88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11 - היסטוריית גרסאות

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2020-08-15T18:01:55Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:01, 15 באוגוסט 2020
שורה 249:		שורה 249:

	2. נניח כי המטריצה הפיכה, חשבו את <math>adj \left( adjA \right)</math>.		2. נניח כי המטריצה הפיכה, חשבו את <math>adj \left( adjA \right)</math>.

			3. מצאו את <math>adj \left( adjA \right)</math> גם במקרה שהמטריצה אינה הפיכה.

	פתרון		פתרון
שורה 261:		שורה 263:

	2. נשתמש במשפט עבור המטריצה <math>B=adjA</math>, אזי <math>(adjA)\cdot (adj(adjA)=\|adjA\|I</math>. ולפי הסעיף הקודם נקבל ש<math>adj(adjA)=adjA^{-1}\|A\|^{n-1}</math>. ומכיוון ו<math>adjA^{-1}=\frac{A}{\|A\|}</math> אז <math>adj(adjA)=A\|A\|^{n-2}</math>.		2. נשתמש במשפט עבור המטריצה <math>B=adjA</math>, אזי <math>(adjA)\cdot (adj(adjA)=\|adjA\|I</math>. ולפי הסעיף הקודם נקבל ש<math>adj(adjA)=adjA^{-1}\|A\|^{n-1}</math>. ומכיוון ו<math>adjA^{-1}=\frac{A}{\|A\|}</math> אז <math>adj(adjA)=A\|A\|^{n-2}</math>.

			3. רמז: לתשובה של סעיף זה ולסעיף הקודם יש קשר הדוק.

	===תרגיל===		===תרגיל===

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2020-08-10T15:17:29Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:17, 10 באוגוסט 2020
שורה 125:		שורה 125:
	<math>\|A\|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\0&a-1&\dots &0\\0&0&\ddots &0\\0&0&\dots &a-1\end{vmatrix}=(a+n-1)1(a-1)^{n-1}</math>		<math>\|A\|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\0&a-1&\dots &0\\0&0&\ddots &0\\0&0&\dots &a-1\end{vmatrix}=(a+n-1)1(a-1)^{n-1}</math>


			===תרגיל===
			יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>v_{1},v_{2},\dots,v_{n}</math> וקטורים. הוכיחו/הפריכו: אם <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> בת"ל אזי הוקטורים <math>v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},v_{3}+v_{4},\dots,v_{n-1}+v_{n},v_{n}+v_{1}</math> בת"ל.

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===
שורה 162:		שורה 165:

	מה דעתכם על הפתרון? האם יש פתרון נוסף? האם ניתן לחזק את הטענה ל <math>2^{n}\|\det A</math>?		מה דעתכם על הפתרון? האם יש פתרון נוסף? האם ניתן לחזק את הטענה ל <math>2^{n}\|\det A</math>?

	===תרגיל===		===תרגיל===
	נתונה מטריצה ריבועית <math>A\in F^{5\times 5}</math>, משנים את סדר השורות של <math>A</math>באופן הבא:		נתונה מטריצה ריבועית <math>A\in F^{5\times 5}</math>, משנים את סדר השורות של <math>A</math>באופן הבא:

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2020-08-08T19:41:50Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:41, 8 באוגוסט 2020
שורה 126:		שורה 126:


			=== תרגיל ===
			הוכיחו שלכל מטריצה <math>A\in\R^{n\times n}</math> שכל כניסה שווה ל <math>\pm 1</math> מתקיים כי <math>2^{n-1}\|\det A</math>

			פתרון: פתרון לתרגיל נמצא בדפים ישנים - כך נכתב שם:
			<math>
			\left\|\left(\begin{array}{ccccc}
			\pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\
			\pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\
			\pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\
			\vdots & \vdots & & \vdots\\
			\pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1
			\end{array}\right)\right\|=\left\|\left(\begin{array}{ccccc}
			\pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\
			0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0\\
			0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0\\
			\vdots & \vdots & & \vdots\\
			0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0
			\end{array}\right)\right\|=
			</math>

