תרגול 2 מדמח קיץ תשעז - היסטוריית גרסאות

אריאל ב־09:46, 9 באוגוסט 2017

2017-08-09T09:46:10Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:46, 9 באוגוסט 2017
שורה 1:		שורה 1:
	===פרדיקטים וכמתים===		==פרדיקטים וכמתים==
	בניגוד לאטומים שהם ללא משתנים ה'''פרדיקטים''' הינם פונקציות התלויות במשתנים. לדוגמא ניתן להגדיר את הפרדיקט <math>S(x)</math> להיות x הינו סטודנט באוניברסיטה.		בניגוד לאטומים שהם ללא משתנים ה'''פרדיקטים''' הינם פונקציות התלויות במשתנים. לדוגמא ניתן להגדיר את הפרדיקט <math>S(x)</math> להיות x הינו סטודנט באוניברסיטה.

אריאל: /* פתרון */

2017-08-09T09:41:38Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:41, 9 באוגוסט 2017
שורה 138:		שורה 138:

	=====פתרון=====		=====פתרון=====
	א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall ~~a :~~ a\in \phi ~~\Rightarrow~~ a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.		א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a\in \phi: a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.

	ב. <math>\phi \cap A = \{x:x\in \phi \and x\in A\}\subseteq \{x:x\in \phi \}=\phi </math> כעזרת א קיבלנו הכלה בשני הכיוונים ולכן שיוויון.		ב. <math>\phi \cap A = \{x:x\in \phi \and x\in A\}\subseteq \{x:x\in \phi \}=\phi </math> כעזרת א קיבלנו הכלה בשני הכיוונים ולכן שיוויון.

אריאל: /* קבוצות */

2017-08-09T07:58:36Z

קבוצות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:58, 9 באוגוסט 2017
שורה 122:		שורה 122:
	*דיסטריביוטיביות: <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)</math>, וגם <math>A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)</math>		*דיסטריביוטיביות: <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)</math>, וגם <math>A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)</math>

	===תרגיל===		====תרגיל====
	נוכיח שההפרש הסימטרי הוא קיבוצי, כלומר: לכל שלש קבוצות <math>A,B,C</math> מתקיים : <math>A\triangle (B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C</math>		נוכיח שההפרש הסימטרי הוא קיבוצי, כלומר: לכל שלש קבוצות <math>A,B,C</math> מתקיים : <math>A\triangle (B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C</math>

	====פתרון====		=====פתרון=====

	אפשרי ע"י טבלת אמת הנקראת טבלת שכיחויות.		אפשרי ע"י טבלת אמת הנקראת טבלת שכיחויות.

	===תרגיל===		====תרגיל====
	הוכח כי:		הוכח כי:
	א. הקבוצה הריקה <math>\phi=\{\}</math> מוכלת בכל קבוצה A		א. הקבוצה הריקה <math>\phi=\{\}</math> מוכלת בכל קבוצה A
שורה 137:		שורה 137:
	ג. <math>\phi \cup A = A </math>		ג. <math>\phi \cup A = A </math>

	====פתרון====		=====פתרון=====
	א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a : a\in \phi \Rightarrow a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.		א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a : a\in \phi \Rightarrow a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.

שורה 172:		שורה 172:
	#<math>A\cap B=\phi</math> (לא)		#<math>A\cap B=\phi</math> (לא)

	===תרגיל===		====תרגיל====
	הוכח כי <math>A\cap (B/C)=(A\cap B) / (A\cap C)</math>		הוכח כי <math>A\cap (B/C)=(A\cap B) / (A\cap C)</math>

	====פתרון====		=====פתרון=====
	דרך גרירות לוגיות:		דרך גרירות לוגיות:

שורה 205:		שורה 205:
	<math>x\in A\cap(B\backslash C)\Leftarrow </math>		<math>x\in A\cap(B\backslash C)\Leftarrow </math>

	===תרגיל===		====תרגיל====
	נתונות <math>A=\{2m+1:m\in\mathbb{Z}\}</math>, ו <math>B=\{2m+3:m\in\mathbb{Z}\}</math>. הוכח שA=B.		נתונות <math>A=\{2m+1:m\in\mathbb{Z}\}</math>, ו <math>B=\{2m+3:m\in\mathbb{Z}\}</math>. הוכח שA=B.

