88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/3 - היסטוריית גרסאות

אחיה172: /* תרגיל */

2020-07-13T15:19:06Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:19, 13 ביולי 2020
שורה 343:		שורה 343:
	0 & 0 & \left(1-a\right)\left(a+2\right)		0 & 0 & \left(1-a\right)\left(a+2\right)
	\end{array}\right)</math>		\end{array}\right)</math>

			===תרגיל===
			תהא <math>A</math> מטריצה ריבועית הפיכה. תהא <math>B</math> מטריצה המתקבלת מהחלפת שורות 1,2 של <math>A</math>. כלומר <math>A\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{2}}B</math>. מה הקשר בין ההופכית של <math>A</math> להופכית של <math>B</math>?

	===תרגיל===		===תרגיל===

אחיה172: /* פתרון */

2020-07-13T15:17:06Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:17, 13 ביולי 2020
שורה 321:		שורה 321:
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\
	1 & 1 & a		1 & 1 & a
			\end{array}\right)
	\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\left(\begin{array}{ccc}		\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\
	1 & 1 & a\\		1 & 1 & a\\
	a & 1 & 1		a & 1 & 1
			\end{array}\right)
	\xrightarrow[R_{3}\leftarrow R_{3}-aR_{1}]{R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}		\xrightarrow[R_{3}\leftarrow R_{3}-aR_{1}]{R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\
שורה 335:		שורה 337:
	0 & 1-a & a-1\\		0 & 1-a & a-1\\
	0 & 0 & 1-a-\left(1+a\right)\left(a-1\right)		0 & 0 & 1-a-\left(1+a\right)\left(a-1\right)
			\end{array}\right)
	=\left(\begin{array}{ccc}		=\left(\begin{array}{ccc}
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\

אחיה172: /* פתרון */

2020-07-13T15:16:00Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:16, 13 ביולי 2020
שורה 321:		שורה 321:
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\
	1 & 1 & a		1 & 1 & a
	~~\end{array}\right)</math>~~		\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
	~~<math>~~\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\
	1 & 1 & a\\		1 & 1 & a\\
	a & 1 & 1		a & 1 & 1
	~~\end{array}\right)</math>~~		\xrightarrow[R_{3}\leftarrow R_{3}-aR_{1}]{R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}
	~~<math>~~\xrightarrow[R_{3}\leftarrow R_{3}-aR_{1}]{R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\
	0 & 1-a & a-1\\		0 & 1-a & a-1\\
	0 & 1-a^{2} & 1-a		0 & 1-a^{2} & 1-a
	\end{array}\right)</math>		\end{array}\right)</math>

	<math>\xrightarrow{R_{3}\leftarrow R_{3}-\left(1+a\right)R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}		<math>\xrightarrow{R_{3}\leftarrow R_{3}-\left(1+a\right)R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\
	0 & 1-a & a-1\\		0 & 1-a & a-1\\
	0 & 0 & 1-a-\left(1+a\right)\left(a-1\right)		0 & 0 & 1-a-\left(1+a\right)\left(a-1\right)
	~~\end{array}\right)</math>~~		=\left(\begin{array}{ccc}
	~~<math>~~=\left(\begin{array}{ccc}
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\
	0 & 1-a & a-1\\		0 & 1-a & a-1\\

אחיה172: /* פתרון */

2020-07-13T15:14:50Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:14, 13 ביולי 2020
שורה 321:		שורה 321:
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\
	1 & 1 & a		1 & 1 & a
	\end{array}\right)&\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\left(\begin{array}{ccc}		\end{array}\right)</math>
			<math>\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\
	1 & 1 & a\\		1 & 1 & a\\
	a & 1 & 1		a & 1 & 1
	\end{array}\right)~~\\&~~\xrightarrow[R_{3}\leftarrow R_{3}-aR_{1}]{R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}		\end{array}\right)</math>
			<math>\xrightarrow[R_{3}\leftarrow R_{3}-aR_{1}]{R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\
	0 & 1-a & a-1\\		0 & 1-a & a-1\\
	0 & 1-a^{2} & 1-a		0 & 1-a^{2} & 1-a
	\end{array}\right)~~\\&~~\xrightarrow{R_{3}\leftarrow R_{3}-\left(1+a\right)R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}		\end{array}\right)</math>
			<math>\xrightarrow{R_{3}\leftarrow R_{3}-\left(1+a\right)R_{1}}\left(\begin{array}{ccc}
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\
	0 & 1-a & a-1\\		0 & 1-a & a-1\\
	0 & 0 & 1-a-\left(1+a\right)\left(a-1\right)		0 & 0 & 1-a-\left(1+a\right)\left(a-1\right)
	\end{array}\right)~~\\&~~=\left(\begin{array}{ccc}		\end{array}\right)</math>
			<math>=\left(\begin{array}{ccc}
	1 & a & 1\\		1 & a & 1\\
	0 & 1-a & a-1\\		0 & 1-a & a-1\\

