Relweiz: יצירת דף עם התוכן "'''חזרה למערכי התרגול''' ==המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצו..."

2017-08-28T08:40:35Z

יצירת דף עם התוכן "'''חזרה למערכי התרגול''' ==המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצו..."

דף חדש

'''[[מערכי תרגול מדמח קיץ תשעז|חזרה למערכי התרגול]]'''

==המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצות==

===תמונות חלקיות===

'''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה החלקית של A תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f[A]=\{f(a)|a\in A\}=\{ y\in Y|\exists a\in A: f(a)=y\}</math>, ו'''התמונה החלקית ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}[B]=\{x\in X|f(x)\in B\}</math>.

שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה <math>f^{-1}[B]</math> לבין הפונקציה ההופכית <math>f^{-1}(y)</math>. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא ''איבר'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו <math>y \in Y</math>) או שנמצאת ''תת-קבוצה'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זו <math>B\subseteq Y</math>).

==== דוגמאות ====
תהא <math>D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> פונקצית דריכלה. אזי <math>D(\mathbb{Q})=\{1\},D^{-1}(\{1\})=\mathbb{Q}=D^{-1}((0.5, 18))</math>

תהא <math>f:X\to Y</math> פונקצית . אזי <math>f^{-1}(Y)=X</math>

תהא <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}</math> פונקצית הערך השלם התחתון. אזי <math>f((-0.5,3/4))=\{-1,0\},f^{-1}(\{1\})=[1,2)</math>

==== תכונות ====
# אם <math>A_1\subseteq A_2</math> אזי <math>f(A_1)\subseteq f(A_2)</math>
# אם <math>B_1\subseteq B_2</math> אזי <math>f^{-1}(B_1)\subseteq f^{-1}(B_2)</math>

'''תרגיל.'''
הוכח/הפרך: תהיינה <math>A,B \subseteq X</math> ותהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math>. אזי:

א. <math>f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)</math>.

ב. <math>f(A)\cap f(B)\supseteq f(A\cap B)</math>.

'''פתרון.'''

א. נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים <math>x\neq y </math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. ניקח <math>A=\{x\},B=\{y\}</math> אזי:

<math>f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B)</math>

ב. <math>f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)</math>

'''הערה''' אם <math>f</math> חח"ע אז יש שיוויון!

===תרגיל===
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע

'''פתרון.'''

יהא <math>a\in A</math> אזי <math>f(a)\in f(A)</math> ולכן <math>a\in f^{-1}(f(A))</math>.

נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> חח"ע:

יהא <math>x\in f^{-1}(f(A))</math> לכן <math>f(x) \in f(A)</math> לכן <math>\exists a\in A : f(x)=f(a)</math>. כיוון ש <math>f</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math>

דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math>

===תרגיל ממבחן (קצת משודרג)===

יהיו <math>X,Y</math> שתי קבוצות, ותהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה <math>g:P(Y)\rightarrow P(X)</math> על ידי <math>g(B)=f^{-1}(B)</math>.
בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח).

'''פתרון.'''

1. ''' f על אמ"מ g חח"ע '''
בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math>

בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי <math>\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y</math> לכן <math>g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\})=g(Y/\{y\})</math> בסתירה לחח"ע של g.

2. ''' f חח"ע אמ"מ g על '''
בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי <math>g(f(A))=f^{-1}(f(A))=A</math> ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה <math>f(A)</math> )

בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים <math>x,y \in X</math> שונים כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. נביט בנקודון <math>A=\{x\}</math>

כיוון ש g על קיימת <math>B\in P(Y)</math> כך ש <math>f^{-1}(B)=g(B)=A</math>

לכן <math> \{f(x)\}= f(A)= f(f^{-1}(B))\subseteq B </math>

ולכן <math>\{y,x\}\subseteq f^{-1}(\{f(x)=f(y)\})= f^{-1}(\{f(x)\}) \subseteq f^{-1}(B)=g(B)=A=\{x\}</math>

לכן <math>\{y,x\}\subseteq \{x\}</math> כלומר <math>x=y</math>. סתירה.

מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות:

* '''ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו''' (ניקח f חח"ע שאינה על אזי g אינה חח"ע לפי 1)

* '''יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו'''. (ניקח g חח"ע שאינה על אזי f אינה חח"ע לפי 2)

* '''ייתכן ו-f על אך g אינה כזו ''' (ניקח f על שאינה חח"ע אזי g אינה על לפי 2)

* '''ייתכן ו-g על אך f אינה כזו ''' (ניקח g על שאינה חח"ע אזי f אינה על לפי 1)

אתם מוזמנים לתת דוגמאות למסקנות לעיל

למשל:
יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.

===תרגיל===
תהי <math>f:X\rightarrow X</math> פונרציה. נקודת שבת של <math>f</math> היא <math>x\in X:f(x)=x</math> נגדיר <math>A=\{x\in X|f(x)=x\}</math>. הוכיחו או הפריכו:

א. <math>f[A]=A</math>.

ב. <math>f^{-1}[A]=A</math>.

ג. לכל <math>B\subseteq X</math> נקבל: <math>f[B]\subseteq B</math> אמ"ם קיים <math>b\in B</math> נקודת שבת.

====פתרון====
א. הוכחה: <math>a\in A\iff f(a)=a\iff a\in f[A]</math>.

ב. הפרכה: מספיק שיש עוד מישהו מחוץ ל-A שנלשח לA.

ג. הפרכה: <math>f:\{ 0,1\} \rightarrow \{ 0,1\}</math> המוגדרת <math>f(a)=1-a</math> מקיימת עבור הקבוצה עצמה שיוויון אך אין נק' שבת.

===פונקציה מצומצמת===

'''הגדרה.'''
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הפונקציה '''f מצומצמת לA''' מוגדרת על ידי: <math>f|_A:A\rightarrow Y</math> כך ש-<math>f|_A(a)=f(a)</math>.

'''דוגמא.'''
נביט ב-<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי <math>f(x)=x^2</math> ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת <math>f|_{\mathbb{N}}</math> כן חח"ע.

'''תרגיל.'''
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש-<math>f|_A</math> חח"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר <math>im(f|_A)=im(f)</math>).

'''פתרון.'''

נגדיר לכל <math>y\in im(f)</math> את הקבוצה של המקורות שלו <math>B_y:=f^{-1}(\{y\})</math>
כעת נבחר מכל <math>B_y</math> איבר יחיד <math>x_y\in B_y</math>. נגדיר <math>A=\{x_y | y\in Im(f)\}</math>. כיוון שבחרנו מקור '''לכל''' תמונה, ובחרנו מקור '''אחד''' אזי <math>f|_A</math> חח"ע עם אותו טווח של <math>f</math>.

'''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)

תרגול 7 מדמח קיץ תשעז - היסטוריית גרסאות

Relweiz: יצירת דף עם התוכן "'''חזרה למערכי התרגול''' ==המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצו..."