תרגול 2 תשעז - היסטוריית גרסאות

Harel530: /* תרגיל */

2019-03-19T16:50:08Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:50, 19 במרץ 2019
שורה 47:		שורה 47:

	לפי ההגדרה, אם <math>x</math> הוא דו־ריבועי, אז קיימים <math>a,b</math> כך ש-<math>x=a^2+b^2</math>, ובאופן דומה אם <math>y</math> דו־ריבועי, אז קיימים <math>c,d</math> כך ש-<math>y=c^2+d^2</math>. כדי להוכיח ש-<math>xy</math> הוא גם דו־ריבועי, יש להראות שקיימים <math>e,f</math> כך ש-<math>xy=e^2+f^2</math>. נעזר בזהות <math>(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>. לכן קיבלנו <math>xy = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>, ומכאן שנוכל לבחור את <math>e,f</math> הדרושים לנו להיות <math>e=ac-bd</math>, <math>f=ad+bc</math>.		לפי ההגדרה, אם <math>x</math> הוא דו־ריבועי, אז קיימים <math>a,b</math> כך ש-<math>x=a^2+b^2</math>, ובאופן דומה אם <math>y</math> דו־ריבועי, אז קיימים <math>c,d</math> כך ש-<math>y=c^2+d^2</math>. כדי להוכיח ש-<math>xy</math> הוא גם דו־ריבועי, יש להראות שקיימים <math>e,f</math> כך ש-<math>xy=e^2+f^2</math>. נעזר בזהות <math>(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>. לכן קיבלנו <math>xy = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>, ומכאן שנוכל לבחור את <math>e,f</math> הדרושים לנו להיות <math>e=ac-bd</math>, <math>f=ad+bc</math>.

	~~<math>\forall x:(P(x) \land Q(x)) \rightarrow P(x)</math>~~

	==שלילת פסוקים==		==שלילת פסוקים==

Harel530: /* תרגיל */

2019-03-19T16:48:50Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:48, 19 במרץ 2019
שורה 47:		שורה 47:

	לפי ההגדרה, אם <math>x</math> הוא דו־ריבועי, אז קיימים <math>a,b</math> כך ש-<math>x=a^2+b^2</math>, ובאופן דומה אם <math>y</math> דו־ריבועי, אז קיימים <math>c,d</math> כך ש-<math>y=c^2+d^2</math>. כדי להוכיח ש-<math>xy</math> הוא גם דו־ריבועי, יש להראות שקיימים <math>e,f</math> כך ש-<math>xy=e^2+f^2</math>. נעזר בזהות <math>(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>. לכן קיבלנו <math>xy = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>, ומכאן שנוכל לבחור את <math>e,f</math> הדרושים לנו להיות <math>e=ac-bd</math>, <math>f=ad+bc</math>.		לפי ההגדרה, אם <math>x</math> הוא דו־ריבועי, אז קיימים <math>a,b</math> כך ש-<math>x=a^2+b^2</math>, ובאופן דומה אם <math>y</math> דו־ריבועי, אז קיימים <math>c,d</math> כך ש-<math>y=c^2+d^2</math>. כדי להוכיח ש-<math>xy</math> הוא גם דו־ריבועי, יש להראות שקיימים <math>e,f</math> כך ש-<math>xy=e^2+f^2</math>. נעזר בזהות <math>(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>. לכן קיבלנו <math>xy = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>, ומכאן שנוכל לבחור את <math>e,f</math> הדרושים לנו להיות <math>e=ac-bd</math>, <math>f=ad+bc</math>.

