קוד:תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה - היסטוריית גרסאות

Ofekgillon10 ב־13:15, 15 באוקטובר 2014

2014-10-15T13:15:06Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:15, 15 באוקטובר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}[תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה]
	~~משפט:~~

	$\lim_{x\to a} f(x) ~~= L \Leftrightarrow \\~~ \forall \varepsilon>0 \exists \delta \~~forall~~ x',x'' : 0<\|x'-a\|,\|x''-a\|<\delta \~~Leftarrow~~ \|f(x')-f(x'')\|<\varepsilon$		הגבול $\displaystyle{\lim_{x\to a}} f(x) $ קיים אם ורק אם
	\end{~~theorem~~}		$$\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall_{x',x''} : \left ( 0<\|x'-a\|,\|x''-a\|<\delta \Rightarrow \|f(x')-f(x'')\|<\varepsilon \right )$$
			\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	\boxed{\Leftarrow}		\boxed{\Leftarrow}

	יהי אפסילון גדול מ-0, אזי $\exists \delta>0 \forall x : \|x-a\|<\delta \Leftarrow \|f(x)-L\|<\frac{\varepsilon}{2} $ ניקח את אותו דלתא ונראה כי אם $\|x'-a\|,\|x''-a\|<\delta $ אז $\|f(x')-f(x'')\|=\|f(x')-a + a-f(x'')\|\leq \|f(x')-a\|+\|a-f(x'')\|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon $		יהי אפסילון גדול מ-$0$, אזי
			$$\exists \delta>0 \forall x : \|x-a\|<\delta \Leftarrow \|f(x)-L\|<\frac{\varepsilon}{2} $$
			ניקח את אותו דלתא ונראה כי אם $\|x'-a\|,\|x''-a\|<\delta $ אז
			$$\|f(x')-f(x'')\|=\|f(x')-a + a-f(x'')\|\leq \|f(x')-a\|+\|a-f(x'')\|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon $$

	\boxed{\Rightarrow}		\boxed{\Rightarrow}

	נבדוק שקיים גבול לפי היינה. תהי $x_n\to a $ כך ש- $x_n\neq a $ , ונוכיח ש- $f(x_n) $ סדרת קושי. יהי אפסילון גדול מ-0 אז $\exists \delta \forall x',x'' : 0<\|x'-a\|,\|x''-a\|<\delta \~~Leftarrow~~ \|f(x')-f(x'')\|<\varepsilon$ אבל משום ש- $x_n\to a $ אז קיים $N$ כך ש- $\forall n>N : \|x_n-a\|<\delta $ ולכן בפרט $\exists_N \forall n>m>N : \|f(x_n)-f(x_m)\|<\varepsilon $ מכאן שזו סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול $L$ . ~~כעת נוכיח שזה הגבול לכל~~ $f(x_n) $~~, בלי תלות ב- $x_n$ המקורית~~. נניח $y_n\to a, y_n\neq a , f(y_n)\to l $ ונוכיח ש- $l=L$ . נניח בשלילה ש- $l\neq L $ , אזי אם ניקח $\varepsilon=\frac{\|L-l\|}{3} $ נראה שנגיע לסתירה עם הנתון, משום שמהגדרת הגבול קיים איבר שממנו והלאה $\|f(x_n)-L\|<\varepsilon $ ו- $\|f(y_n)-l\|<\varepsilon $ ואז לא יכול להיות ש- $\|f(x_n)-f(y_n)\|<\varepsilon $ ומכאן הסתירה		נבדוק שקיים גבול לפי היינה. תהי $x_n\to a $ כך ש- $x_n\neq a $ , ונוכיח ש- $f(x_n) $ סדרת קושי. יהי אפסילון גדול מ-$0$ אז
			$$\exists \delta \forall x',x'' : 0<\|x'-a\|,\|x''-a\|<\delta \Rightarrow \|f(x')-f(x'')\|<\varepsilon$$
			אבל משום ש- $x_n\to a $ אז קיים $N$ כך ש- $\forall n>N : \|x_n-a\|<\delta $ ולכן בפרט
			$$\exists_N \forall n>m>N : \|f(x_n)-f(x_m)\|<\varepsilon $$
			מכאן שזו סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול $L$ .\\
			אבל עדיין יש להראות ש-$f(x_n)$ תתכנס תמיד לאותו מספר גם אם ניקח סדרות שונות.\\
			נניח $y_n\to a, y_n\neq a , f(y_n)\to l $ ונוכיח ש- $l=L$ .\\
			נניח בשלילה ש- $l\neq L $ , אזי אם ניקח $\varepsilon=\frac{\|L-l\|}{3} $ נראה שנגיע לסתירה עם הנתון, משום שמהגדרת הגבול קיים איבר שממנו והלאה $\|f(x_n)-L\|<\varepsilon $ ו- $\|f(y_n)-l\|<\varepsilon $ ואז לא יכול להיות ש- $\|f(x_n)-f(y_n)\|<\varepsilon $ ומכאן הסתירה
	\end{proof}		\end{proof}