	====פתרון====		=====פתרון=====
	נוכיח הכלה דו כיוונית. נניח <math>x\in A</math> לכן קיים מספר שלם m כך ש <math>x=2m+1</math>. קל לראות שמתקיים <math>x=2(m-1)+3</math> אבל אז מכיוון ש m-1 הינו מספר שלם מתקיים <math>x\in B</math> כפי שרצינו.		נוכיח הכלה דו כיוונית. נניח <math>x\in A</math> לכן קיים מספר שלם m כך ש <math>x=2m+1</math>. קל לראות שמתקיים <math>x=2(m-1)+3</math> אבל אז מכיוון ש m-1 הינו מספר שלם מתקיים <math>x\in B</math> כפי שרצינו.

	ההכלה בכיוון ההפוך דומה.		ההכלה בכיוון ההפוך דומה.

	==== משלים ====		=== משלים ===

	'''הגדרה''': תהי קבוצה U (אוניברסלית) ותהי תת קבוצה שלה <math>A\subseteq U</math>. נגדיר את ה'''משלים''' של A (ביחס ל <math>U</math> להיות:		'''הגדרה''': תהי קבוצה U (אוניברסלית) ותהי תת קבוצה שלה <math>A\subseteq U</math>. נגדיר את ה'''משלים''' של A (ביחס ל <math>U</math> להיות:
שורה 239:		שורה 239:
	<math>x\in (\cap _{i\in I} A_i)^c \iff x\in U \land \exists i\in I:x\notin A_i \iff \exists i\in I: x\in A_i^c \iff x\in \cup_{i\in I}A_i^c</math>		<math>x\in (\cap _{i\in I} A_i)^c \iff x\in U \land \exists i\in I:x\notin A_i \iff \exists i\in I: x\in A_i^c \iff x\in \cup_{i\in I}A_i^c</math>

	=====תרגיל=====		====תרגיל====
	הוכיחו: <math>A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)</math>		הוכיחו: <math>A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)</math>

	פתרון: <math>A-(B\cap C)=A\cap (B\cap C)^c=A\cap (B^c\cup C^c)=(A\cap B^c)\cup (A\cap C^c)=(A-B)\cup (A-C)</math>		=====פתרון=====
			<math>A-(B\cap C)=A\cap (B\cap C)^c=A\cap (B^c\cup C^c)=(A\cap B^c)\cup (A\cap C^c)=(A-B)\cup (A-C)</math>


			===קבוצת החזקה===
	'''הגדרה''': תהי קבוצה A. נגדיר את '''קבוצת החזקה''' של A בתור אוסף כל תתי הקבוצות של A. מסומן <math>P(A)=\{X:X\subseteq A\}</math>		'''הגדרה''': תהי קבוצה A. נגדיר את '''קבוצת החזקה''' של A בתור אוסף כל תתי הקבוצות של A. מסומן <math>P(A)=\{X:X\subseteq A\}</math>

שורה 253:		שורה 255:
	האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה?		האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה?

	===תרגיל ממבחן===		====תרגיל ממבחן====
	יהיו A,B,C קבוצות. הוכיחו/הפריכו:		יהיו A,B,C קבוצות. הוכיחו/הפריכו:

שורה 263:		שורה 265:


	====פתרון====		=====פתרון=====
	א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור שA איננה מוכלת בחיתוך של B וC אבל <math>(A/B)\cap(A/C)=\{2\}\cap\{1\}=\phi</math>		א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור שA איננה מוכלת בחיתוך של B וC אבל <math>(A/B)\cap(A/C)=\{2\}\cap\{1\}=\phi</math>

אריאל: /* תרגיל */

2017-08-09T07:56:46Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:56, 9 באוגוסט 2017
שורה 162:		שורה 162:
	<math>\bigcap _{i\in \mathbb{N}} A_i = \phi </math>		<math>\bigcap _{i\in \mathbb{N}} A_i = \phi </math>