			<math>\left\|\left(\begin{array}{ccccc}
			\pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\
			0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0\\
			0 & 0 & \pm4,0 & \cdots & \pm4,0\\
			\vdots & \vdots & & \vdots\\
			0 & 0 & \pm4,0 & \cdots & \pm4,0
			\end{array}\right)\right\|=\cdots=\left\|\left(\begin{array}{ccccc}
			\pm1 & \pm1 & \pm1 & \cdots & \pm1\\
			0 & \pm2,0 & \pm2,0 & \cdots & \pm2,0\\
			0 & 0 & \pm4,0 & \cdots & \pm4,0\\
			\vdots & \vdots & & \vdots\\
			0 & 0 & 0 & \cdots & \pm2^{n-1},0
			\end{array}\right)\right\|</math>


			מה דעתכם על הפתרון? האם יש פתרון נוסף? האם ניתן לחזק את הטענה ל <math>2^{n}\|\det A</math>?
	===תרגיל===		===תרגיל===
	נתונה מטריצה ריבועית <math>A\in F^{5\times 5}</math>, משנים את סדר השורות של <math>A</math>באופן הבא:		נתונה מטריצה ריבועית <math>A\in F^{5\times 5}</math>, משנים את סדר השורות של <math>A</math>באופן הבא:

יאיר856: /* תכונות של הדטרמיננטה */

2019-09-04T10:34:43Z

תכונות של הדטרמיננטה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:34, 4 בספטמבר 2019
שורה 46:		שורה 46:
	3. <math>\|A^t\|=\|A\|</math>.		3. <math>\|A^t\|=\|A\|</math>.

	4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?).		4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?). ~כן בבקשה~

	5. אם <math>A</math> הפיכה אז <math>\|A^{-1}\|=\|A\|^{-1}</math>.		5. אם <math>A</math> הפיכה אז <math>\|A^{-1}\|=\|A\|^{-1}</math>.

Relweiz: /* שיטת הדירוג */

2019-08-18T05:52:12Z

שיטת הדירוג

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:52, 18 באוגוסט 2019
שורה 118:		שורה 118:

	פתרון		פתרון
	ראשית נסכום את כל השורות לשורה הראשונה ונקבל <math>\|A\|== \begin{vmatrix}a+n-1&a+n-1& \dots &a+n-1\\ 1&a&\dots &1\\1&1&\dots &1\\ \vdots &\vdots & \dots & \vdots \\ 1&1& \dots & a \end{vmatrix}</math>		ראשית נסכום את כל השורות לשורה הראשונה ונקבל <math>\|A\|= \begin{vmatrix}a+n-1&a+n-1& \dots &a+n-1\\ 1&a&\dots &1\\1&1&\dots &1\\ \vdots &\vdots & \dots & \vdots \\ 1&1& \dots & a \end{vmatrix}</math>
	נחלק את השורה הראשונה ב<math>a+n-1</math> ונקבל:		נחלק את השורה הראשונה ב<math>a+n-1</math> ונקבל:
	<math>\|A\|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\1&a&\dots &1\\1&1&\ddots&1\\ \vdots &\vdots &{}& \vdots\\ 1&1&\dots & a\end{vmatrix}</math>		<math>\|A\|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\1&a&\dots &1\\1&1&\ddots&1\\ \vdots &\vdots &{}& \vdots\\ 1&1&\dots & a\end{vmatrix}</math>

Relweiz: /* תרגיל */

2019-08-18T05:50:18Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:50, 18 באוגוסט 2019
שורה 84:		שורה 84:
	1. נעביר אגפים ונקבל <math>A^4=-2A</math>, נקח דטרמיננטה <math>\|A\|^4 =(-2)^n\|A\|</math> ולכן <math>\|A\|=(-2)^{\frac{n}{3}}</math>.		1. נעביר אגפים ונקבל <math>A^4=-2A</math>, נקח דטרמיננטה <math>\|A\|^4 =(-2)^n\|A\|</math> ולכן <math>\|A\|=(-2)^{\frac{n}{3}}</math>.

