שיטת ההצבה - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־11:20, 3 בנובמבר 2016

2016-11-03T11:20:38Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:20, 3 בנובמבר 2016
שורה 17:		שורה 17:
	נסמן <math>g(x)=t</math>		נסמן <math>g(x)=t</math>

	ולכן <math>g'(x)~~\cdot~~ dx=dt</math>		ולכן <math>g'(x)dx=dt</math>

	ולכן <math>\displaystyle\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=\int{f(t)dt}=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C</math>		ולכן <math>\displaystyle\int f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C</math>

	הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל-השרשרת.		הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל-השרשרת.
שורה 30:		שורה 30:
	*גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב- <math>dx,dt</math> .		*גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב- <math>dx,dt</math> .

	:<math>dt=g'(x)dx</math> או <math>dx=h'(t)~~\cdot~~ dt</math> .		:<math>dt=g'(x)dx</math> או <math>dx=h'(t)dt</math> .

	*במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה <math>g</math> הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math>		*במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה <math>g</math> הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math>

	*כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה x, נוכל להשלים את ההצבה רק אם g הפיכה ע"י <math>x=g^{-1}(t)</math>		*כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה <math>x</math> , נוכל להשלים את ההצבה רק אם <math>g</math> הפיכה ע"י <math>x=g^{-1}(t)</math>

	===דוגמאות===		===דוגמאות===
	א)		א)

	<math>\int{\sin(\sqrt{x})dx}</math>		<math>\int\sin\big(\sqrt x\big)dx</math>

	ננסה להציב <math>t=\sqrt{x}</math> .		ננסה להציב <math>t=\sqrt x</math> .

	נגזור ונקבל <math>dt=\~~frac1~~{2\sqrt{x}~~}dx~~</math>		נגזור ונקבל <math>dt=\frac{dx}{2\sqrt x}</math>

	אבל הביטוי <math>\~~frac1~~{2\sqrt{x}~~}dx~~</math> אינו מופיע באינטגרל!		אבל הביטוי <math>\frac{dx}{2\sqrt x}</math> אינו מופיע באינטגרל!

	לכן נבצע את ההצבה ההפוכה (שמובילה לתוצאה זהה ביתר קלות) <math>x=t^2</math>.		לכן נבצע את ההצבה ההפוכה (שמובילה לתוצאה זהה ביתר קלות) <math>x=t^2</math> .

	נגזור ונקבל <math>dx=2t\~~cdot~~ dt</math>		נגזור ונקבל <math>dx=2t\,dt</math>

	לכן		לכן

	:<math>\int{\sin(\sqrt{x})dx}=\int{\sin(t)~~2t\~~ dt}</math>		:<math>\int\sin\big(\sqrt x\big)dx=\int 2t\sin(t)dt</math>

	ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים.		ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים.
שורה 64:		שורה 64:
	נסמן <math>f(x)=\frac1{x}\ ,\ g(x)=\cos(x)</math>		נסמן <math>f(x)=\frac1{x}\ ,\ g(x)=\cos(x)</math>

	לכן <math>F(x)=\ln(\|x\|),g'(x)=-\sin(x)</math> וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:		לכן <math>F(x)=\ln(\|x\|)\ ,\ g'(x)=-\sin(x)</math> וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:

	:<math>-\int{f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=-F\big(g(x)\big)+C=-\ln\big(\|\cos(x)\|\big)+C</math>		:<math>-\int{f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=-F\big(g(x)\big)+C=-\ln\big(\|\cos(x)\|\big)+C</math>
שורה 71:		שורה 71:
	ג)		ג)

	<math>\int{~~\frac1~~{\sqrt{a^2-x^2}}}=\int{~~\frac1~~{\|a\|\sqrt{1-\left(\~~tfrac~~{x}{\|a\|}\right)^2}}}</math>		<math>\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{dx}{\|a\|\sqrt{1-\left(\frac{x}{\|a\|}\right)^2}}</math>