	===תרגיל===		====תרגיל====
	נתון <math>A=\{\phi\}</math> ונתון <math>B=\{\phi,\{\phi\}\}</math>. סמן את הביטויים הנכונים:		נתון <math>A=\{\phi\}</math> ונתון <math>B=\{\phi,\{\phi\}\}</math>. סמן את הביטויים הנכונים:
	#<math>\phi\subseteq B</math> (כן)		#<math>\phi\subseteq B</math> (כן)

אריאל: /* משלים */

2017-08-09T07:55:49Z

משלים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:55, 9 באוגוסט 2017
שורה 228:		שורה 228:
	*<math>(A\cap B)^c = A^c \cup B^c</math>		*<math>(A\cap B)^c = A^c \cup B^c</math>
	*<math>(A\cup B)^c = A^c \cap B^c</math>		*<math>(A\cup B)^c = A^c \cap B^c</math>

	הערה: באופן כללי מתקיים		הערה: באופן כללי מתקיים
	* <math>(\cap _{i\in I} A_i)^c = \cup _{i\in I} A_{i}^c </math>
	* <math>(\cup _{i\in I} A_i)^c = \cap _{i\in I} A_{i}^c </math>

	הוכחה: <math>x\in (\cap _{i\in I} A_i)^c \iff x\in U \land \exists i\in I:x\notin A_i \iff \exists i\in I: x\in A_i^c \iff x\in \cup_{i\in I}A_i^c</math>		א. <math>(\cap _{i\in I} A_i)^c = \cup _{i\in I} A_{i}^c </math>

			ב. <math>(\cup _{i\in I} A_i)^c = \cap _{i\in I} A_{i}^c </math>

			הוכחה לסעיף א:

			<math>x\in (\cap _{i\in I} A_i)^c \iff x\in U \land \exists i\in I:x\notin A_i \iff \exists i\in I: x\in A_i^c \iff x\in \cup_{i\in I}A_i^c</math>

			=====תרגיל=====
			הוכיחו: <math>A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)</math>

			פתרון: <math>A-(B\cap C)=A\cap (B\cap C)^c=A\cap (B^c\cup C^c)=(A\cap B^c)\cup (A\cap C^c)=(A-B)\cup (A-C)</math>

אריאל: /* משלים */

2017-08-09T07:46:25Z

משלים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:46, 9 באוגוסט 2017
שורה 232:		שורה 232:
	* <math>(\cup _{i\in I} A_i)^c = \cap _{i\in I} A_{i}^c </math>		* <math>(\cup _{i\in I} A_i)^c = \cap _{i\in I} A_{i}^c </math>

	הוכחה: <math>x\in (\cap _{i\in I} A_i)^c \iff </math>		הוכחה: <math>x\in (\cap _{i\in I} A_i)^c \iff x\in U \land \exists i\in I:x\notin A_i \iff \exists i\in I: x\in A_i^c \iff x\in \cup_{i\in I}A_i^c</math>

אריאל: /* משלים */

2017-08-09T07:43:14Z

משלים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:43, 9 באוגוסט 2017
שורה 215:		שורה 215:
	==== משלים ====		==== משלים ====

	'''הגדרה''': תהי קבוצה U~~, ונביט בתת~~ קבוצה שלה A. ~~ניתן להגדיר~~ את ה'''משלים''' של A ~~כאוסף האיברים בU שאינם בA~~ (~~כלומר ההפרש~~ <math>U~~\setminus A~~</math>~~), מסומן~~ <math>A^c</math>. לא ניתן לדבר על משלים אוניברסאלי ללא U מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).		'''הגדרה''': תהי קבוצה U (אוניברסלית) ותהי תת קבוצה שלה <math>A\subseteq U</math>. נגדיר את ה'''משלים''' של A (ביחס ל <math>U</math> להיות:

			<math>A^c=\bar{A}=U-A={x\in U\|x\notin A}</math>

	תכונות בסיסיות:		תכונות בסיסיות:
שורה 229:		שורה 231:
	* <math>(\cap _{i\in I} A_i)^c = \cup _{i\in I} A_{i}^c </math>		* <math>(\cap _{i\in I} A_i)^c = \cup _{i\in I} A_{i}^c </math>
	* <math>(\cup _{i\in I} A_i)^c = \cap _{i\in I} A_{i}^c </math>		* <math>(\cup _{i\in I} A_i)^c = \cap _{i\in I} A_{i}^c </math>

			הוכחה: <math>x\in (\cap _{i\in I} A_i)^c \iff </math>

אריאל: /* פתרון */

2017-08-09T07:35:29Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:35, 9 באוגוסט 2017
שורה 140:		שורה 140:
	א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a : a\in \phi \Rightarrow a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.		א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a : a\in \phi \Rightarrow a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.

