תרגול 11 תשעז - היסטוריית גרסאות

Mathzeta2: /* שאלה ממבחן */

2017-12-29T15:56:18Z

שאלה ממבחן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:56, 29 בדצמבר 2017
שורה 24:		שורה 24:

	===שאלה ממבחן===		===שאלה ממבחן===
	א. תהי A קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על A. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על A.		א. תהי <math>A</math> קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על <math>A</math>. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על <math>A</math>.

	ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n\|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>?		ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n\|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>?

	====פתרון====		====פתרון====
	א. רפלקסיביות: מאחר ו <math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש <math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>.		א. רפלקסיביות: מאחר ו-<math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש-<math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>.

	סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>.		סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>.
שורה 39:		שורה 39:
	<math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.		<math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.

	R הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן R הינו אוסף הזוגות מהצורה (q,q) עבור q מספר שלם. (יחס השיוויון.)		<math>R</math> הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן <math>R</math> הינו אוסף הזוגות מהצורה <math>(q,q)</math> עבור <math>q</math> מספר שלם. (יחס השיוויון).

אריאל: /* המשך יחסי שקילות */

2017-12-22T08:00:06Z

המשך יחסי שקילות

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].
-==המשך יחסי שקילות==
+==יחסי שקילות - תרגילים נוספים==
 ===תרגיל===

אריאל: /* שאלה ממבחן */

2017-12-22T07:43:56Z

שאלה ממבחן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:43, 22 בדצמבר 2017
שורה 55:		שורה 55:

	===שאלה ממבחן===		===שאלה ממבחן===
	תהי A קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על A. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על A.		א. תהי A קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על A. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על A.

			ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n\|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>?

	====פתרון====		====פתרון====
	רפלקסיביות: מאחר ו <math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש <math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>.		א. רפלקסיביות: מאחר ו <math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש <math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>.

	סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>.		סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>.

	טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in \mathbb R</math> אזי <math>\forall i\in I:(x,y),(y,z)\in R_i</math>, וכיון שהוא יחס שקילות אז נובע <math>\forall i\in I:(x,z)\in R_i</math>, ולפי הגדרת החיתוך הכללי נקבל <math>(x,z)\in R</math>		טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in \mathbb R</math> אזי <math>\forall i\in I:(x,y),(y,z)\in R_i</math>, וכיון שהוא יחס שקילות אז נובע <math>\forall i\in I:(x,z)\in R_i</math>, ולפי הגדרת החיתוך הכללי נקבל <math>(x,z)\in R</math>

			ב. <math>R_1</math> הינו אוסף כל הזוגות הסדורים מעל השלמים, שכן אחד מחלק כל מספר ולכן כל הפרש.

			<math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.

			R הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן R הינו אוסף הזוגות מהצורה (q,q) עבור q מספר שלם. (יחס השיוויון.)


			<math>\mathbb{Z}/R_1</math> הינו אוסף מחלקות השקילות של היחס המכיל את כל הזוגות. יש בו רק מחלקת שקילות אחת המכילה את כל המספרים השלמים.

			<math>\mathbb{Z}/R_2</math> מכיל שתי קבוצות, קבוצת הזוגיים וקבוצת האי זוגיים שכן בין כל הזוגיים יש את היחס, ובין כל האי זוגיים ולא בין לבין כמובן (הרי זה יחס שקילויות כפי שקל להוכיח).

			<math>\mathbb{Z}/R</math> הינו אוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד.

אריאל: /* תרגיל */

2017-12-22T07:41:56Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:41, 22 בדצמבר 2017
שורה 35:		שורה 35:

	===תרגיל===		===תרגיל===
	תהא <math>B\subseteq A</math> קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס <math>\sim \subseteq P(A)\times P(A)</math> ע"י <math>C\sim D\iff C\cap B=D\cap B</math>.		תהא <math>B\subseteq A</math> קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס <math>\sim \subseteq P(A)\times P(A)</math> ע"י <math>C\sim D\iff C\cap B=D\cap B</math>. הוכיחו:

	א. ~~הוכח שזהו~~ יחס שקילות.		א. זהו יחס שקילות.

	ב. ~~מצא את~~ <math>~~\|P(~~A)/\~~sim \|~~</math>		ב. לכל <math>X\subseteq A</math> קיימת <math>C\subseteq B</math> כך ש <math>[X]_R=[C]_R</math>.

			ג. אם <math>C,D\subseteq B</math> שונות, אז <math>[C]\neq [D]</math>.

	====פיתרון====		====פיתרון====
שורה 48:		שורה 50:
	טרנזיטיביות: נניח <math>C\sim D\land D\sim E</math> אזי <math>C\cap B=D\cap B\land D\cap B=E\cap B</math> ומטרנזיטיביות יחס השיוויון נקבל הדרוש.		טרנזיטיביות: נניח <math>C\sim D\land D\sim E</math> אזי <math>C\cap B=D\cap B\land D\cap B=E\cap B</math> ומטרנזיטיביות יחס השיוויון נקבל הדרוש.