	נציב		נציב

	:<math>t=\frac{x}{\|a\|}</math>		:<math>t=\frac{x}{\|a\|}</math>

	~~לכן~~

	~~:<math>dt=\frac1{\|a\|}dx</math>~~

	לכן		לכן
שורה 87:		שורה 83:
	ולכן		ולכן

	<math>\int{~~\frac1~~{\|a\|\sqrt{1-\left(\frac{x}{\|a\|}\right)^2}}}=\~~frac1~~{\|a\|}\int{\frac{\|a\|dt}{\sqrt{1-t^2}}}=\arcsin(t)+C=\arcsin\left(\frac{x}{\|a\|}\right)+C</math>		<math>\int\frac{dx}{\|a\|\sqrt{1-\left(\frac{x}{\|a\|}\right)^2}}=\frac{1}{\|a\|}\int\frac{\|a\|}{\sqrt{1-t^2}}dt=\arcsin(t)+C=\arcsin\left(\frac{x}{\|a\|}\right)+C</math>

	==הצבות אוניברסאליות==		==הצבות אוניברסאליות==

יהודה שמחה ב־16:53, 27 בינואר 2016

2016-01-27T16:53:47Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:53, 27 בינואר 2016
שורה 17:		שורה 17:
	נסמן <math>g(x)=t</math>		נסמן <math>g(x)=t</math>

	ולכן <math>g'(x)dx=dt</math>		ולכן <math>g'(x)\cdot dx=dt</math>

	ולכן <math>\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=\int{f(t)dt}=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C</math>		ולכן <math>\displaystyle\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=\int{f(t)dt}=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C</math>

	הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל-השרשרת.		הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל-השרשרת.
שורה 30:		שורה 30:
	*גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב- <math>dx,dt</math> .		*גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב- <math>dx,dt</math> .

	:<math>dt=g'(x)dx</math> או <math>dx=h'(t)dt</math> .		:<math>dt=g'(x)dx</math> או <math>dx=h'(t)\cdot dt</math> .

	*במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה <math>g</math> הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math>		*במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה <math>g</math> הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math>
שורה 37:		שורה 37:

	===דוגמאות===		===דוגמאות===
	~~<math>\int{sin(\sqrt{x}~~)~~dx}</math>~~		א)

	~~ננסה להציב~~ <math>t=\sqrt{x}</math>.		<math>\int{\sin(\sqrt{x})dx}</math>

	~~נגזור ונקבל~~ <math>dt=~~\frac{1}{2~~\sqrt{x}~~}dx~~</math>		ננסה להציב <math>t=\sqrt{x}</math> .

	אבל הביטוי <math>\~~frac{1}~~{2\sqrt{x}}dx</math> אינו מופיע באינטגרל!		נגזור ונקבל <math>dt=\frac1{2\sqrt{x}}dx</math>

			אבל הביטוי <math>\frac1{2\sqrt{x}}dx</math> אינו מופיע באינטגרל!

	לכן נבצע את ההצבה ההפוכה (שמובילה לתוצאה זהה ביתר קלות) <math>x=t^2</math>.		לכן נבצע את ההצבה ההפוכה (שמובילה לתוצאה זהה ביתר קלות) <math>x=t^2</math>.

	נגזור ונקבל <math>dx=~~2tdt~~</math>		נגזור ונקבל <math>dx=2t\cdot dt</math>

	לכן		לכן

	::<math>\int{sin(\sqrt{x})dx}=\int{sin(t)~~2tdt~~}</math>		:<math>\int{\sin(\sqrt{x})dx}=\int{\sin(t)2t\ dt}</math>

	ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים.		ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים.


	ב.		ב)

	~~<math>\int{tan(x~~)~~dx}=-\int{\frac{1}{cosx}(-sin(x))dx}</math>~~

	~~נסמן~~ <math>f(x)=\~~frac~~{1}{x},g(x)~~=cosx~~</math>		<math>\int{\tan(x)dx}=-\int{\frac1{\cos(x)}\cdot\big(-\sin(x)\big)dx}</math>

	~~לכן~~ <math>F(x)=~~ln\|~~x\|,g'(x)=~~-sin~~(x)</math> ~~וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:~~		נסמן <math>f(x)=\frac1{x}\ ,\ g(x)=\cos(x)</math>

	::<math>-\~~int{f'(g~~(x))g'(x)~~dx}~~=-~~F(g~~(x)~~)+C=-ln\|cosx\|+C~~</math>		לכן <math>F(x)=\ln(\|x\|),g'(x)=-\sin(x)</math> וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:

			:<math>-\int{f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=-F\big(g(x)\big)+C=-\ln\big(\|\cos(x)\|\big)+C</math>


	ג.		ג)

