תרגול 5 מדמח קיץ תשעז - היסטוריית גרסאות

אריאל: /* תרגיל (מבוחן תשעג) */

2017-08-22T09:12:13Z

תרגיל (מבוחן תשעג)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:12, 22 באוגוסט 2017
שורה 189:		שורה 189:


	האם ב <math>O</math> יש מקסימום (איבר גדול ביותר)?		נניח ש- <math>\|A\|\geq 2</math>. האם ב <math>O</math> יש מקסימום (איבר גדול ביותר)?

	תשובה: לא. נניח שקיים איבר מקס' <math>S</math>. כיוון שגם <math>R^{-1}\in O</math> יחס אזי <math>R\cup R^{-1} \subseteq S</math>. בפרט אם <math>(a,b)\in R</math> שונים (~~נניח שב~~ <math>A</math> יש 2 איברים לפחות) אזי <math>(b,a)\in R^{-1}</math> ולכן <math>(a,b),(b,a)\in S</math> בניגוד לכך ש <math>S</math> אנטי סימטרי		תשובה: לא. נניח שקיים איבר מקס' <math>S</math>. כיוון שגם <math>R^{-1}\in O</math> יחס אזי <math>R\cup R^{-1} \subseteq S</math>. בפרט אם <math>(a,b)\in R</math> שונים (כי ב <math>A</math> יש 2 איברים לפחות) אזי <math>(b,a)\in R^{-1}</math> ולכן <math>(a,b),(b,a)\in S</math> בניגוד לכך ש <math>S</math> אנטי סימטרי

אריאל: /* תרגיל (מבוחן תשעג) */

2017-08-22T09:08:18Z

תרגיל (מבוחן תשעג)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:08, 22 באוגוסט 2017
שורה 173:		שורה 173:

	=== תרגיל (מבוחן תשעג)===		=== תרגיל (מבוחן תשעג)===
	~~יהא~~ <math>A</math> קבוצה ו <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר מלא עליה. נגדיר <math>O</math>		תהא <math>A</math> קבוצה ו <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר מלא עליה. נגדיר <math>O</math>
	להיות קבוצת כל יחסי הסדר החלקיים על <math>A</math>, סדורה ע"י הכלה. (כלומר הזוג <math>(O,\subseteq)</math> - במילים אחרות, חושבים על <math>O</math> עם יחס הסדר החלקי "הכלה")		להיות קבוצת כל יחסי הסדר החלקיים על <math>A</math>, סדורה ע"י הכלה. (כלומר הזוג <math>(O,\subseteq)</math> - במילים אחרות, חושבים על <math>O</math> עם יחס הסדר החלקי "הכלה")

אריאל: /* מכפלה של יחסי סדר */

2017-08-22T09:00:03Z

מכפלה של יחסי סדר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:00, 22 באוגוסט 2017
שורה 127:		שורה 127:
	הוכחה:		הוכחה:

	1. רפקלסיביות: לכל <math>a,b</math> מתקיים כי $a\leq a, b\preceq b$ ולכן <math>(a,b)R(a,b)</math>		1. רפקלסיביות: לכל <math>a,b</math> מתקיים כי <math>a\leq a, b\preceq b</math> ולכן <math>(a,b)R(a,b)</math>

	2. אנטי סימטריות: אם <math>(a,b)R(a1,b1)</math> וגם <math>(a1,b1)R(a,b) </math> אז <math>a\leq a1, b\preceq b1</math> וגם <math>a1\leq a, b1 \preceq b</math>, כיוון שאלו יחס סדר נקבל כי <math>a=a1,b=b1</math>		2. אנטי סימטריות: אם <math>(a,b)R(a1,b1)</math> וגם <math>(a1,b1)R(a,b) </math> אז <math>a\leq a1, b\preceq b1</math> וגם <math>a1\leq a, b1 \preceq b</math>, כיוון שאלו יחס סדר נקבל כי <math>a=a1,b=b1</math>

אריאל: /* דוגמא */

2017-08-22T08:59:26Z

דוגמא

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:59, 22 באוגוסט 2017
שורה 111:		שורה 111:
	נגדיר <math>B = \{(1,x) \| x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>sup(B)=(2,1),inf(B)=(1,1)</math>		נגדיר <math>B = \{(1,x) \| x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>sup(B)=(2,1),inf(B)=(1,1)</math>

	נגדיר <math>B = \{(x,1) \| x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים.		נגדיר <math>B = \{(x,1) \| x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים ובכלל אין חסמי מלעיל.

	*שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר		*שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר

אריאל: /* דוגמא */

2017-08-21T20:23:32Z

דוגמא

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:23, 21 באוגוסט 2017
שורה 107:		שורה 107:

	==== דוגמא ====		==== דוגמא ====
	נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> אם הסדר המילוני.		נסתכל על <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> עם הסדר המילוני.

	נגדיר <math>B = \{(1,x) \| x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>sup(B)=(2,1),inf(B)=(1,1)</math>		נגדיר <math>B = \{(1,x) \| x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>sup(B)=(2,1),inf(B)=(1,1)</math>

אריאל: /* דוגמאות */

2017-08-21T20:20:04Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:20, 21 באוגוסט 2017
שורה 66:		שורה 66:
	=== דוגמאות ===		=== דוגמאות ===

	~~'''דוגמא.'''~~

	נשוב לדוגמא הקודמת. נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של B הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא 2 ולכן הוא החסם העליון של B. אין חסם מלרע ל-B ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.