			<math>\forall x:(P(x) \land Q(x)) \rightarrow P(x)</math>

	==שלילת פסוקים==		==שלילת פסוקים==

אריאל: /* תרגיל */

2018-03-20T12:29:01Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:29, 20 במרץ 2018
שורה 80:		שורה 80:
	א. הפרכה. ניקח את <math>P(n)</math> להיות <math>1</math> על הזוגיים ו-<math>0</math> על אי-זוגיים, ו-<math>Q(n)</math> להפך. אכן כל מספר טבעי הוא זוגי או אי-זוגי, אך זה לא נכון שכל מספר הוא זוגי או שכל מספר הוא אי-זוגי.		א. הפרכה. ניקח את <math>P(n)</math> להיות <math>1</math> על הזוגיים ו-<math>0</math> על אי-זוגיים, ו-<math>Q(n)</math> להפך. אכן כל מספר טבעי הוא זוגי או אי-זוגי, אך זה לא נכון שכל מספר הוא זוגי או שכל מספר הוא אי-זוגי.

	ב. הוכחה: יהי <math>n</math> לפי ~~הנתון~~ מתקיים <math>P(n) \lor Q(n)</math> כדרוש.		ב. הוכחה: יהי <math>n</math>. אם מתקיים <math>P(n)</math> אז בפרט מתקיים <math>P(n) \lor Q(n)</math> כדרוש. אחרת, לפי השקילות <math>a\lor b \equiv \lnot a \rightarrow b</math>, מתקיים שלכל מס' טבעי, ובפרט עבור <math>n</math>, מתקיים <math>Q(n)</math>, ולכן מתקיים <math>P(n) \lor Q(n)</math> כדרוש.

	====תרגיל====		====תרגיל====

אריאל: /* תרגיל */

2017-11-04T18:29:52Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:29, 4 בנובמבר 2017
שורה 64:		שורה 64:
	פיתרון: ראשית נראה מה הטענה בעצם אומרת:		פיתרון: ראשית נראה מה הטענה בעצם אומרת:

	<math>\exists a\in \mathbb{N} \forall b\in \mathbb{N} (a\|b \land (a~~\geq~~ b \lor a+b\geq a\cdot b))</math>		<math>\exists a\in \mathbb{N} \forall b\in \mathbb{N} (a\|b \land (a>b \lor a+b\geq a\cdot b))</math>

	שימו לב שנעזרו בשקילות <math>\ (A\rightarrow B) \equiv ((\neg A) \lor B)</math> ובחוקי דה-מורגן. כעת נשים לב שאם <math>a\|b</math> אז <math>a\leq b</math> ולכן כדי שזה יהיה נכון צריך שיתקיים <math>a+b\geq a\cdot b</math> וזה אכן קורה עבור <math>a=1</math>.		שימו לב שנעזרו בשקילות <math>\ (A\rightarrow B) \equiv ((\neg A) \lor B)</math> ובחוקי דה-מורגן. כעת נשים לב שאם <math>a\|b</math> אז <math>a\leq b</math> ולכן כדי שזה יהיה נכון צריך שיתקיים <math>a+b\geq a\cdot b</math> וזה אכן קורה עבור <math>a=1</math>.

אריאל: /* תרגיל */

2017-11-04T18:29:07Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:29, 4 בנובמבר 2017
שורה 58:		שורה 58:

	====תרגיל====		====תרגיל====
	~~כתבו פסוק השקול לפסוק הבא ללא שימוש בקשר השלילה.~~		הוכיחו או הפריכו:

	<math>\lnot (\forall a\in \mathbb{Z} \exists b\in \mathbb{N} (a\|b\rightarrow (a<b\land a+b\~~neq 0~~)))</math>		<math>\lnot (\forall a\in \mathbb{N} \exists b\in \mathbb{N} (a\|b\rightarrow (a\leq b\land a+b<a\cdot b)))</math>

	פיתרון:		פיתרון: ראשית נראה מה הטענה בעצם אומרת:

	<math>\exists a\in \mathbb{Z} \forall b\in \mathbb{N} (a\|b \land (a\geq b \lor a+b=0))</math>		<math>\exists a\in \mathbb{N} \forall b\in \mathbb{N} (a\|b \land (a\geq b \lor a+b\geq a\cdot b))</math>

	שימו לב שנעזרו בשקילות <math>\ (A\rightarrow B) \equiv ((\neg A) \lor B)</math> ובחוקי דה-מורגן.		שימו לב שנעזרו בשקילות <math>\ (A\rightarrow B) \equiv ((\neg A) \lor B)</math> ובחוקי דה-מורגן. כעת נשים לב שאם <math>a\|b</math> אז <math>a\leq b</math> ולכן כדי שזה יהיה נכון צריך שיתקיים <math>a+b\geq a\cdot b</math> וזה אכן קורה עבור <math>a=1</math>.

