תרגילי חובה לא סטנדרטיים - היסטוריית גרסאות

Nir568: /* חשבון אינפיניטיסימלי */

2016-12-22T04:57:17Z

חשבון אינפיניטיסימלי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־04:57, 22 בדצמבר 2016
שורה 9:		שורה 9:

	'''חשבון במשתנה ממשי יחיד'''		'''חשבון במשתנה ממשי יחיד'''
	* אי-שוויון הממוצעים		* אי-שוויון הממוצעים: לכל קבוצה של מספרים ממשיים חיובים <math>\{a_1,\dots,a_n\}</math> מתקיים אי השיוויון <math>\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le\frac{\sum_{k=1}^nx_k}{n}</math>. יש שיוויון אם"ם כל האיברים שווים האחד לשני.
	* הלמה של Fekete: אם <math>a_n</math> סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-<math>\frac{a_n}{n}</math> יש גבול במובן הרחב השווה ל<math>\inf a_n</math>).		* הלמה של Fekete: אם <math>a_n</math> סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-<math>\frac{a_n}{n}</math> יש גבול במובן הרחב השווה ל<math>\inf a_n</math>).
	* המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>		* המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>.
	* קירוב Stirling.		* קירוב Stirling: <math>\Gamma(n+1)=n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n</math>.
	* סומביליות Abel: אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{r\to 1^-} \sum a_n r^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים המתכנסים בסומביליות זו אך לא במובן הרגיל.		* סומביליות Abel: אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{r\to 1^-} \sum a_n r^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים המתכנסים בסומביליות זו אך לא במובן הרגיל.
	* סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא. סומביליות Abel גוררת סומביליות Cesàro.		* סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא. סומביליות Abel גוררת סומביליות Cesàro.
	* משפט Tauber: אם הטור <math>\sum a_n</math> סכים-~~אבל~~ ו<math>a_n=o(\frac1n)</math> אז <math>\sum_n a_n=\lim_{r\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n r^n</math>.		* משפט Tauber: אם הטור <math>\sum a_n</math> סכים-Abel ו<math>a_n=o(\frac1n)</math> אז <math>\sum_n a_n=\lim_{r\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n r^n</math>.
	* הלמה של Reimann-Lebesgue.		* הלמה של Reimann-Lebesgue: אם <math>f\in \mathcal{R}([a,b])</math> אז <math>\int_a^b f(x)\sin(nx)dx,\int_a^b f(x)\cos(nx)dx\overset{\left\|n\right\|\to\infty}{\longrightarrow}0</math> (כלומר מקדמי הFourier שלה דועכים).

	== תורת החבורות ==		== תורת החבורות ==

	* יש אינסוף ראשוניים. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n-1. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n+1.		* יש אינסוף ראשוניים. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n-1. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n+1.

Nir568: /* חשבון אינפיניטיסימלי */

2016-12-21T18:32:40Z

חשבון אינפיניטיסימלי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:32, 21 בדצמבר 2016
שורה 12:		שורה 12:
	* הלמה של Fekete: אם <math>a_n</math> סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-<math>\frac{a_n}{n}</math> יש גבול במובן הרחב השווה ל<math>\inf a_n</math>).		* הלמה של Fekete: אם <math>a_n</math> סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-<math>\frac{a_n}{n}</math> יש גבול במובן הרחב השווה ל<math>\inf a_n</math>).
	* המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>		* המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>
	* סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא.
	* סומביליות Abel: אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{r\to 1^-} \sum a_n r^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה.
	* קירוב Stirling.		* קירוב Stirling.
			* סומביליות Abel: אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{r\to 1^-} \sum a_n r^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים המתכנסים בסומביליות זו אך לא במובן הרגיל.
			* סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא. סומביליות Abel גוררת סומביליות Cesàro.
			* משפט Tauber: אם הטור <math>\sum a_n</math> סכים-אבל ו<math>a_n=o(\frac1n)</math> אז <math>\sum_n a_n=\lim_{r\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n r^n</math>.
	* הלמה של Reimann-Lebesgue.		* הלמה של Reimann-Lebesgue.

Nir568: /* חשבון אינפיניטיסימלי */

2016-12-21T18:22:08Z

חשבון אינפיניטיסימלי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:22, 21 בדצמבר 2016
שורה 10:		שורה 10:
	'''חשבון במשתנה ממשי יחיד'''		'''חשבון במשתנה ממשי יחיד'''
	* אי-שוויון הממוצעים		* אי-שוויון הממוצעים
	* הלמה של ~~פקטה~~: אם <math>a_n</math> סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-<math>\frac{a_n}{n}</math> יש גבול במובן הרחב השווה ל<math>\inf a_n</math>).		* הלמה של Fekete: אם <math>a_n</math> סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-<math>\frac{a_n}{n}</math> יש גבול במובן הרחב השווה ל<math>\inf a_n</math>).
	* המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>		* המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>
	* ממוצע אריתמטי, גאומטרי, והרמוני.
	* סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא.		* סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא.
	* סומביליות Abel: (אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{x\to 1^-} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).		* סומביליות Abel: אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{r\to 1^-} \sum a_n r^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה.
	* קירוב Stirling.		* קירוב Stirling.
	* הלמה של Reimann-Lebesgue.		* הלמה של Reimann-Lebesgue.

Nir568: /* חשבון אינפיניטיסימלי */

2016-12-19T12:33:36Z

חשבון אינפיניטיסימלי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:33, 19 בדצמבר 2016
שורה 13:		שורה 13:
	* המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>		* המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>
	* ממוצע אריתמטי, גאומטרי, והרמוני.		* ממוצע אריתמטי, גאומטרי, והרמוני.
	* סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים ~~החשובניים~~ מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא.		* סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא.
	* סומביליות Abel: (אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{x\to 1^-} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).		* סומביליות Abel: (אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{x\to 1^-} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).
	* קירוב Stirling.		* קירוב Stirling.