אחיה172: /* תרגיל */

2020-07-13T15:13:26Z

תרגיל

@@ שורה 305: / שורה 305: @@
 \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{3\times3}</math> התלויה בפרמטר <math>a</math>
-.  עבור אילו ערכי a המטריצה הפיכה
+.  עבור אילו ערכי <math>a</math> המטריצה הפיכה
 .  עבור איזה ערך <math>a</math> (אם בכלל) מתקיים כי
- <math>A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}
+<math>A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}
 -1 & 1 & 1\\
 & -1 & 1\\
@@ שורה 314: / שורה 314: @@
 \end{array}\right)</math>
 ===תרגיל===

אחיה172: /* תרגיל */

2020-07-13T15:11:39Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:11, 13 ביולי 2020
שורה 296:		שורה 296:

	2. בהנתן מטריצה ריבועית <math>A</math>, אזי <math>A</math> הפיכה '''אם ורק אם''' למערכת <math>Ax=b</math> קיים פתרון יחיד. פתרון: בכיוון הראשון הפתרון הוא <math>x=A^{-1}b</math>. בכיוון ההפוך, אם היא לא הפיכה אז במדורגת יש שורת אפסים ואז או שורת סתירה או משתנה חופשי.		2. בהנתן מטריצה ריבועית <math>A</math>, אזי <math>A</math> הפיכה '''אם ורק אם''' למערכת <math>Ax=b</math> קיים פתרון יחיד. פתרון: בכיוון הראשון הפתרון הוא <math>x=A^{-1}b</math>. בכיוון ההפוך, אם היא לא הפיכה אז במדורגת יש שורת אפסים ואז או שורת סתירה או משתנה חופשי.

			===תרגיל===
			תהא
			<math>A=\left(\begin{array}{ccc}
			a & 1 & 1\\
			1 & a & 1\\
			1 & 1 & a
			\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{3\times3}</math> התלויה בפרמטר <math>a</math>

			1. עבור אילו ערכי a המטריצה הפיכה

			2. עבור איזה ערך <math>a</math> (אם בכלל) מתקיים כי
			<math>A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}
			-1 & 1 & 1\\
			1 & -1 & 1\\
			1 & 1 & -1
			\end{array}\right)</math>


	===תרגיל===		===תרגיל===

Relweiz: /* תרגיל */

2019-11-23T20:10:24Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:10, 23 בנובמבר 2019
שורה 307:		שורה 307:
	ב. האם <math>B</math> שמצאתם היא יחידה?		ב. האם <math>B</math> שמצאתם היא יחידה?

	ג. האם יש <math>B\in \mathbb{R}^{2\times 3}</math> כך ש- <math>BA=I_3</math>?		ג. האם יש <math>B\in \mathbb{R}^{3\times 2}</math> כך ש- <math>BA=I_3</math>?

	====פתרון====		====פתרון====
שורה 331:		שורה 331:
	b_5 & b_6		b_5 & b_6
	\end{array}\right)</math> כך ש- <math>BA=I_{3\times 3}</math>, אזי אם נוסיף שורת אפסים ל-<math>A</math> (למטה) ועמודת אפסים ל-<math>B</math> (מימין), נקבל גם שמכפלתם היא היחידה (כי בכל הכניסות נקבל אותו דבר בדיוק כמו קודם), בסתריה לכך שמטריצה עם שורת (או עמודת) אפסים לא הפיכה, ושמכפלה הפיכה אם ורק אם המוכפלות הפיכות.		\end{array}\right)</math> כך ש- <math>BA=I_{3\times 3}</math>, אזי אם נוסיף שורת אפסים ל-<math>A</math> (למטה) ועמודת אפסים ל-<math>B</math> (מימין), נקבל גם שמכפלתם היא היחידה (כי בכל הכניסות נקבל אותו דבר בדיוק כמו קודם), בסתריה לכך שמטריצה עם שורת (או עמודת) אפסים לא הפיכה, ושמכפלה הפיכה אם ורק אם המוכפלות הפיכות.


	===תרגיל===		===תרגיל===

Relweiz: /* תרגיל */

2019-07-23T06:38:18Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:38, 23 ביולי 2019
שורה 340:		שורה 340:
	משמאל לימין: נתון שהיא מחלקת אפס, ולכן יש <math>B\neq 0</math> כך ש- <math>AB=0</math>. נניח בשלילה ש<math>A</math> הפיכה. לכן יש לה הופכית <math>A^{-1}</math> ונקבל: <math>B=IB=A^{-1}AB=A^{-1}0=0</math> בסתירה.		משמאל לימין: נתון שהיא מחלקת אפס, ולכן יש <math>B\neq 0</math> כך ש- <math>AB=0</math>. נניח בשלילה ש<math>A</math> הפיכה. לכן יש לה הופכית <math>A^{-1}</math> ונקבל: <math>B=IB=A^{-1}AB=A^{-1}0=0</math> בסתירה.