	====תרגיל====		====תרגיל====

Mathzeta2: /* פרדיקטים */

2017-10-28T00:01:52Z

פרדיקטים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:01, 28 באוקטובר 2017
שורה 5:		שורה 5:
	===פרדיקטים===		===פרדיקטים===

	בלוגיקה מתמטית, '''פרדיקט''' הוא פונקציה המקבלת משתנה או כמה משתנים, ומחזירה ערך אמת (T או F). זוהי הכללה של האטומים שפגשנו בתרגול הקודם, שאינם אלא ~~פרידקטים~~ ללא משתנים. לדוגמה ניתן להגדיר את הפרדיקט <math>S(x)</math> להיות "<math>x</math> הינו סטודנט באוניברסיטה".		בלוגיקה מתמטית, '''פרדיקט''' הוא פונקציה המקבלת משתנה או כמה משתנים, ומחזירה ערך אמת (T או F). זוהי הכללה של האטומים שפגשנו בתרגול הקודם, שאינם אלא פרדיקטים ללא משתנים. לדוגמה ניתן להגדיר את הפרדיקט <math>S(x)</math> להיות "<math>x</math> הינו סטודנט באוניברסיטה".

	גם אטומים וגם פרדיקטים יכולים להיות אמיתיים (מסמנים 1 או T) או שקריים (מסמנים 0 או F). המינוח המקובל הוא שאטום/פרדיקט הוא בעל '''ערך אמת''' T (במידה שהוא נכון) או בעל '''ערך אמת''' F (במידה שאינו נכון).		גם אטומים וגם פרדיקטים יכולים להיות אמיתיים (מסמנים 1 או T) או שקריים (מסמנים 0 או F). המינוח המקובל הוא שאטום/פרדיקט הוא בעל '''ערך אמת''' T (במידה שהוא נכון) או בעל '''ערך אמת''' F (במידה שאינו נכון).

Mathzeta2: /* כמתים */

2017-10-27T23:58:40Z

כמתים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:58, 27 באוקטובר 2017
שורה 20:		שורה 20:
	לעומתה הטענה השניה טוענת שניתן למצוא סטודנט אחד (לפחות) שהוא חרוץ (אם רוצים להוכיח את הטענה צריך למצוא סטודנט שהוא חרוץ ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם אינם חרוצים).		לעומתה הטענה השניה טוענת שניתן למצוא סטודנט אחד (לפחות) שהוא חרוץ (אם רוצים להוכיח את הטענה צריך למצוא סטודנט שהוא חרוץ ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם אינם חרוצים).

	~~'''~~תרגיל~~:'''~~ הצרן: לכל מספר p גדול מ-1: (p ראשוני) אמ"מ (אם הוא מחלק מכפלת מספרים אז הוא מחלק את אחד המספרים).		====תרגיל====
			הצרן: לכל מספר p גדול מ-1: (p ראשוני) אמ"מ (אם הוא מחלק מכפלת מספרים אז הוא מחלק את אחד המספרים).

	פתרון:		פתרון:
שורה 26:		שורה 27:
	* <math>P(x)</math> הוא הפרדיקט "<math>x</math> הוא ראשוני".		* <math>P(x)</math> הוא הפרדיקט "<math>x</math> הוא ראשוני".
	* <math>Q(x)</math> הוא הפרדיקט <math>\forall a,b : p\|ab \Rightarrow (p\|a \lor p\|b)</math>		* <math>Q(x)</math> הוא הפרדיקט <math>\forall a,b : p\|ab \Rightarrow (p\|a \lor p\|b)</math>

	הערה: שמות המשתנים אינם חשובים למשל עבור הפרדיקט <math>S(x,y)</math> המוגדר <math>x\leq y</math> הפסוק <math>\forall x\forall y S(x,y)</math> הוא זהה לפסוק <math>\forall t\forall s S(t,s)</math>.

