תרגול 6 תשעז - היסטוריית גרסאות

אחיה בר-און: /* פתרון */

2019-07-09T19:17:35Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:17, 9 ביולי 2019
שורה 24:		שורה 24:
	הוכיחו כי <math>A \triangle B = A^c \triangle B^c</math>.		הוכיחו כי <math>A \triangle B = A^c \triangle B^c</math>.

	===פתרון===		====פתרון====

	נשתמש בהצגת ההפרש הסימטרי כאיחוד ההפרשים:		נשתמש בהצגת ההפרש הסימטרי כאיחוד ההפרשים:

ליאל221: /* פתרון */

2019-02-07T02:30:45Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־02:30, 7 בפברואר 2019
שורה 62:		שורה 62:

	====פתרון====		====פתרון====
	ניקח <math>A=\{1,\{\{1\}\}\}</math>.		הפרכה : ניקח <math>A=\{1,\{\{1\}\}\}</math>.

	===תרגיל===		===תרגיל===

אריאל: /* קבוצת החזקה */

2017-11-26T08:23:52Z

קבוצת החזקה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:23, 26 בנובמבר 2017
שורה 56:		שורה 56:
	'''הגדרה''': תהי קבוצה <math>A</math>. נגדיר את '''קבוצת החזקה''' של <math>A</math> בתור אוסף כל תת הקבוצות של <math>A</math>. נסמן <math>P(A)=\{X:X\subseteq A\}</math>.		'''הגדרה''': תהי קבוצה <math>A</math>. נגדיר את '''קבוצת החזקה''' של <math>A</math> בתור אוסף כל תת הקבוצות של <math>A</math>. נסמן <math>P(A)=\{X:X\subseteq A\}</math>.

	~~דוגמה: נבחר <math>A=\{1,2\}</math> אזי~~		האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
	~~<math>P(A)=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}</math>~~.

	~~האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה?~~ הוכיחו ~~זאת באינדוקציה~~.		===תרגיל===
			הוכיחו או הפריכו: <math>A\cap P(P(A))=\varnothing</math>.

			====פתרון====
			ניקח <math>A=\{1,\{\{1\}\}\}</math>.

	===תרגיל===		===תרגיל===

Mathzeta2: /* תרגיל */

2017-11-25T19:31:02Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:31, 25 בנובמבר 2017
שורה 38:		שורה 38:
	לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>A_n=\{k\in \mathbb{N}\|2\leq k\leq 2n-1\}</math> ונגדיר <math>B_n=A_{n+1}\smallsetminus A_n</math>.		לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>A_n=\{k\in \mathbb{N}\|2\leq k\leq 2n-1\}</math> ונגדיר <math>B_n=A_{n+1}\smallsetminus A_n</math>.

	א. מצאו את <math>\~~cup_~~{n\in \mathbb{N}} B_n</math>		א. מצאו את <math>\bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>.

	ב. נגדיר <math>D_n=\mathbb{N}\smallsetminus B_n</math>. מצאו את <math>\~~cap_~~{n\in \mathbb{N}} D_n</math>.		ב. נגדיר <math>D_n=\mathbb{N}\smallsetminus B_n</math>. מצאו את <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} D_n</math>.

	====פתרון====		====פתרון====
שורה 46:		שורה 46:
	א. התשובה: <math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math>. הוכחה:		א. התשובה: <math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math>. הוכחה:

	<math>\~~cup_~~{n\in \mathbb{N}} B_n \subseteq \mathbb{N}\smallsetminus \{1\} </math>: הכל ~~מהטבעיים~~ וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-<math>2</math>.		<math>\bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n \subseteq \mathbb{N}\smallsetminus \{1\} </math>: הכל תת קבוצות של הטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-<math>2</math>.