	'''דוגמא.'''		'''דוגמא.'''
שורה 79:		שורה 76:

	למשל <math>sup\{12,33,10\}=lcm(12,33,10)=3\cdot 4 \cdot 11 \cdot 5, inf\{12,33,10\}=gcd(12,33,10)=1</math>		למשל <math>sup\{12,33,10\}=lcm(12,33,10)=3\cdot 4 \cdot 11 \cdot 5, inf\{12,33,10\}=gcd(12,33,10)=1</math>


	===תרגיל===		===תרגיל===

אריאל: /* דוגמא */

2017-08-21T20:19:31Z

דוגמא

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:19, 21 באוגוסט 2017
שורה 55:		שורה 55:

	הערה: <math>\left\{ 1\right\}</math> הוא גם מקסימלי יחיד שאינו גדול ביותר.		הערה: <math>\left\{ 1\right\}</math> הוא גם מקסימלי יחיד שאינו גדול ביותר.


	~~===דוגמא===~~
	~~נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5\}</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:~~

	~~<math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}</math>~~

	~~(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)~~

	*5,3,1 הינם איברים מינימליים שכן אין איבר שקטן מאף אחד מהם. הם אינם מינימום כי אף אחד מהם לא קטן מכל האיברים האחרים.
	*4 הינו מקסימום של הקבוצה, הוא בוודאי מקסימלי
	*2 קטן מחלק מהאיברים וגדול מאחרים לכן הוא כלום.

אריאל: /* יחסי סדר */

2017-08-21T20:17:11Z

יחסי סדר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:17, 21 באוגוסט 2017
שורה 12:		שורה 12:
	*היחס 'מוכל-שווה' על הקבוצות		*היחס 'מוכל-שווה' על הקבוצות
	*היחס 'מחלק את ' על הטבעיים		*היחס 'מחלק את ' על הטבעיים

			נוכיח ש"מחלק את" על הטבעיים הינו יחס סדר חלקי:

			רפלקסיבי: כל מספר מחלק את עצמו.

			טרנזיטיבי: אם <math>a\|b\land b\|c</math> זאת אומרת ש-<math>b=ak\land c=bm</math> ולכן <math>c=a(km)</math> מה שאומר ש-<math>a\|c</math>.

			אנטי סימטרי: אם <math>a\|b\land b\|a</math> זאת אומרת ש- <math>a=bk\land b=am</math> ולכן <math>a=a(mk)</math>, כיון ש-<math>m,k\in \mathbb{N}</math> נקבל <math>m=k=1</math> מה שאומר ש-<math>a=b</math>.

			'''הערה:''' היחס "מחלק את" על השלמים איננו יחס סדר חלקי, כיון שמתקיים, למשל, ש- <math>-2\|2\land 2\|-2\land 2\neq -2</math>.



	'''הגדרה.''' דיאגרמת הסה Hesse הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר המקושר לאיבר מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס. נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה <math>A=\{1,2,3\}</math>.		'''הגדרה.''' דיאגרמת הסה Hesse הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר המקושר לאיבר מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס. נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה <math>A=\{1,2,3\}</math>.
שורה 80:		שורה 92:
	למשל <math>sup\{12,33,10\}=lcm(12,33,10)=3\cdot 4 \cdot 11 \cdot 5, inf\{12,33,10\}=gcd(12,33,10)=1</math>		למשל <math>sup\{12,33,10\}=lcm(12,33,10)=3\cdot 4 \cdot 11 \cdot 5, inf\{12,33,10\}=gcd(12,33,10)=1</math>

	~~'''הערה:''' היחס "מחלק את" על השלמים איננו יחס סדר חלקי, כיון שמתקיים, למשל, ש- <math>-2\|2\land 2\|-2\land 2\neq -2</math>.~~

	===תרגיל===		===תרגיל===

אריאל: /* תרגיל */

2017-08-20T10:33:13Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:33, 20 באוגוסט 2017
שורה 85:		שורה 85:
	הוכיחו: אם <math>x</math> חסם מלרע של <math>B</math> וגם <math>x\in B</math> אזי <math>inf(B)=x</math> (וגם ב B יש איבר קטן ביותר		הוכיחו: אם <math>x</math> חסם מלרע של <math>B</math> וגם <math>x\in B</math> אזי <math>inf(B)=x</math> (וגם ב B יש איבר קטן ביותר
	שהוא x).		שהוא x).


	====פתרון====		====פתרון====

אריאל: /* דוגמאות */

2017-08-20T10:32:34Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:32, 20 באוגוסט 2017
שורה 81:		שורה 81:

	'''הערה:''' היחס "מחלק את" על השלמים איננו יחס סדר חלקי, כיון שמתקיים, למשל, ש- <math>-2\|2\land 2\|-2\land 2\neq -2</math>.		'''הערה:''' היחס "מחלק את" על השלמים איננו יחס סדר חלקי, כיון שמתקיים, למשל, ש- <math>-2\|2\land 2\|-2\land 2\neq -2</math>.

	~~'''דוגמא'''~~
	~~עבור <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות. החסם העליון שלה הוא (ביחס להכלה) הוא~~
	~~<math>\cup _{i\in I} A_i </math>~~

	===תרגיל===		===תרגיל===