	<math>\int{\~~frac{1}~~{\sqrt{a^2-x^2}}}=\int{\~~frac{1}~~{\|a\|\sqrt{1-(\~~frac~~{x}{\|a\|})^2}}}</math>		<math>\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}=\int{\frac1{\|a\|\sqrt{1-\left(\tfrac{x}{\|a\|}\right)^2}}}</math>

	נציב		נציב

	::<math>t=\frac{x}{\|a\|}</math>		:<math>t=\frac{x}{\|a\|}</math>

	לכן		לכן

	::<math>dt=\~~frac{1}~~{\|a\|}dx</math>		:<math>dt=\frac1{\|a\|}dx</math>

	לכן		לכן

	::<math>\|a\|dt=dx</math>		:<math>\|a\|dt=dx</math>

	ולכן		ולכן

			<math>\int{\frac1{\|a\|\sqrt{1-\left(\frac{x}{\|a\|}\right)^2}}}=\frac1{\|a\|}\int{\frac{\|a\|dt}{\sqrt{1-t^2}}}=\arcsin(t)+C=\arcsin\left(\frac{x}{\|a\|}\right)+C</math>
	<math>\int{\~~frac{1}~~{\|a\|\sqrt{1-(\frac{x}{\|a\|})^2}}}=\~~frac{1}~~{\|a\|}\int{\frac{\|a\|dt}{\sqrt{1-t^2}}}=arcsin(t)+C=arcsin(\frac{x}{\|a\|})+C</math>

	==הצבות אוניברסאליות==		==הצבות אוניברסאליות==
			'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית\|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.
	'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה ~~מסויימת~~ לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית\|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב ~~שכיוון~~ ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, ~~לעיתים~~ המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון ~~הבעייה~~.

	הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)		הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)

יהודה שמחה ב־00:46, 27 בינואר 2016

2016-01-27T00:46:41Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:46, 27 בינואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]
	==שיטת ההצבה==		==שיטת ההצבה==
	שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל השרשרת לגזירה.		שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל-השרשרת לגזירה.

	<math>[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)</math>		<math>\frac{d}{dx}f\big(g(x)\big)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)</math>

	לכן, '''~~נוסחאת~~ ההצבה''' ~~הינה~~:		לכן, '''נוסחת ההצבה''' הנה:

	::<math>\int{f(g(x))g'(x)dx}=F\~~Big~~(g(x)\~~Big~~)+C</math>		:<math>\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=F\big(g(x)\big)+C</math>

			כאשר <math>F'=f</math> .
	כאשר <math>F'=f</math>

	סימון נוח יותר לאותה הנוסחא:		סימון נוח יותר לאותה הנוסחא:

	<math>\int{f(g(x))g'(x)dx}</math>		<math>\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}</math>

	נסמן <math>g(x)=t</math>		נסמן <math>g(x)=t</math>
שורה 20:		שורה 19:
	ולכן <math>g'(x)dx=dt</math>		ולכן <math>g'(x)dx=dt</math>

	ולכן <math>\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(t)dt}=F(t)+C=F(g(x))+C</math>		ולכן <math>\int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=\int{f(t)dt}=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C</math>


	הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל השרשרת.		הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל-השרשרת.

	===אלגוריתם לביצוע הצבה===		===אלגוריתם לביצוע הצבה===
	נתאר כעת את השלבים בביצוע הצבה, במקרים שונים.		נתאר כעת את השלבים בביצוע הצבה, במקרים שונים.

	*בוחרים הצבה <math>t=g(x)</math> או <math>x=h(t)</math>		*בוחרים הצבה <math>t=g(x)</math> או <math>x=h(t)</math> .

	*גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב<math>dx,dt</math>.		*גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב- <math>dx,dt</math> .

	::<math>dt=g'(x)dx</math> או <math>dx=h'(t)dt</math>		:<math>dt=g'(x)dx</math> או <math>dx=h'(t)dt</math> .