	<math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\} \subseteq \~~cup_~~{n\in \mathbb{N}} B_n</math>: יהי <math>a\in \mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math> נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-<math>B_n=\{2\leq k\leq 2n+1\}\smallsetminus \{2\leq k\leq 2n-1\}=\{2n,2n+1\}</math>. לכן אם <math>a</math> זוגי הוא נמצא ב- <math>B_{\frac{n}{2}}</math> ואם אי-זוגי אז <math>a\in B_{\frac{n-1}{2}}</math>.		<math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\} \subseteq \bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>: יהי <math>a\in \mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math> נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-<math>B_n=\{2\leq k\leq 2n+1\}\smallsetminus \{2\leq k\leq 2n-1\}=\{2n,2n+1\}</math>. לכן אם <math>a</math> זוגי הוא נמצא ב- <math>B_{\frac{n}{2}}</math> ואם אי-זוגי אז <math>a\in B_{\frac{n-1}{2}}</math>.

	ב. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\~~cap_~~{n\in \mathbb{N}} D_n=\~~cap_~~{n\in \mathbb{N}} B_n^c=(\~~cup_~~{n\in \mathbb{N}} B_n)^c=\{1\}</math>.		ב. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} D_n=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n)^c=\{1\}</math>.

	==קבוצת החזקה==		==קבוצת החזקה==

Mathzeta2: /* פתרון */

2017-11-25T19:28:26Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:28, 25 בנובמבר 2017
שורה 70:		שורה 70:
	====פתרון====		====פתרון====

	א. הוכחה: <math>X\in P(A)\cap P(B) \iff X\subseteq A\land X\subseteq B\iff ~~X\subseteq A\cap B\iff X\in P(A\cap B)~~</math>.		א. הוכחה: <math>X\in P(A)\cap P(B) \iff X\subseteq A\land X\subseteq B\iff</math>

	ב. הפרכה: ניקח <math>A=\{1\},B=\{2\}</math>.		<math>X\subseteq A\cap B\iff X\in P(A\cap B)</math>

			ב. הפרכה: ניקח <math>A=\{1\},B=\{2\}</math>. אז <math>\{1,2\} \in P(A\cup B)</math>, אבל לא ל-<math>P(A)\cup P(B)</math>.

			למעשה הוכיחו כי <math>P(A)\cup P(B)=P(A\cup B)</math> אם ורק אם <math>A\subseteq B</math> או <math>B\subseteq A</math>.

	===תרגיל ממבחן===		===תרגיל ממבחן===

אריאל: /* פתרון */

2017-11-25T19:09:24Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:09, 25 בנובמבר 2017
שורה 48:		שורה 48:
	<math>\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n \subseteq \mathbb{N}\smallsetminus \{1\} </math>: הכל מהטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-<math>2</math>.		<math>\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n \subseteq \mathbb{N}\smallsetminus \{1\} </math>: הכל מהטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-<math>2</math>.

	<math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\} \subseteq \cup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>: יהי <math>a\in \mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math> נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-<math>B_n=\{2n,2n+1\}</math>. לכן אם <math>a</math> זוגי הוא נמצא ב- <math>B_{\frac{n}{2}}</math> ואם אי-זוגי אז <math>a\in B_{\frac{n-1}{2}}</math>.		<math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\} \subseteq \cup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>: יהי <math>a\in \mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math> נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-<math>B_n=\{2\leq k\leq 2n+1\}\smallsetminus \{2\leq k\leq 2n-1\}=\{2n,2n+1\}</math>. לכן אם <math>a</math> זוגי הוא נמצא ב- <math>B_{\frac{n}{2}}</math> ואם אי-זוגי אז <math>a\in B_{\frac{n-1}{2}}</math>.

	ב. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\cap_{n\in \mathbb{N}} D_n=\cap_{n\in \mathbb{N}} B_n^c=(\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n)^c=\{1\}</math>.		ב. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\cap_{n\in \mathbb{N}} D_n=\cap_{n\in \mathbb{N}} B_n^c=(\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n)^c=\{1\}</math>.

