שיחה:88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעד - היסטוריית גרסאות

Nio123: /* המבחן */ פסקה חדשה

2014-03-09T20:53:30Z

המבחן: פסקה חדשה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:53, 9 במרץ 2014
שורה 383:		שורה 383:

	--[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 07:17, 6 בפברואר 2014 (EST)		--[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 07:17, 6 בפברואר 2014 (EST)

			== המבחן ==

			תוכלו בבקשה להעלות פתרונות מלאים של המבחן מועד א'?

Shakedamitay: /* פתרון המבחן */

2014-02-11T09:34:28Z

פתרון המבחן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:34, 11 בפברואר 2014
שורה 383:		שורה 383:

	--[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 07:17, 6 בפברואר 2014 (EST)		--[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 07:17, 6 בפברואר 2014 (EST)

	~~== פתרון המבחן ==~~

	~~האם יועלה פתרון של המבחן שנערך ביום ראשון?~~

Shakedamitay: /* פתרון המבחן */

2014-02-11T09:33:45Z

פתרון המבחן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:33, 11 בפברואר 2014
שורה 386:		שורה 386:
	== פתרון המבחן ==		== פתרון המבחן ==

	האם יועלה פתרון של המבחן שנערך ~~בראשון~~?		האם יועלה פתרון של המבחן שנערך ביום ראשון?

Shakedamitay: /* פתרון המבחן */ פסקה חדשה

2014-02-11T07:37:14Z

פתרון המבחן: פסקה חדשה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:37, 11 בפברואר 2014
שורה 383:		שורה 383:

	--[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 07:17, 6 בפברואר 2014 (EST)		--[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 07:17, 6 בפברואר 2014 (EST)

			== פתרון המבחן ==

			האם יועלה פתרון של המבחן שנערך בראשון?

איתמר שטיין: /* אפשר לעבור על השאלות האלו בתרגול חזרה? או במקום לקבל כיוון\פתרון פה יהיה נחמד. */

2014-02-06T12:18:27Z

אפשר לעבור על השאלות האלו בתרגול חזרה? או במקום לקבל כיוון\פתרון פה יהיה נחמד.

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:18, 6 בפברואר 2014
שורה 262:		שורה 262:
	מה שלא תעשו אני אשתדל להשלים. --[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 01:37, 6 בפברואר 2014 (EST)		מה שלא תעשו אני אשתדל להשלים. --[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 01:37, 6 בפברואר 2014 (EST)

			בסוף הספקתי לכתוב תשובות.

			להלן.--[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 07:18, 6 בפברואר 2014 (EST)

	== <math>Ker(T^n)\cap Im(T^n)=0</math> ==		== <math>Ker(T^n)\cap Im(T^n)=0</math> ==

איתמר שטיין: /* Im(T^\ast)=(Ker(T))^\perp */

2014-02-06T12:17:48Z

Im(T^\ast)=(Ker(T))^\perp

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:17, 6 בפברואר 2014
שורה 361:		שורה 361:

	==<math>Im(T^\ast)=(Ker(T))^\perp</math>==		==<math>Im(T^\ast)=(Ker(T))^\perp</math>==


			ברור שזה שקול לטענה

			<math>(Im(T^\ast))^\perp=(Ker(T))</math>

			ואת זה נוכיח בקלות

			<math>x \in Ker(T)</math> אם ורק אם <math>T(x)=0</math>

			אם ורק אם <math>\forall u \quad <T(x),u>=0</math>

			אם ורק אם <math>\forall u \quad <x,T^\ast(u)>=0</math>

			אם ורק אם <math>x\in (Im(T^\ast))^\perp</math>

			כנדרש

			--[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 07:17, 6 בפברואר 2014 (EST)

איתמר שטיין: /* ע */

2014-02-06T12:13:26Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:13, 6 בפברואר 2014
שורה 360:		שורה 360:
	ולכן גם <math>T^2+I</math> לא הפיכה. כנדרש		ולכן גם <math>T^2+I</math> לא הפיכה. כנדרש

	==ע==		==<math>Im(T^\ast)=(Ker(T))^\perp</math>==

איתמר שטיין: /* לא קיימת T כך ש T=TT^{\ast}+I */

2014-02-06T12:12:23Z

לא קיימת T כך ש T=TT^{\ast}+I

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:12, 6 בפברואר 2014
שורה 320:		שורה 320:

	==לא קיימת T כך ש <math>T=TT^{\ast}+I</math>==		==לא קיימת T כך ש <math>T=TT^{\ast}+I</math>==


			נניח שקיימת. אז <math>T</math> צמודה לעצמה (כי <math>TT^{\ast}+I</math> צמוד לעצמו).

			ולכן כל הערכים העצמיים ממשיים (ויש ל <math>T</math> ערכים עצמיים כי היא ניתנת ללכסון).

