שורש של מטריצה הפיכה - היסטוריית גרסאות

Noamlifshitz ב־21:28, 5 בינואר 2012

2012-01-05T21:28:29Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:28, 5 בינואר 2012
שורה 19:		שורה 19:
	בגלל שהנחנו ש b משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n זהה. נוכיח שהאיבר <math>a_{1,n+1}^{2}</math> הוא 0 <math>a_{1,n+1}^{2}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{1k}a_{k1}=\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}a_{1k}a_{k1}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}= \frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}=0		בגלל שהנחנו ש b משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n זהה. נוכיח שהאיבר <math>a_{1,n+1}^{2}</math> הוא 0 <math>a_{1,n+1}^{2}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{1k}a_{k1}=\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}a_{1k}a_{k1}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}= \frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}=0

	</math><math>a_{n,1}=0</math> על פי סגירות לכפל של משולשיות		</math><math>a_{n+1,1}=0</math> על פי סגירות לכפל של משולשיות

	ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח <math>B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP</math> נקבל <math>A=\left(PBP^{-1}\right)^{2}</math> ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש		ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח <math>B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP</math> נקבל <math>A=\left(PBP^{-1}\right)^{2}</math> ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש

Noamlifshitz ב־14:37, 5 בינואר 2012

2012-01-05T14:37:07Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:37, 5 בינואר 2012
שורה 7:		שורה 7:
	\end{array}\right)</math>		\end{array}\right)</math>

	נניח באינדוקציה שלבלוק ג'ורדן מסדר n ונניח שלכל i רכיבי האלכסון הi כלומר הרכיבים מהצורה a_{j(j+i)} שווים ועוד נניח שהיא משולשית עליונה כל ההנחות מתקיימות עבור n=2,1		נניח באינדוקציה שלבלוק ג'ורדן מסדר n ונניח שלכל i רכיבי האלכסון הi כלומר הרכיבים מהצורה <math>a_{j(j+i)}</math> שווים ועוד נניח שהיא משולשית עליונה כל ההנחות מתקיימות עבור n=2,1

	נבדוק עבור n+1		נבדוק עבור n+1

	יהי B=\sqrt{J_{n}\left(\lambda\right)} נקח מטריצה A כך שהמינורים M_{11}=M_{nn}=B יש כזאת מטריצה בגלל ההנחה שב-B כל רכיבי האלכסון שווים נשים בתור a_{1,n+1}=\frac{-1}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}},a_{n1}=0 נוכיח A^{2}=J_{n+1}(\lambda) אם נקח עבור i,j>1 R_{i}\left(A\right)c_{j}\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n+1}a_{ik}a_{kj}=a_{i1}a_{1j}+\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,i-1}+a_{i,n+1}a_{n+1,j}=\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,j-1}=\begin{cases}		יהי <math>B=\sqrt{J_{n}\left(\lambda\right)}</math> נקח מטריצה A כך שהמינורים <math>M_{11}=M_{nn}=B</math> יש כזאת מטריצה בגלל ההנחה שב-B כל רכיבי האלכסון שווים נשים בתור <math>a_{1,n+1}=\frac{-1}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}},a_{n1}=0> נוכיח A^{2}=J_{n+1}(\lambda)</math> אם נקח עבור i,j>1 <math>R_{i}\left(A\right)c_{j}\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n+1}a_{ik}a_{kj}=a_{i1}a_{1j}+\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,i-1}+a_{i,n+1}a_{n+1,j}=\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,j-1}=\begin{cases}
	1 & i-1+1=j-1\\		1 & i-1+1=j-1\\
	\lambda & i-1=j-1\\		\lambda & i-1=j-1\\
	0 & \text{else}		0 & \text{else}
	\end{cases}		\end{cases}
			</math>
			בגלל שהנחנו ש b משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n זהה. נוכיח שהאיבר <math>a_{1,n+1}^{2}</math> הוא 0 <math>a_{1,n+1}^{2}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{1k}a_{k1}=\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}a_{1k}a_{k1}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}= \frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}=0

	~~בגלל שהנחנו ש b משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j~~>~~n זהה. נוכיח שהאיבר~~ a_{1,n~~+1}^{2} הוא 0 a_{1~~,n+1}^{2}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{1k}a_{k1}=\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}a_{1k}a_{k1}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}= \frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{kn}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}=0		</math><math>a_{n,1}=0</math> על פי סגירות לכפל של משולשיות