	2. נעביר אגפים ונסדר <math>A \left( A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots +a_2A+a_1I \right) =-I</math>, נקח דטרמיננטה <math>\|A\|\|something\|=\|-I\|=(-1)^n</math>. בפרט, <math>\|A\|\neq 0</math>ולכן <math>A</math>הפיכה.		2. נעביר אגפים ונסדר <math>A \left( A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots +a_2A+a_1I \right) =-I</math>, ומכפלת הפיכות היא הפיכה. (ומי שרוצה להפוך לתרגיל על דטרמיננטות - נקח דטרמיננטה <math>\|A\|\|something\|=\|-I\|=(-1)^n</math>. בפרט, <math>\|A\|\neq 0</math>ולכן <math>A</math>הפיכה).

	3. נעביר אגפים <math>AB=-BA</math> ונקח דטרמיננטה <math>\|A\|\|B\|=(-1)^n\|B\|\|A\|</math>. נתון ש<math>n</math> אי-זוגי ולכן <math>\|A\|\|B\|=-\|A\|\|B\|</math>.		3. נעביר אגפים <math>AB=-BA</math> ונקח דטרמיננטה <math>\|A\|\|B\|=(-1)^n\|B\|\|A\|</math>. נתון ש<math>n</math> אי-זוגי ולכן <math>\|A\|\|B\|=-\|A\|\|B\|</math>.
	זה מכריח ש<math>\|A\|\|B\|=0</math> ולכן או ש <math>\|A\|=0</math>ואז <math>A</math>לא הפיכה, או ש<math>\|B\|=0</math> ואז <math>B</math>לא הפיכה.		זה מכריח ש<math>\|A\|\|B\|=0</math> ולכן או ש <math>\|A\|=0</math>ואז <math>A</math>לא הפיכה, או ש<math>\|B\|=0</math> ואז <math>B</math>לא הפיכה.


	===תרגיל===		===תרגיל===

אחיה בר-און: /* תרגיל מטריצת ונדרמונד */

2019-08-16T15:03:27Z

תרגיל מטריצת ונדרמונד

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:03, 16 באוגוסט 2019
שורה 163:		שורה 163:
	\end{vmatrix}</math>		\end{vmatrix}</math>

	הוכיחו כי <math>\|V(a_1,\dots ,a_n)\|=\~~prod~~{1\leq i<j\leq n}(a_j-a_i)</math>		הוכיחו כי <math>\|V(a_1,\dots ,a_n)\|=\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_j-a_i)</math>

	פתרון:		פתרון:
שורה 171:		שורה 171:

	נבצע		נבצע
	* $C_n\leftarrow C_n-a_1C_{n-1}$		* <math>C_n\leftarrow C_n-a_1C_{n-1}</math>
	* $C_{n-1}\leftarrow C_{n-1}-a_1C_{n-2}$		* <math>C_{n-1}\leftarrow C_{n-1}-a_1C_{n-2}</math>
	וכו' עד		וכו' עד
	* $C_{2}\leftarrow C_2-a_1C_{1}$		* <math>C_{2}\leftarrow C_2-a_1C_{1}</math>

	לאחר מכן נוכל		לאחר מכן נוכל
שורה 183:		שורה 183:

	נמשיך לפתח לפי שורה ראשונה ונקבל כי		נמשיך לפתח לפי שורה ראשונה ונקבל כי
	<math>\|V(a_1,\dots,a_n)\|=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot \|V(a_2,\dots ,a_n)\|=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot \prod_{2\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)=\prod_{1\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)</math>		<math>\|V(a_1,\dots,a_n)\|=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot \|V(a_2,\dots ,a_n)\|=</math>
			לפי הנחת האינדוקציה, נוכל להמשיך

			<math>=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot \prod_{2\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)=\prod_{1\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)</math>

			מסקנה: מטריצת ונדרמונט הפיכה אמ"מ <math>a_1,\dots ,a_n</math> שונים זה מזה.