	הערה: סדר הכמתים כן משנה (לפעמים) למשל <math>\exist x\forall y S(x,y)</math> לא שקול לפסוק <math>\forall y \exist x S(x,y)</math>.		הערה: סדר הכמתים כן משנה (לפעמים) למשל <math>\exist x\forall y S(x,y)</math> לא שקול לפסוק <math>\forall y \exist x S(x,y)</math>.
שורה 38:		שורה 37:

	'''סימון:''' נעיר שיש דרכים רבות לכתוב פסוקים כגון אלו. מקובל למשל <math>\forall x P(x)</math>, <math>(\forall x)P(x)</math> או <math>\forall x, P(x)</math>. כל הסגנונות חוקיים, בתנאי שהפסוק ניתן לקריאה באופן חד-משמעי.		'''סימון:''' נעיר שיש דרכים רבות לכתוב פסוקים כגון אלו. מקובל למשל <math>\forall x P(x)</math>, <math>(\forall x)P(x)</math> או <math>\forall x, P(x)</math>. כל הסגנונות חוקיים, בתנאי שהפסוק ניתן לקריאה באופן חד-משמעי.

			הערה: לכל כמת יש אזור תחולה. בתוך אזור תחולה שמות המשתנים אינם חשובים. למשל עבור הפרדיקט <math>S(x,y)</math> המוגדר <math>x\leq y</math> הפסוק <math>\forall x\forall y S(x,y)</math> הוא זהה לפסוק <math>\forall t\forall s S(t,s)</math>.

			====תרגיל====

			שימו לב שגם למשתנים בהגדרות יש אזור תחולה. צריך לשים לב לא להתבלבל באזורים האלו, וכדי למנוע "התנגשויות" בשמות, פשוט נחליף אותם. למשל נגדיר מספר <math>x</math> להיות '''דו־ריבועי''' אם קיימים <math>y,z</math> כך ש-<math>x=y^2+z^2</math>. הוכיחו שלכל זוג מספרים <math>x,y</math> אם הם מספרים דו־ריבועיים, אז גם המספר <math>xy</math> הוא דו־ריבועי.

			פתרון: נגדיר את הפרדיקט <math>Q(x)</math> להיות T אם ורק אם <math>x</math> הוא מספר דו־ריבועי (הצרינו זאת!). אנו נדרשים להוכיח את הטענה <math>\forall x\forall y:(Q(x) \land Q(y)) \rightarrow Q(xy)</math>.

			לפי ההגדרה, אם <math>x</math> הוא דו־ריבועי, אז קיימים <math>a,b</math> כך ש-<math>x=a^2+b^2</math>, ובאופן דומה אם <math>y</math> דו־ריבועי, אז קיימים <math>c,d</math> כך ש-<math>y=c^2+d^2</math>. כדי להוכיח ש-<math>xy</math> הוא גם דו־ריבועי, יש להראות שקיימים <math>e,f</math> כך ש-<math>xy=e^2+f^2</math>. נעזר בזהות <math>(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>. לכן קיבלנו <math>xy = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>, ומכאן שנוכל לבחור את <math>e,f</math> הדרושים לנו להיות <math>e=ac-bd</math>, <math>f=ad+bc</math>.

	==שלילת פסוקים==		==שלילת פסוקים==

Mathzeta2: /* תרגיל */

2017-10-27T23:03:35Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:03, 27 באוקטובר 2017
שורה 74:		שורה 74:

	====תרגיל====		====תרגיל====
	הצרן את המשפט "כל מספר ממשי ניתן לקרב ע"י מספרים רציונאליים בקירוב טוב כרצוננו"		הצרן את המשפט "כל מספר ממשי ניתן לקרב ע"י מספרים רציונאליים בקירוב טוב כרצוננו".
	פתרון: <math>\forall x\in\mathbb{R}\,\exists A\subset\mathbb{Q}:\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:\|x-q\|<\epsilon</math> .
			פתרון: <math>\forall x\in\mathbb{R}\,\exists A\subset\mathbb{Q}:\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:\|x-q\|<\epsilon</math>.