	~~a_{n,1}=0 על פי סגירות לכפל של משולשיות~~		ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח <math>B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP</math> נקבל <math>A=\left(PBP^{-1}\right)^{2}</math> ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש

	ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP נקבל A=\left(PBP^{-1}\right)^{2} ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש

Noamlifshitz: יצירת דף עם התוכן "נוכיח שלצורת הג'ורדן של המטריצה $A$ ו- $J_{A}A$ יש שורש. בגלל שהיא הפיכה אז אין לה ער..."

2012-01-05T14:27:03Z

יצירת דף עם התוכן "נוכיח שלצורת הג'ורדן של המטריצה <math>A</math> ו-<math>J_{A}A</math> יש שורש. בגלל שהיא הפיכה אז אין לה ער..."

דף חדש

נוכיח שלצורת הג'ורדן של המטריצה <math>A</math> ו-<math>J_{A}A</math> יש שורש. בגלל שהיא הפיכה אז אין לה ערך עצמי 0 ואיברי האלכסון יהיו שונים מ 0 . מספיק להראות שלכל בלוק יש שורש כי נניח <math>J_{A}A=\bigoplus J_{m}\left(\lambda\right)</math> )סיגמא ישרה( רץ על כל <math>m,\lambda</math> כך ש <math>J_{m}\left(\lambda\right)</math> בצורת ג'ורדן של A אז <math>sqrt{J_{A}A}=\bigoplus\sqrt{J_{m}\left(\lambda\right)>}</math> כי כל בלוק מוכפל בנפרד נראה שלבלוק גורדן לא של 0 יש שורש נבדוק את המשפט עבור מטריצה<math> 2\times2 \left(\begin{array}{cc}
\lambda & 1\\
0 & \lambda
\end{array}\right) השורש שלה הוא \left(\begin{array}{cc}
\sqrt{\lambda} & \frac{1}{2\sqrt{\lambda}}\\
0 & \sqrt{\lambda}
\end{array}\right)</math>

נניח באינדוקציה שלבלוק ג'ורדן מסדר n ונניח שלכל i רכיבי האלכסון הi כלומר הרכיבים מהצורה a_{j(j+i)} שווים ועוד נניח שהיא משולשית עליונה כל ההנחות מתקיימות עבור n=2,1

נבדוק עבור n+1

יהי B=\sqrt{J_{n}\left(\lambda\right)} נקח מטריצה A כך שהמינורים M_{11}=M_{nn}=B יש כזאת מטריצה בגלל ההנחה שב-B כל רכיבי האלכסון שווים נשים בתור a_{1,n+1}=\frac{-1}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}},a_{n1}=0 נוכיח A^{2}=J_{n+1}(\lambda) אם נקח עבור i,j>1 R_{i}\left(A\right)c_{j}\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n+1}a_{ik}a_{kj}=a_{i1}a_{1j}+\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,i-1}+a_{i,n+1}a_{n+1,j}=\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,j-1}=\begin{cases}
1 & i-1+1=j-1\\
\lambda & i-1=j-1\\
0 & \text{else}
\end{cases}

בגלל שהנחנו ש b משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n זהה. נוכיח שהאיבר a_{1,n+1}^{2} הוא 0 a_{1,n+1}^{2}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{1k}a_{k1}=\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}a_{1k}a_{k1}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}= \frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{kn}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}=0

a_{n,1}=0 על פי סגירות לכפל של משולשיות

ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP נקבל A=\left(PBP^{-1}\right)^{2} ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש

שורש של מטריצה הפיכה - היסטוריית גרסאות

Noamlifshitz ב־21:28, 5 בינואר 2012

Noamlifshitz ב־14:37, 5 בינואר 2012

Noamlifshitz: יצירת דף עם התוכן "נוכיח שלצורת הג'ורדן של המטריצה A ו-J_{A}A יש שורש. בגלל שהיא הפיכה אז אין לה ער..."

Noamlifshitz: יצירת דף עם התוכן "נוכיח שלצורת הג'ורדן של המטריצה $A$ ו- $J_{A}A$ יש שורש. בגלל שהיא הפיכה אז אין לה ער..."