	*במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה g הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math>		*במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה <math>g</math> הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math>

	*כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה x, נוכל להשלים את ההצבה רק אם g הפיכה ע"י <math>x=g^{-1}(t)</math>		*כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה x, נוכל להשלים את ההצבה רק אם g הפיכה ע"י <math>x=g^{-1}(t)</math>

ארז שיינר: /* דוגמאות */

2015-05-20T05:58:03Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:58, 20 במאי 2015
שורה 39:		שורה 39:

	===דוגמאות===		===דוגמאות===
	<math>\int{sin(\sqrt{x}dx}</math>		<math>\int{sin(\sqrt{x})dx}</math>

	ננסה להציב <math>t=\sqrt{x}</math>.		ננסה להציב <math>t=\sqrt{x}</math>.
שורה 53:		שורה 53:
	לכן		לכן

	::<math>\int{sin(\sqrt{x}dx}=\int{sin(t)2tdt}</math>		::<math>\int{sin(\sqrt{x})dx}=\int{sin(t)2tdt}</math>

	ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים.		ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים.

ארז שיינר: /* דוגמאות */

2015-05-20T05:57:34Z

דוגמאות

@@ שורה 39: / שורה 39: @@
 ===דוגמאות===
-א.
+<math>\int{sin(\sqrt{x}dx}</math>
 <math>\int{tan(x)dx}=-\int{\frac{1}{cosx}(-sin(x))dx}</math>
@@ שורה 51: / שורה 70: @@
-ב.
+ג.
 <math>\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\int{\frac{1}{|a|\sqrt{1-(\frac{x}{|a|})^2}}}</math>

ארז שיינר: /* אלגוריתם לביצוע הצבה */

2015-05-20T05:54:27Z

אלגוריתם לביצוע הצבה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:54, 20 במאי 2015
שורה 35:		שורה 35:

	*במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה g הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math>		*במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה g הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math>

			*כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה x, נוכל להשלים את ההצבה רק אם g הפיכה ע"י <math>x=g^{-1}(t)</math>

	===דוגמאות===		===דוגמאות===

ארז שיינר: /* שיטת ההצבה */

2015-05-20T05:53:23Z

שיטת ההצבה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:53, 20 במאי 2015
שורה 24:		שורה 24:

	הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל השרשרת.		הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל השרשרת.

			===אלגוריתם לביצוע הצבה===
			נתאר כעת את השלבים בביצוע הצבה, במקרים שונים.

			*בוחרים הצבה <math>t=g(x)</math> או <math>x=h(t)</math>

			*גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב<math>dx,dt</math>.

			::<math>dt=g'(x)dx</math> או <math>dx=h'(t)dt</math>

			*במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה g הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math>

	===דוגמאות===		===דוגמאות===

ארז שיינר: /* הצבות אוניברסאליות */

2012-03-18T21:40:36Z

הצבות אוניברסאליות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:40, 18 במרץ 2012
שורה 66:		שורה 66:

	*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf\|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]		*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf\|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]

			==דוגמאות==
			*[[משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11\|דוגמאות 1]]

ארז שיינר ב־09:35, 18 במרץ 2012

2012-03-18T09:35:27Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:35, 18 במרץ 2012
שורה 1:		שורה 1:
			[[קטגוריה:אינפי]]
	==שיטת ההצבה==		==שיטת ההצבה==
	שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל השרשרת לגזירה.		שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל השרשרת לגזירה.

ארז שיינר ב־09:35, 18 במרץ 2012

2012-03-18T09:35:05Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:35, 18 במרץ 2012
שורה 1:		שורה 1:
	==~~הגדרה~~==		==שיטת ההצבה==
	שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל השרשרת לגזירה.		שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל השרשרת לגזירה.

שורה 24:		שורה 24:
	הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל השרשרת.		הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל השרשרת.

	==דוגמאות==		===דוגמאות===
	א.		א.

שורה 57:		שורה 57:

	<math>\int{\frac{1}{\|a\|\sqrt{1-(\frac{x}{\|a\|})^2}}}=\frac{1}{\|a\|}\int{\frac{\|a\|dt}{\sqrt{1-t^2}}}=arcsin(t)+C=arcsin(\frac{x}{\|a\|})+C</math>		<math>\int{\frac{1}{\|a\|\sqrt{1-(\frac{x}{\|a\|})^2}}}=\frac{1}{\|a\|}\int{\frac{\|a\|dt}{\sqrt{1-t^2}}}=arcsin(t)+C=arcsin(\frac{x}{\|a\|})+C</math>

			==הצבות אוניברסאליות==

			'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסויימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית\|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיוון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעיתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעייה.

			הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)

			*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf\|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]