	=המטריצה הנילוות (המצורפת)=		=המטריצה הנילוות (המצורפת)=

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2019-08-16T15:00:54Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:00, 16 באוגוסט 2019
שורה 154:		שורה 154:

	<math>\|A\|=^{C_3-C_2} \begin{vmatrix}i-4c&f&2i\\g-4a&d&2g\\h-4b&e&2h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{2}C_3}2\begin{vmatrix}i-4c&f&i\\g-4a&d&g\\h-4b&e&h\end{vmatrix}=^{C_1-C_2}2\begin{vmatrix}-4c&f&i\\-4a&d&g\\-4b&e&h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{-4}C_1}2(-4)\begin{vmatrix}c&f&i\\a&d&g\\b&e&h\end{vmatrix}=\dots =-16</math>		<math>\|A\|=^{C_3-C_2} \begin{vmatrix}i-4c&f&2i\\g-4a&d&2g\\h-4b&e&2h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{2}C_3}2\begin{vmatrix}i-4c&f&i\\g-4a&d&g\\h-4b&e&h\end{vmatrix}=^{C_1-C_2}2\begin{vmatrix}-4c&f&i\\-4a&d&g\\-4b&e&h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{-4}C_1}2(-4)\begin{vmatrix}c&f&i\\a&d&g\\b&e&h\end{vmatrix}=\dots =-16</math>

			==== תרגיל מטריצת ונדרמונד====
			הגדרה: יהיו <math>a_1,\dots a_n\in \mathbb{F}</math> סקלארים. מטריצת ונדרמונד <math>V=V(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> מוגדרת להיות
			<math>V=\begin{vmatrix} 1&a_1&a_{1}^{2}& \cdots& a_{1}^{n-1}\\
			1&a_2&a_{2}^{2}& \cdots& a_{2}^{n-1}\\
			\vdots & & & & \\
			1&a_n&a_{n}^{2}& \cdots& a_{n}^{n-1}
			\end{vmatrix}</math>

			הוכיחו כי <math>\|V(a_1,\dots ,a_n)\|=\prod{1\leq i<j\leq n}(a_j-a_i)</math>

			פתרון:
			באינדקוציה על <math>n</math>. בסיס: מוזמנים לבדוק עבור <math>n=2</math>

			צעד:

			נבצע
			* $C_n\leftarrow C_n-a_1C_{n-1}$
			* $C_{n-1}\leftarrow C_{n-1}-a_1C_{n-2}$
			וכו' עד
			* $C_{2}\leftarrow C_2-a_1C_{1}$

			לאחר מכן נוכל
			*להוציא גורם משותף <math>a_2-a_1</math> מהשורה השניה
			*להוציא גורם משותף <math>a_3-a_1</math> מהשורה השלישית
			וכו עד
			*להוציא גורם משותף <math>a_n-a_1</math> מהשורה האחרונה

			נמשיך לפתח לפי שורה ראשונה ונקבל כי
			<math>\|V(a_1,\dots,a_n)\|=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot \|V(a_2,\dots ,a_n)\|=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot \prod_{2\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)=\prod_{1\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)</math>

	=המטריצה הנילוות (המצורפת)=		=המטריצה הנילוות (המצורפת)=

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2019-08-16T14:21:34Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:21, 16 באוגוסט 2019
שורה 213:		שורה 213:

	בכל מקרה לפי מקרה1 ומקרה 2 נסיק כי <math>adj(A'B')=adj(B')adj(A')</math>. סיום ההוכחה נובע מכך ש:		בכל מקרה לפי מקרה1 ומקרה 2 נסיק כי <math>adj(A'B')=adj(B')adj(A')</math>. סיום ההוכחה נובע מכך ש:
	*<math>M_{i,j}(A'B')}M_{i,j}(AB)</math>		*<math>M_{i,j}(A'B')=M_{i,j}(AB)</math>
	*<math>R_{j}(adj(B'))C_i(adj(A'))=R_{j}(adj(B))C_i(adj(A))</math>		*<math>R_{j}(adj(B'))C_i(adj(A'))=R_{j}(adj(B))C_i(adj(A))</math>
	ולכן המיקום <math>j,i</math> שווה בשני האגפים.		ולכן המיקום <math>j,i</math> שווה בשני האגפים.

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2019-08-16T14:20:47Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:20, 16 באוגוסט 2019
שורה 212:		שורה 212:
	מקרה 3 - אחרת: יהיו i,j נתונים. השתכנעו כי ניתן להגדיר מטריצה <math>A'</math> כך שהיא זהה ל A פרט אולי לשורה i ומטריצה <math>B'</math> שזהה למטריצה B פרט אולי לעמודה j המקיימות כי: או ש <math>A'</math> וגם <math>B'</math> הפיכות או ש <math>A'</math> או<math>B'</math> מדרגה קטנה שווה ל <math>n-2</math>.		מקרה 3 - אחרת: יהיו i,j נתונים. השתכנעו כי ניתן להגדיר מטריצה <math>A'</math> כך שהיא זהה ל A פרט אולי לשורה i ומטריצה <math>B'</math> שזהה למטריצה B פרט אולי לעמודה j המקיימות כי: או ש <math>A'</math> וגם <math>B'</math> הפיכות או ש <math>A'</math> או<math>B'</math> מדרגה קטנה שווה ל <math>n-2</math>.