	מימין לשמאל: <math>A</math> לא הפיכה. לכן בצורה המדוגרת יש שורת אפסים ומשתנה חופשי, ומכאן שיש פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית. כלומר, יש <math>x\neq 0</math> כך ש- <math>Ax=0</math>. ניקח מטריצה שבכל עמודה יש את וקטור העמודה <math>x</math> הנ"ל, נקבל (לפי כפל עמודה) ~~את מטריצת האפס~~.		מימין לשמאל: <math>A</math> לא הפיכה. לכן בצורה המדוגרת יש שורת אפסים ומשתנה חופשי, ומכאן שיש פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית. כלומר, יש <math>x\neq 0</math> כך ש- <math>Ax=0</math>. ניקח מטריצה <math>B</math> שבכל עמודה יש את וקטור העמודה <math>x</math> הנ"ל, נקבל (לפי כפל עמודה) <math>AB=0</math>.

Relweiz: /* תרגיל */

2019-07-23T06:36:57Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:36, 23 ביולי 2019
שורה 331:		שורה 331:
	b_5 & b_6		b_5 & b_6
	\end{array}\right)</math> כך ש- <math>BA=I_{3\times 3}</math>, אזי אם נוסיף שורת אפסים ל-<math>A</math> (למטה) ועמודת אפסים ל-<math>B</math> (מימין), נקבל גם שמכפלתם היא היחידה (כי בכל הכניסות נקבל אותו דבר בדיוק כמו קודם), בסתריה לכך שמטריצה עם שורת (או עמודת) אפסים לא הפיכה, ושמכפלה הפיכה אם ורק אם המוכפלות הפיכות.		\end{array}\right)</math> כך ש- <math>BA=I_{3\times 3}</math>, אזי אם נוסיף שורת אפסים ל-<math>A</math> (למטה) ועמודת אפסים ל-<math>B</math> (מימין), נקבל גם שמכפלתם היא היחידה (כי בכל הכניסות נקבל אותו דבר בדיוק כמו קודם), בסתריה לכך שמטריצה עם שורת (או עמודת) אפסים לא הפיכה, ושמכפלה הפיכה אם ורק אם המוכפלות הפיכות.


			===תרגיל===

			תהי <math>0\neq A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math>. הוכיחו: <math>A</math> לא הפיכה אם ורק אם היא מחלקת אפס.

			====פתרון====
			משמאל לימין: נתון שהיא מחלקת אפס, ולכן יש <math>B\neq 0</math> כך ש- <math>AB=0</math>. נניח בשלילה ש<math>A</math> הפיכה. לכן יש לה הופכית <math>A^{-1}</math> ונקבל: <math>B=IB=A^{-1}AB=A^{-1}0=0</math> בסתירה.

			מימין לשמאל: <math>A</math> לא הפיכה. לכן בצורה המדוגרת יש שורת אפסים ומשתנה חופשי, ומכאן שיש פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית. כלומר, יש <math>x\neq 0</math> כך ש- <math>Ax=0</math>. ניקח מטריצה שבכל עמודה יש את וקטור העמודה <math>x</math> הנ"ל, נקבל (לפי כפל עמודה) את מטריצת האפס.

Relweiz: /* פתרון */

2019-07-23T06:27:04Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:27, 23 ביולי 2019
שורה 326:		שורה 326:
	ב. היא לא יחידה. אפשר לעשות רעיון דומה עם החלק הימני של <math>A</math> למשל.		ב. היא לא יחידה. אפשר לעשות רעיון דומה עם החלק הימני של <math>A</math> למשל.

	ג. לא קיימת. ~~ננחי~~ בשלילה שקיימת <math>B=\left(\begin{array}{cc}		ג. לא קיימת. נניח בשלילה שקיימת <math>B=\left(\begin{array}{cc}
	b_1 & b_2 \\		b_1 & b_2 \\
	b_3 & b_4 \\		b_3 & b_4 \\
	b_5 & b_6		b_5 & b_6
	\end{array}\right)</math> כך ש- <math>AB=I_{3\times 3}</math>, אזי אם נוסיף שורת אפסים ל-<math>A</math> (למטה) ועמודת אפסים ל-<math>B</math> (מימין), נקבל גם שמכפלתם היא היחידה (כי בכל הכניסות נקבל אותו דבר בדיוק כמו קודם), בסתריה לכך שמטריצה עם שורת (או עמודת) אפסים לא הפיכה, ושמכפלה הפיכה אם ורק אם המוכפלות הפיכות.		\end{array}\right)</math> כך ש- <math>BA=I_{3\times 3}</math>, אזי אם נוסיף שורת אפסים ל-<math>A</math> (למטה) ועמודת אפסים ל-<math>B</math> (מימין), נקבל גם שמכפלתם היא היחידה (כי בכל הכניסות נקבל אותו דבר בדיוק כמו קודם), בסתריה לכך שמטריצה עם שורת (או עמודת) אפסים לא הפיכה, ושמכפלה הפיכה אם ורק אם המוכפלות הפיכות.