	ב. ~~פיתרון:~~ <math>~~\|P(A)/\sim \|=\|P(B)\|=2^{\|B\|}</math>. הוכחה:~~		ב. יהי <math>X\subseteq A</math> נשים לב שמתקיים <math>(X\cap B)\cap B=X\cap B</math> ולכן <math>[X]_R=[X\cap B]_R</math>, ובנוסף מתקיים <math>X\cap B\subseteq B</math> ולכן נוכל לבחור <math>C=X\cap B</math>.

	~~מחד, לכל מחלקת שקילות <math>[C]\in P(A)/\sim</math> נוכל לבחור תת קבוצה של <math>B</math> כנציג: כי <math>\forall C\in P(A):[C]=\{ D~~\subseteq A~~\|C\cap B=D\cap B\}~~</math>~~, וכיון ש-~~ <math>(C\cap B)\cap B=C\cap B</math> ~~נקבל~~ <math>[C]=[C\cap B]</math>, ו-<math>C\cap B\subseteq B</math> ~~הוא הנציג שחיפשנו.~~

	~~מצד שני, כל תת קבוצה של <math>B</math> מגדירה מחלקת שקילות שונה, כי אם <math>C\neq D\subseteq B</math> אז~~ <math>C\cap B~~\neq D\cap B</math>, ולכן <math>[C]\neq [D]~~</math>.

	~~ובסה~~"כ ~~קיבלנו שכל איבר ב-~~ <math>~~P(A)~~/\~~sim~~</math> ~~מוגדר ע"י תת קבוצה של~~ <math>B</math> ~~ושאין חזרה כי כל שתי תתי קבוצות שונות של~~ <math>B</math> ~~מגדירות מחלקת שקילות שונה. לכן מספר האיברים בקבוצת המנה הוא כמספר תתי הקבוצות של~~ <math>B</math>.		ג. תהיינה <math>C,D\subseteq B</math> שונות. לכן קיים (בה"כ) <math>x\in C\smallsetminus D</math> וכמובן <math>x\in B</math>, ולכן נקבל <math>x\in C\cap B\land x\notin D\cap B</math> כלומר <math>C\cap B\neq D\cap B</math> ולכן <math>[C]\neq [D]</math>.

	===שאלה ממבחן===		===שאלה ממבחן===

Mathzeta2 ב־17:38, 24 באוקטובר 2017

2017-10-24T17:38:24Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:38, 24 באוקטובר 2017
שורה 1:		שורה 1:
			חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול\|דף מערכי התרגול]].

	==המשך יחסי שקילות==		==המשך יחסי שקילות==

Relweiz: /* פיתרון */

2017-01-24T18:56:01Z

פיתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:56, 24 בינואר 2017
שורה 48:		שורה 48:
	ב. פיתרון: <math>\|P(A)/\sim \|=\|P(B)\|=2^{\|B\|}</math>. הוכחה:		ב. פיתרון: <math>\|P(A)/\sim \|=\|P(B)\|=2^{\|B\|}</math>. הוכחה:

	מחד, לכל מחלקת שקילות <math>[x]\in P(A)/\sim</math> נוכל לבחור תת קבוצה של <math>B</math> כנציג: כי <math>\forall C\in P(A):[c]=\{ D\subseteq A\|C\cap B=D\cap B\}</math>, וכיון ש- <math>C\cap B\~~subseteq~~ B</math> נקבל <math>[C]=[C\cap B]</math>.		מחד, לכל מחלקת שקילות <math>[C]\in P(A)/\sim</math> נוכל לבחור תת קבוצה של <math>B</math> כנציג: כי <math>\forall C\in P(A):[C]=\{ D\subseteq A\|C\cap B=D\cap B\}</math>, וכיון ש- <math>(C\cap B)\cap B=C\cap B</math> נקבל <math>[C]=[C\cap B]</math>, ו-<math>C\cap B\subseteq B</math> הוא הנציג שחיפשנו.

	מצד שני, כל תת קבוצה של <math>B</math> מגדירה מחלקת שקילות שונה, כי אם <math>C\neq D\subseteq B</math> אז <math>C\cap B\neq D\cap B</math>, ולכן <math>[C]\neq [D]</math>.		מצד שני, כל תת קבוצה של <math>B</math> מגדירה מחלקת שקילות שונה, כי אם <math>C\neq D\subseteq B</math> אז <math>C\cap B\neq D\cap B</math>, ולכן <math>[C]\neq [D]</math>.

			ובסה"כ קיבלנו שכל איבר ב- <math>P(A)/\sim</math> מוגדר ע"י תת קבוצה של <math>B</math> ושאין חזרה כי כל שתי תתי קבוצות שונות של <math>B</math> מגדירות מחלקת שקילות שונה. לכן מספר האיברים בקבוצת המנה הוא כמספר תתי הקבוצות של <math>B</math>.