			אבל <math>T</math> מקיימת גם

			<math>T=TT^\ast+I=T^2+I</math>

			כלומר <math>T^2-T+I</math>

			כלומר הפולינום <math>x^2-x+1</math> מאפס את <math>T</math>

			אז הפולינום המינימלי צריך לחלק אותו.

			אבל ל <math>TT^{\ast}+I</math> אין שורשים ממשיים. ממילא גם לפולינום המינימלי אין שורשים ממשיים.

			אז ערכים עצמיים ממשיים.

			בסתירה

			--[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 07:12, 6 בפברואר 2014 (EST)

			==אם <math>i</math> ע"ע של <math>T</math> אז קיים <math>v</math> כך שלכל <math>u</math> מתקיים <math>v\neq T^2u+u</math>==

			או בשפה של בני אדם.

			<math>T^2+I</math> היא לא על.

			מדובר כאן על מצב ש <math>T:V\rightarrow V</math>

			ולכן <math>T</math> על אם ורק אם היא <math>הפיכה</math>

			אבל <math>T^2+I=(T-iI)(T+iI)</math>

			וההעתקה <math>T-iI</math> לא הפיכה כי <math>i</math> ע"ע.

			ולכן גם <math>T^2+I</math> לא הפיכה. כנדרש

			==ע==

איתמר שטיין: /* Ker(T^n)\cap Im(T^n)=0 */

2014-02-06T12:06:16Z

Ker(T^n)\cap Im(T^n)=0

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:06, 6 בפברואר 2014
שורה 305:		שורה 305:

	--[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 07:02, 6 בפברואר 2014 (EST)		--[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 07:02, 6 בפברואר 2014 (EST)


			==אם <math>\lambda</math> ערך עצמי יחיד ו <math>A^r=I</math> אז <math>A=\lambda I</math>==

			אם <math>A^r=I</math> זה אומר ש <math>x^r-1</math> מאפס את <math>A</math>.

			כלומר הפולינום המינימלי מחלק את <math>x^r-1</math>. אבל <math>x^r-1</math> מתפצל לגורמים לינאריים שונים

			והפולינום המינימלי הוא מהצורה <math>(x-\lambda)^k</math>
			ולכן <math>k=1</math> והפולינום המינימלי הוא <math>x-\lambda</math>.

			נציב את <math>A</math> ונקבל ש <math>A=\lambda I</math> כנדרש
			--[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 07:06, 6 בפברואר 2014 (EST)

			==לא קיימת T כך ש <math>T=TT^{\ast}+I</math>==

איתמר שטיין: /* Ker(T^n)\cap Im(T^n)=0 */

2014-02-06T12:02:57Z

Ker(T^n)\cap Im(T^n)=0

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:02, 6 בפברואר 2014
שורה 264:		שורה 264:

	== <math>Ker(T^n)\cap Im(T^n)=0</math> ==		== <math>Ker(T^n)\cap Im(T^n)=0</math> ==

			שלב א':

			נבחר <math>n = dim V</math>

			טענת עזר: אם <math>T^{2n}(y)=0</math> אז <math>T^n(y)=0</math>

			במילים אחרות: <math>Ker(T^n)=Ker(T^{2n})</math>

			הוכחה:

			נשים לב שיש שרשרת עולה של תתי מרחבים

			<math>Ker(T)\subseteq Ker(T^2) \subseteq \cdots </math>

			אבל המימד שלהם לא יכול לגדול לנצח (כי לכל היותר הוא יהיה <math>n</math>.)

			ולכן קיים <math>k</math> עבורו <math>Ker(T^k)=Ker(T^{k+1})</math>

			אבל אז אם <math>x\in Ker(T^{k+2})</math> אז <math>T(x)\in Ker(T^{k+1})</math>

			ולכן <math>T(x) \in Ker(T^k)</math> ולכן <math>x \in Ker(T^{k+1})</math>

			כלומר השויון ממשיך

			ויש לנו <math>Ker(T^k)=Ker(T^{k+1})=Ker(T^{k+2})=\cdots</math> וכו'.

			נסמן ב <math>k</math> את הפעם הראשונה בשרשרת שבה <math>Ker(T^k)=Ker(T^{k+1})</math>

			בהכרח יתקיים <math>k\leq n </math> כי לא יכול להיות שהשרשרת גדלה יותר מ <math>n</math> פעמים. (בכל פעם שהיא גדלה, התווסף לפחות עוד 1 למימד - ובסך הכל המימד הוא <math>n</math>).

			ולכן בהכרח <math>Ker(T^n)=Ker(T^{2n})</math>

			שלב ב': נניח ש
			<math>x\in Im(T^n) \cap \Ker(T^n)</math>

			אז <math>T^n(x)=0</math> ו <math>T^n(y)=x</math>

			כלומר <math>T^{2n}(y)=0</math> לפי שלב א' <math>x=T^n(y)=0</math> כנדרש.

			--[[משתמש:איתמר שטיין\|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין\|שיחה]]) 07:02, 6 בפברואר 2014 (EST)