	בכל מקרה לפי מקרה1 ומקרה 2 נסיק כי <math>adj(A'B')=adj(B')adj(A')</math> ~~ובנוסף~~		בכל מקרה לפי מקרה1 ומקרה 2 נסיק כי <math>adj(A'B')=adj(B')adj(A')</math>. סיום ההוכחה נובע מכך ש:
			*<math>M_{i,j}(A'B')}M_{i,j}(AB)</math>
	<math>~~[adj(A'B')]_{j,i}=(-1)^{i+j}~~M_{i,j}(A'B')~~=(-1)^{i+j~~}M_{i,j}(AB)~~=[adj(A'B')]_{j,i}~~</math>		*<math>R_{j}(adj(B'))C_i(adj(A'))=R_{j}(adj(B))C_i(adj(A))</math>
			ולכן המיקום <math>j,i</math> שווה בשני האגפים.
	<math>~~[adj(B')adj(A')]_{j,i}=~~R_{j}(adj(B'))C_i(adj(A'))=R_{j}(adj(B))C_i(adj(A))~~=[adj(B)adj(A)]_{~~j,i}</math>

	===תרגיל===		===תרגיל===

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:50, 18 באוגוסט 2019
שורה 84:		שורה 84:
	1. נעביר אגפים ונקבל <math>A^4=-2A</math>, נקח דטרמיננטה <math>\|A\|^4 =(-2)^n\|A\|</math> ולכן <math>\|A\|=(-2)^{\frac{n}{3}}</math>.		1. נעביר אגפים ונקבל <math>A^4=-2A</math>, נקח דטרמיננטה <math>\|A\|^4 =(-2)^n\|A\|</math> ולכן <math>\|A\|=(-2)^{\frac{n}{3}}</math>.

	2. נעביר אגפים ונסדר <math>A \left( A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots +a_2A+a_1I \right) =-I</math>, נקח דטרמיננטה <math>\|A\|\|something\|=\|-I\|=(-1)^n</math>. בפרט, <math>\|A\|\neq 0</math>ולכן <math>A</math>הפיכה.		2. נעביר אגפים ונסדר <math>A \left( A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots +a_2A+a_1I \right) =-I</math>, ומכפלת הפיכות היא הפיכה. (ומי שרוצה להפוך לתרגיל על דטרמיננטות - נקח דטרמיננטה <math>\|A\|\|something\|=\|-I\|=(-1)^n</math>. בפרט, <math>\|A\|\neq 0</math>ולכן <math>A</math>הפיכה).

	3. נעביר אגפים <math>AB=-BA</math> ונקח דטרמיננטה <math>\|A\|\|B\|=(-1)^n\|B\|\|A\|</math>. נתון ש<math>n</math> אי-זוגי ולכן <math>\|A\|\|B\|=-\|A\|\|B\|</math>.		3. נעביר אגפים <math>AB=-BA</math> ונקח דטרמיננטה <math>\|A\|\|B\|=(-1)^n\|B\|\|A\|</math>. נתון ש<math>n</math> אי-זוגי ולכן <math>\|A\|\|B\|=-\|A\|\|B\|</math>.
	זה מכריח ש<math>\|A\|\|B\|=0</math> ולכן או ש <math>\|A\|=0</math>ואז <math>A</math>לא הפיכה, או ש<math>\|B\|=0</math> ואז <math>B</math>לא הפיכה.		זה מכריח ש<math>\|A\|\|B\|=0</math> ולכן או ש <math>\|A\|=0</math>ואז <math>A</math>לא הפיכה, או ש<math>\|B\|=0</math> ואז <math>B</math>לא הפיכה.


	===תרגיל===		===תרגיל===