	===שאלה ממבחן===		===שאלה ממבחן===

Relweiz: /* פיתרון */

2017-01-24T18:50:28Z

פיתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:50, 24 בינואר 2017
שורה 48:		שורה 48:
	ב. פיתרון: <math>\|P(A)/\sim \|=\|P(B)\|=2^{\|B\|}</math>. הוכחה:		ב. פיתרון: <math>\|P(A)/\sim \|=\|P(B)\|=2^{\|B\|}</math>. הוכחה:

	מחד כל תת קבוצה של <math>B</math> ~~מגדירה מחלקת שקילות שונה,~~ כי אם <math>C\~~neq~~ D\subseteq B</math> אז <math>C\cap B\~~neq D\cap~~ B</math>~~, ולכן~~ <math>[C]\~~neq [D~~]</math>.		מחד, לכל מחלקת שקילות <math>[x]\in P(A)/\sim</math> נוכל לבחור תת קבוצה של <math>B</math> כנציג: כי <math>\forall C\in P(A):[c]=\{ D\subseteq A\|C\cap B=D\cap B\}</math>, וכיון ש- <math>C\cap B\subseteq B</math> נקבל <math>[C]=[C\cap B]</math>.

	מצד שני, ~~מכל מחלקת שקילות נוכל לבחור~~ תת קבוצה של <math>B</math> ~~כנציג:~~ כי <math>~~\forall~~ C\~~in P(A):[c]=\{~~ D\subseteq ~~A\|C\cap~~ B~~=D\cap B\}~~</math>~~, וכיון ש-~~ <math>C\cap B\~~subseteq~~ B</math> ~~נקבל~~ <math>[C]=[~~C\cap B~~]</math>.		מצד שני, כל תת קבוצה של <math>B</math> מגדירה מחלקת שקילות שונה, כי אם <math>C\neq D\subseteq B</math> אז <math>C\cap B\neq D\cap B</math>, ולכן <math>[C]\neq [D]</math>.

	===שאלה ממבחן===		===שאלה ממבחן===

Relweiz: /* תרגיל */

2017-01-24T18:46:37Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:46, 24 בינואר 2017
שורה 37:		שורה 37:
	א. הוכח שזהו יחס שקילות.		א. הוכח שזהו יחס שקילות.

	ב. מצא את <math>P(A)/\sim</math>		ב. מצא את <math>\|P(A)/\sim \|</math>

	====פיתרון====		====פיתרון====
שורה 46:		שורה 46:
	טרנזיטיביות: נניח <math>C\sim D\land D\sim E</math> אזי <math>C\cap B=D\cap B\land D\cap B=E\cap B</math> ומטרנזיטיביות יחס השיוויון נקבל הדרוש.		טרנזיטיביות: נניח <math>C\sim D\land D\sim E</math> אזי <math>C\cap B=D\cap B\land D\cap B=E\cap B</math> ומטרנזיטיביות יחס השיוויון נקבל הדרוש.

	ב. פיתרון: <math>P(A)/\sim =P(B)</math>. הוכחה:		ב. פיתרון: <math>\|P(A)/\sim \|=\|P(B)\|=2^{\|B\|}</math>. הוכחה:

	מחד כל תת קבוצה של <math>B</math> מגדירה מחלקת שקילות שונה, כי אם <math>C\neq D\subseteq B</math> אז <math>C\cap B\neq D\cap B</math>, ולכן <math>[C]\neq [D]</math>.		מחד כל תת קבוצה של <math>B</math> מגדירה מחלקת שקילות שונה, כי אם <math>C\neq D\subseteq B</math> אז <math>C\cap B\neq D\cap B</math>, ולכן <math>[C]\neq [D]</math>.

Relweiz: /* המשך יחסי שקילות */

2017-01-22T10:41:33Z

המשך יחסי שקילות

@@ שורה 31: / שורה 31: @@
 חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.
 ===תרגיל===
@@ שורה 60: / שורה 51: @@
 מצד שני, מכל מחלקת שקילות נוכל לבחור תת קבוצה של <math>B</math> כנציג: כי <math>\forall C\in P(A):[c]=\{ D\subseteq A|C\cap B=D\cap B\}</math>, וכיון ש- <math>C\cap B\subseteq B</math> נקבל <math>[C]=[C\cap B]</math>.

Relweiz: /* תרגיל */

2017-01-22T10:40:16Z

תרגיל

@@ שורה 42: / שורה 42: @@
 ===תרגיל===
-תהא <math>B\subseteq A</math> קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס <math>~subseteq P(A)\times P(A)</math> ע"י <math>C~D\iff C\cup B=D\cup B</math>. הוכח שזהו יחס שקילות.
+תהא <math>B\subseteq A</math> קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס <math>\sim \subseteq P(A)\times P(A)</math> ע"י <math>C\sim D\iff C\cap B=D\cap B</math>.
 ====פיתרון====
-רפלקסיביות: כמובן ש- <math></math>
+א. רפלקסיביות: כמובן ש- <math>\forall C\subseteq A:C\cap B=C\cap B</math>, ולכן <math>C\sim C</math>.