Nir568 ב־12:32, 19 בדצמבר 2016

2016-12-19T12:32:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:32, 19 בדצמבר 2016
שורה 15:		שורה 15:
	* סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשובניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא.		* סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשובניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא.
	* סומביליות Abel: (אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{x\to 1^-} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).		* סומביליות Abel: (אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{x\to 1^-} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).
	* קירוב ~~סטירלינג~~.		* קירוב Stirling.
	* הלמה של Reimann-Lebesgue.		* הלמה של Reimann-Lebesgue.

Nir568: /* חשבון אינפיניטיסימלי */

2016-12-19T12:32:04Z

חשבון אינפיניטיסימלי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:32, 19 בדצמבר 2016
שורה 10:		שורה 10:
	'''חשבון במשתנה ממשי יחיד'''		'''חשבון במשתנה ממשי יחיד'''
	* אי-שוויון הממוצעים		* אי-שוויון הממוצעים
	* הלמה של פקטה: אם <math>a_n</math> סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-<math>a_n/n</math> יש גבול במובן הרחב השווה ל<math>\inf a_n</math>).		* הלמה של פקטה: אם <math>a_n</math> סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-<math>\frac{a_n}{n}</math> יש גבול במובן הרחב השווה ל<math>\inf a_n</math>).
	* המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>		* המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>
	* ממוצע אריתמטי, גאומטרי, והרמוני.		* ממוצע אריתמטי, גאומטרי, והרמוני.

Nir568: /* חשבון אינפיניטיסימלי */

2016-12-19T12:31:18Z

חשבון אינפיניטיסימלי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:31, 19 בדצמבר 2016
שורה 8:		שורה 8:
	== חשבון אינפיניטיסימלי ==		== חשבון אינפיניטיסימלי ==

			'''חשבון במשתנה ממשי יחיד'''
	* אי-שוויון הממוצעים		* אי-שוויון הממוצעים
	* "הלמה של פקטה~~" (~~אם a_n סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-a_n/n יש גבול במובן הרחב).		* הלמה של פקטה: אם <math>a_n</math> סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-<math>a_n/n</math> יש גבול במובן הרחב השווה ל<math>\inf a_n</math>).
	* ~~הממוצע האריתמטי~~-גאומטרי		* המשפט של Stolz-Cesàro: אם <math>b_n</math> סידרה חיובית כך ש<math>\sum_n b_n=\infty</math> אז לכל סידרה <math>a_n</math>, <math>\limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}</math>
	* סומביליות ~~צ'זרו (~~לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים ~~והן~~ לא).		* ממוצע אריתמטי, גאומטרי, והרמוני.
	* סומביליות ~~אבל~~ (אם הסכום ~~sum~~ a_n קיים אז גם <math>\sum_{x\~~rightarrow~~ -1} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).		* סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשובניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא.
			* סומביליות Abel: (אם הסכום <math>\sum_n a_n</math> קיים אז גם <math>\sum_{x\to 1^-} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).
			* קירוב סטירלינג.
			* הלמה של Reimann-Lebesgue.

	== תורת החבורות ==		== תורת החבורות ==

	* יש אינסוף ראשוניים. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n-1. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n+1.		* יש אינסוף ראשוניים. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n-1. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n+1.

עוזי ו. ב־22:50, 18 בדצמבר 2016

2016-12-18T22:50:29Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:50, 18 בדצמבר 2016
שורה 13:		שורה 13:
	* סומביליות צ'זרו (לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים והן לא).		* סומביליות צ'זרו (לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים והן לא).
	* סומביליות אבל (אם הסכום sum a_n קיים אז גם <math>\sum_{x\rightarrow -1} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).		* סומביליות אבל (אם הסכום sum a_n קיים אז גם <math>\sum_{x\rightarrow -1} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).

			== תורת החבורות ==

			* יש אינסוף ראשוניים. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n-1. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n+1.

עוזי ו.: /* חשבון אינפיניטיסימלי */

2016-12-18T22:49:48Z

חשבון אינפיניטיסימלי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:49, 18 בדצמבר 2016
שורה 8:		שורה 8:
	== חשבון אינפיניטיסימלי ==		== חשבון אינפיניטיסימלי ==

			* אי-שוויון הממוצעים
	* "הלמה של פקטה" (אם a_n סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-a_n/n יש גבול במובן הרחב).		* "הלמה של פקטה" (אם a_n סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-a_n/n יש גבול במובן הרחב).
			* הממוצע האריתמטי-גאומטרי
	* סומביליות צ'זרו (לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים והן לא).		* סומביליות צ'זרו (לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים והן לא).
	* סומביליות אבל (אם הסכום sum a_n קיים אז גם <math>\sum_{x\rightarrow -1} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).		* סומביליות אבל (אם הסכום sum a_n קיים אז גם <math>\sum_{x\rightarrow -1} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).
	* אי-שוויון הממוצעים

עוזי ו.: /* חשבון אינפיניטיסימלי */

2016-12-18T22:49:22Z

חשבון אינפיניטיסימלי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:49, 18 בדצמבר 2016
שורה 11:		שורה 11:
	* סומביליות צ'זרו (לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים והן לא).		* סומביליות צ'זרו (לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים והן לא).
	* סומביליות אבל (אם הסכום sum a_n קיים אז גם <math>\sum_{x\rightarrow -1} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).		* סומביליות אבל (אם הסכום sum a_n קיים אז גם <math>\sum_{x\rightarrow -1} \sum a_n x^n</math> קיים ושווה לו; אבל יש טורים שאינם מתכנסים אלא באופן זה).
			* אי-שוויון הממוצעים