	ב. <math>\phi \cap A = \{x:x\in \phi \and x\in A\}\subseteq \{x:x\in \phi \}=\phi </math>		ב. <math>\phi \cap A = \{x:x\in \phi \and x\in A\}\subseteq \{x:x\in \phi \}=\phi </math> כעזרת א קיבלנו הכלה בשני הכיוונים ולכן שיוויון.

	ג. <math>\phi \cup A = \{x:x\in \phi \or x\in A\}= \{x:x\in A \}=A </math> כי <math>F\lor p\equiv p</math>.		ג. <math>\phi \cup A = \{x:x\in \phi \or x\in A\}= \{x:x\in A \}=A </math> כי <math>F\lor p\equiv p</math>.

אריאל: /* תרגיל */

2017-08-09T07:34:30Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:34, 9 באוגוסט 2017
שורה 138:		שורה 138:

	====פתרון====		====פתרון====
	א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a\in\phi : a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.		א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a : a\in \phi \Rightarrow a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.
	הערה: שימו לב שעל מנת להוכיח שקבוצה A אינה מוכלת בקבוצה B, יש להראות כי '''קיים''' איבר בA שאינו שייך לB. אם היינו משתמשים בפסוק "כל האיברים בA אינם בB" היינו מקבלים שהקבוצה הריקה לא מוכלת בכל קבוצה, וגם אינה מוכלת בכל קבוצה.

	ב. <math>\phi \cap A = \{x:x\in \phi \and x\in A\}\subseteq \{x:x\in \phi \}=\phi </math>		ב. <math>\phi \cap A = \{x:x\in \phi \and x\in A\}\subseteq \{x:x\in \phi \}=\phi </math>

	ג. <math>\phi \cup A = \{x:x\in \phi \or x\in A\}= \{x:x\in A \}=A </math>		ג. <math>\phi \cup A = \{x:x\in \phi \or x\in A\}= \{x:x\in A \}=A </math> כי <math>F\lor p\equiv p</math>.

	===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===		===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===

אריאל: /* תרגיל */

2017-08-09T07:30:45Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:30, 9 באוגוסט 2017
שורה 123:		שורה 123:

	===תרגיל===		===תרגיל===
	~~הוכח כי~~ <math>(A\~~cap~~ B)\~~cup~~ C = (A\~~cup C~~)\~~cap (B\cup~~ C)</math>~~. במילים: האיברים שהם (גם בA וגם בB) או בC הם בדיוק האיברים ב(A או C) וגם ב(B או C)~~		נוכיח שההפרש הסימטרי הוא קיבוצי, כלומר: לכל שלש קבוצות <math>A,B,C</math> מתקיים : <math>A\triangle (B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C</math>

	====פתרון====		====פתרון====
	~~נראה שקילות בין התנאים של איבר להיות באחת הקבוצות.~~

	~~<math>x\in (A\cap B)\cup C \iff [x\in (A\cap B)] \or [x\in C] \iff [x\in A \and x\in B] \or [x\in C]</math>~~		אפשרי ע"י טבלת אמת הנקראת טבלת שכיחויות.

	~~כעת, מתוך הטאוטולוגיה <math>(p\and q)\or r \iff (p\or r)\and(q\or r)</math> קל להשיג את השקילות למה שצריך~~.
	~~(הערה: ניתן להשתכנע בקלות בטאוטולוגיה באופן הבא: אם r=1 אזי נשאר עם הטאוטולוגיה~~
	~~<math>1\iff 1</math> אם r=0 אזי נשאר עם הטאוטולוגיה~~
	~~<math>(p\land q)\iff (p)\land (q)</math>)~~

	===תרגיל===		===תרגיל===