אריאל: /* פתרון */

2017-11-25T19:07:18Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:07, 25 בנובמבר 2017
שורה 48:		שורה 48:
	<math>\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n \subseteq \mathbb{N}\smallsetminus \{1\} </math>: הכל מהטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-<math>2</math>.		<math>\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n \subseteq \mathbb{N}\smallsetminus \{1\} </math>: הכל מהטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-<math>2</math>.

	<math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\} \subseteq \cup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>: יהי <math>a\in \mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math> נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-<math>B_n=\{2n,2n+1\}</math>. לכן אם <math>a</math> זוגי הוא נמצא ב- <math>B_{\frac{n}{2}</math> ואם אי-זוגי אז <math>a\in B_{\frac{n-1}{2}</math>.		<math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\} \subseteq \cup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>: יהי <math>a\in \mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math> נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-<math>B_n=\{2n,2n+1\}</math>. לכן אם <math>a</math> זוגי הוא נמצא ב- <math>B_{\frac{n}{2}}</math> ואם אי-זוגי אז <math>a\in B_{\frac{n-1}{2}}</math>.

	ב. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\cap_{n\in \mathbb{N}} D_n=\cap_{n\in \mathbb{N}} B_n^c=(\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n)^c=\{1\}</math>.		ב. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\cap_{n\in \mathbb{N}} D_n=\cap_{n\in \mathbb{N}} B_n^c=(\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n)^c=\{1\}</math>.

אריאל: /* תרגיל */

2017-11-25T19:06:23Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:06, 25 בנובמבר 2017
שורה 39:		שורה 39:

	א. מצאו את <math>\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>		א. מצאו את <math>\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>

			ב. נגדיר <math>D_n=\mathbb{N}\smallsetminus B_n</math>. מצאו את <math>\cap_{n\in \mathbb{N}} D_n</math>.

			====פתרון====

			א. התשובה: <math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math>. הוכחה:

			<math>\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n \subseteq \mathbb{N}\smallsetminus \{1\} </math>: הכל מהטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-<math>2</math>.

			<math>\mathbb{N}\smallsetminus \{1\} \subseteq \cup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>: יהי <math>a\in \mathbb{N}\smallsetminus \{1\}</math> נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-<math>B_n=\{2n,2n+1\}</math>. לכן אם <math>a</math> זוגי הוא נמצא ב- <math>B_{\frac{n}{2}</math> ואם אי-זוגי אז <math>a\in B_{\frac{n-1}{2}</math>.

			ב. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\cap_{n\in \mathbb{N}} D_n=\cap_{n\in \mathbb{N}} B_n^c=(\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n)^c=\{1\}</math>.

	==קבוצת החזקה==		==קבוצת החזקה==

אריאל: /* תרגיל */

2017-11-25T18:46:59Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:46, 25 בנובמבר 2017
שורה 36:		שורה 36:

	===תרגיל===		===תרגיל===
	לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> נגדיר		לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>A_n=\{k\in \mathbb{N}\|2\leq k\leq 2n-1\}</math> ונגדיר <math>B_n=A_{n+1}\smallsetminus A_n</math>.

			א. מצאו את <math>\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>

	==קבוצת החזקה==		==קבוצת החזקה==

אריאל: /* המשך קבוצות */

2017-11-25T18:42:30Z

המשך קבוצות

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
 =המשך קבוצות=
 == משלים ==
@@ שורה 71: / שורה 34: @@
 <math>(x\notin B^c \land x\in A^c)\lor (x\notin A^c \land x\in B^c) \iff</math>
 <math>(x\in A^c \land x\notin B^c)\lor (x\in B^c \land x\notin A^c) \iff x\in A^c \triangle B^c</math>
 ==קבוצת החזקה==
@@ שורה 80: / שורה 46: @@
 האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
 ===תרגיל ממבחן===