ארז שיינר: גרסה אחת יובאה

2014-10-04T20:22:20Z

גרסה אחת יובאה

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:22, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\begin{theorem} משפט: $\lim_{x\to a} f(x) = L \Leftrightarrow \\ \forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x',x'' : 0<|x'-a|,|x''-a|<\delta \Leftarrow |f..."

2014-08-26T11:51:53Z

יצירת דף עם התוכן "\begin{theorem} משפט: $\lim_{x\to a} f(x) = L \Leftrightarrow \\ \forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x',x'' : 0<|x'-a|,|x''-a|<\delta \Leftarrow |f..."

דף חדש

\begin{theorem}
משפט:

$\lim_{x\to a} f(x) = L \Leftrightarrow \\ \forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x',x'' : 0<|x'-a|,|x''-a|<\delta \Leftarrow |f(x')-f(x'')|<\varepsilon$
\end{theorem}

\begin{proof}
\boxed{\Leftarrow}

יהי אפסילון גדול מ-0, אזי $\exists \delta>0 \forall x : |x-a|<\delta \Leftarrow |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2} $ ניקח את אותו דלתא ונראה כי אם $|x'-a|,|x''-a|<\delta $ אז $|f(x')-f(x'')|=|f(x')-a + a-f(x'')|\leq |f(x')-a|+|a-f(x'')|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon $

\boxed{\Rightarrow}

נבדוק שקיים גבול לפי היינה. תהי $x_n\to a $ כך ש- $x_n\neq a $ , ונוכיח ש- $f(x_n) $ סדרת קושי. יהי אפסילון גדול מ-0 אז $\exists \delta \forall x',x'' : 0<|x'-a|,|x''-a|<\delta \Leftarrow |f(x')-f(x'')|<\varepsilon$ אבל משום ש- $x_n\to a $ אז קיים $N$ כך ש- $\forall n>N : |x_n-a|<\delta $ ולכן בפרט $\exists_N \forall n>m>N : |f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon $ מכאן שזו סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול $L$ . כעת נוכיח שזה הגבול לכל $f(x_n) $, בלי תלות ב- $x_n$ המקורית. נניח $y_n\to a, y_n\neq a , f(y_n)\to l $ ונוכיח ש- $l=L$ . נניח בשלילה ש- $l\neq L $ , אזי אם ניקח $\varepsilon=\frac{|L-l|}{3} $ נראה שנגיע לסתירה עם הנתון, משום שמהגדרת הגבול קיים איבר שממנו והלאה $|f(x_n)-L|<\varepsilon $ ו- $|f(y_n)-l|<\varepsilon $ ואז לא יכול להיות ש- $|f(x_n)-f(y_n)|<\varepsilon $ ומכאן הסתירה
\end{proof}