	מה היא שלילתו של המשפט?		מה היא שלילתו של המשפט?
שורה 84:		שורה 85:
	* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\neg(\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:\|x-q\|<\epsilon )</math>		* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\neg(\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:\|x-q\|<\epsilon )</math>
	* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\neg(\exists q\in A\,:\|x-q\|<\epsilon )</math>		* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\neg(\exists q\in A\,:\|x-q\|<\epsilon )</math>
	* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\forall q\in A\,\neg(:\|x-q\|<\epsilon )</math>		* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\forall q\in A\,\neg(\|x-q\|<\epsilon )</math>
	*<math>\exists x\in\mathbb{R}\,\forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\forall q\in A\,:\|x-q\|\geq\epsilon</math>		*<math>\exists x\in\mathbb{R}\,\forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\forall q\in A\,:\|x-q\|\geq\epsilon</math>

	תרגילים:		תרגילים:
	דוגמאות של הצרנת ושלילת המושגים 'תלות לינארית', 'גבול סדרה', 'חח"ע', וכדומה		דוגמאות של הצרנת ושלילת המושגים 'תלות לינארית', 'גבול סדרה', 'חח"ע', וכדומה

Mathzeta2: /* תרגיל */

2017-10-27T23:00:52Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:00, 27 באוקטובר 2017
שורה 73:		שורה 73:
	ב. הוכחה: יהי <math>n</math> לפי הנתון מתקיים <math>P(n) \lor Q(n)</math> כדרוש.		ב. הוכחה: יהי <math>n</math> לפי הנתון מתקיים <math>P(n) \lor Q(n)</math> כדרוש.

	*תרגיל: הצרן את המשפט "כל מספר ממשי ניתן לקרב ע"י מספרים רציונאליים בקירוב טוב כרצוננו"		====תרגיל====
			הצרן את המשפט "כל מספר ממשי ניתן לקרב ע"י מספרים רציונאליים בקירוב טוב כרצוננו"
	פתרון: <math>\forall x\in\mathbb{R}\,\exists A\subset\mathbb{Q}:\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:\|x-q\|<\epsilon</math> .		פתרון: <math>\forall x\in\mathbb{R}\,\exists A\subset\mathbb{Q}:\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:\|x-q\|<\epsilon</math> .

Mathzeta2: /* שלילת פסוקים */

2017-10-27T23:00:04Z

שלילת פסוקים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:00, 27 באוקטובר 2017
שורה 42:		שורה 42:
	מהי השלילה של הפסוק "לכל סיר יש מכסה המתאים לו", או "לכל מאכל, יש מישהו שמכין אותו טעים"?		מהי השלילה של הפסוק "לכל סיר יש מכסה המתאים לו", או "לכל מאכל, יש מישהו שמכין אותו טעים"?

	בעת שלילה של פסוק לוגי, הכמתים 'לכל' ו'קיים' מתחלפים זה עם זה, והשלילה עוברת הלאה. ~~את השלילה~~ על הקשרים ניתן לבצע באמצעות טאוטולוגיות וטבלאות אמת.		בעת שלילה של פסוק לוגי, הכמתים 'לכל' ו'קיים' מתחלפים זה עם זה, והשלילה עוברת הלאה. כלומר לכל פרדיקט <math>P</math>,
			* <math>\ \neg \forall x: P(x) \equiv \exists x: \neg P(x)</math>, וכך גם
			* <math>\ \neg \exists x: P(x) \equiv \forall x: \neg P(x)</math>.

			שלילה על הקשרים ניתן לבצע באמצעות טאוטולוגיות וטבלאות אמת.

	====תרגיל====		====תרגיל====