבול של קושי והיינה - היסטוריית גרסאות

Ofekgillon10 ב־13:04, 15 באוקטובר 2014

2014-10-15T13:04:26Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:04, 15 באוקטובר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	~~משפט:~~ הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות. במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי היינה		\begin{thm}
			הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות.\\
			במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי היינה
			\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
שורה 5:		שורה 8:
	$\boxed{\Leftarrow}$		$\boxed{\Leftarrow}$

	תהי סדרה לא טריוויאלית ששואפת ל-$a$, נרצה להוכיח ש- $f(x_n)\to L $ . יהי אפסילון גדול מ-0, לפי הגדרת הגבול של קושי, קיים $\delta>0 $ כך שלכל $x$ ש- $0<\|x-a\|<\delta $ מתקיים ש- $\|f(x)-L\|<\~~epsilon~~ $		תהי $x_n$ סדרה לא טריוויאלית ששואפת ל-$a$, נרצה להוכיח ש- $f(x_n)\to L $ .\\
			יהי אפסילון גדול מ-$0$, לפי הגדרת הגבול של קושי קיים $\delta>0 $\\
	$x_n \to a \Rightarrow \exists N \forall n>N : \|x_n-a\|<\delta $ ולכן אם ניקח את ה-$N$ הזה יתקיים ש- $\forall n>N : \|f(x_n)-L\|<\~~epsilon~~ $.		כך שלכל $x$ ש- $0<\|x-a\|<\delta $ מתקיים ש- $\|f(x)-L\|<\varepsilon $ . נחזור לסדרה:
			$$x_n \to a \Rightarrow \exists N \forall n>N : \|x_n-a\|<\delta $$
			ולכן אם ניקח את ה-$N$ הזה יתקיים ש- $\forall n>N : \|f(x_n)-L\|<\varepsilon $.

	$\boxed{\Rightarrow}$		$\boxed{\Rightarrow}$

	נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי. אזי $\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : \|x-a\|<\delta \land \|f(x)-L\|<\varepsilon $ . זה נכון לכל דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\delta_n=\frac{1}{n} $ ~~ולכל~~ דלתא קיים $x_n$ שמקיים $ \|x_n-a\|<\delta \land \|f(x_n)-L\|<\varepsilon $ ואז מתקיים ש- $x_n\to a $ אבל $f(x_n)\not\to L $		נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי למרות שהוא גבול לפי היינה. אזי
			$$\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : \|x-a\|<\delta \land \|f(x)-L\|\geq \varepsilon $$
			זה נכון \textbf{לכל} דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\delta_n=\frac{1}{n} $ ומהשורה הקודמת לכל דלתא קיים $x_n$ שמקיים
			$$ \|x_n-a\|<\delta \land \|f(x_n)-L\|\geq \varepsilon $$
			ואז מתקיים ש- $x_n\to a $ אבל $f(x_n)\not\to L $

	\end{proof}		\end{proof}

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:22:19Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:22, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־11:22, 26 באוגוסט 2014

2014-08-26T11:22:27Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:22, 26 באוגוסט 2014
שורה 1:		שורה 1:

	משפט: הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות. במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי היינה		משפט: הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות. במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי היינה

	~~הוכחה:~~		\begin{proof}

	$\boxed{\Leftarrow}$		$\boxed{\Leftarrow}$
שורה 12:		שורה 11:
	$\boxed{\Rightarrow}$		$\boxed{\Rightarrow}$

	נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי. אזי $\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : \|x-~~x_0~~\|<\delta \land \|f(x)-L\|<\varepsilon $ . זה נכון לכל דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\delta_n=\frac{1}{n} $ ולכל דלתא קיים $x$ שמקיים $ \|x-~~x_0~~\|<\delta \land \|f(x)-L\|<\varepsilon $		נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי. אזי $\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : \|x-a\|<\delta \land \|f(x)-L\|<\varepsilon $ . זה נכון לכל דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\delta_n=\frac{1}{n} $ ולכל דלתא קיים $x_n$ שמקיים $ \|x_n-a\|<\delta \land \|f(x_n)-L\|<\varepsilon $ ואז מתקיים ש- $x_n\to a $ אבל $f(x_n)\not\to L $

			\end{proof}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " משפט: הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות. במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\l..."

2014-08-21T14:48:43Z

יצירת דף עם התוכן " משפט: הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות. במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\l..."

דף חדש

משפט: הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות. במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי היינה

הוכחה:

$\boxed{\Leftarrow}$

תהי סדרה לא טריוויאלית ששואפת ל-$a$, נרצה להוכיח ש- $f(x_n)\to L $ . יהי אפסילון גדול מ-0, לפי הגדרת הגבול של קושי, קיים $\delta>0 $ כך שלכל $x$ ש- $0<|x-a|<\delta $ מתקיים ש- $|f(x)-L|<\epsilon $

$x_n \to a \Rightarrow \exists N \forall n>N : |x_n-a|<\delta $ ולכן אם ניקח את ה-$N$ הזה יתקיים ש- $\forall n>N : |f(x_n)-L|<\epsilon $.

$\boxed{\Rightarrow}$

נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי. אזי $\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : |x-x_0|<\delta \land |f(x)-L|<\varepsilon $ . זה נכון לכל דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\delta_n=\frac{1}{n} $ ולכל דלתא קיים $x$ שמקיים $ |x-x_0|<\delta \land |f(x)-L|<\varepsilon $