88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4 - היסטוריית גרסאות

אחיה בר-און: /* דוגמא 5 */

2021-07-15T19:20:00Z

דוגמא 5

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:20, 15 ביולי 2021
שורה 318:		שורה 318:
	====דוגמא 4====		====דוגמא 4====
	<math>V=\mathbb{R}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> . חיתוך של המטריצות המשולשיות התחתונות והמטריצות המשולשיות העליונות.		<math>V=\mathbb{R}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> . חיתוך של המטריצות המשולשיות התחתונות והמטריצות המשולשיות העליונות.
	~~====דוגמא 5====~~
	~~(b) במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math>, מצאו את החיתוך של <math>W_{1}=\left\{ p(x)\,\|\,p(2)=0\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ p(x)\,\|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\}</math>~~

	=== סכום תתי מרחבים===		=== סכום תתי מרחבים===

אחיה בר-און: /* דוגמא 3 */

2021-07-15T19:18:24Z

דוגמא 3

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:18, 15 ביולי 2021
שורה 315:		שורה 315:
	הוכחה:		הוכחה:
	ישירות- אם <math>A</math> גם סימטרית וגם אנטי סימטרית אזי מתקיים <math>-A=A^t=A</math>. נעביר אגף ונקבל <math>2A=0</math>. נחלק ב 2 ונקבל כי <math>A=0</math>		ישירות- אם <math>A</math> גם סימטרית וגם אנטי סימטרית אזי מתקיים <math>-A=A^t=A</math>. נעביר אגף ונקבל <math>2A=0</math>. נחלק ב 2 ונקבל כי <math>A=0</math>

			====דוגמא 4====
			<math>V=\mathbb{R}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> . חיתוך של המטריצות המשולשיות התחתונות והמטריצות המשולשיות העליונות.
			====דוגמא 5====
			(b) במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math>, מצאו את החיתוך של <math>W_{1}=\left\{ p(x)\,\|\,p(2)=0\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ p(x)\,\|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\}</math>

	=== סכום תתי מרחבים===		=== סכום תתי מרחבים===

אחיה בר-און: /* תרגיל = */

2020-07-16T14:28:55Z

תרגיל =

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:28, 16 ביולי 2020
שורה 410:		שורה 410:

	=== תרגיל ====		=== תרגיל ====
	במרחב <math>V=\mathbb{R}^{4}</math>, מצאו את החיתוך והסכום של		במרחב <math>V=\mathbb{R}^{4}</math>, מצאו את החיתוך והסכום של
	<math>W_{1}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\\-a_{1}+2a_{3}=0\end{array}\right\}</math>		<math>W_{1}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\\-a_{1}+2a_{3}=0\end{array}\right\}</math>
	ו		ו
	<math>W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\end{array}\right\}</math>		<math>W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\end{array}\right\}</math>

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2020-07-16T14:28:35Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:28, 16 ביולי 2020
שורה 408:		שורה 408:
	==== תרגיל ====		==== תרגיל ====
	במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math>, הוכיחו כי <math>W_{1}=\left\{ p(x)\,\|\,p(2)=0\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ p(x)\,\|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\}</math> הם תתי מרחבים. חשבו את החיתוך והסכום שלהם. הראו שהסכום ישר.		במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math>, הוכיחו כי <math>W_{1}=\left\{ p(x)\,\|\,p(2)=0\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ p(x)\,\|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\}</math> הם תתי מרחבים. חשבו את החיתוך והסכום שלהם. הראו שהסכום ישר.

			=== תרגיל ====
			במרחב <math>V=\mathbb{R}^{4}</math>, מצאו את החיתוך והסכום של
			<math>W_{1}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\\-a_{1}+2a_{3}=0\end{array}\right\}</math>
			ו
			<math>W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\end{array}\right\}</math>

אחיה בר-און: /* דוגמאות */

2020-07-16T13:03:56Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:03, 16 ביולי 2020
שורה 46:		שורה 46:
	#<math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})\|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math> וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math>		#<math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})\|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math> וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math>
	#מרחב המטריצות <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.		#מרחב המטריצות <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
	#מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית <math>\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}\|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>		#מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית <math>\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}\|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
	עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
	#מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}\|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.		#מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}\|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.
	#<math>V=\mathbb{R}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{Q}</math> עם חיבור וכפל "רגילים".		#<math>V=\mathbb{R}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{Q}</math> עם חיבור וכפל "רגילים".

אחיה בר-און: /* דוגמאות */

2020-07-16T13:02:44Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:02, 16 ביולי 2020
שורה 44:		שורה 44:

	==דוגמאות ==		==דוגמאות ==
	1.		#<math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})\|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math> וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math>
	<math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})\|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>		#מרחב המטריצות <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
			#מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית <math>\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}\|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>
	עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math>

	וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math>

	2.
	מרחב המטריצות <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.

	3.
	מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית
	<math>\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}\|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>

	עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.		עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
			#מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}\|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.
	4.		#<math>V=\mathbb{R}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{Q}</math> עם חיבור וכפל "רגילים".
	מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}\|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.		#<math>V=\mathbb{C}^{3}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>.
			#<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math>
	5.		#<math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha \cdot x,y)</math> כי למשל <math>(1+1)\cdot 2\cdot(0,1)= (0,1)\neq (0,2)=1\cdot(0,1)+1\cdot(0,1)</math>.
	<math>V=\mathbb{R}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{Q}</math> עם חיבור וכפל "רגילים".		#<math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha^2 \cdot x,\alpha^2\cdot y)</math>

	6. <math>V=\mathbb{C}^{3}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>.

	7. <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math>

	8. <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha \cdot x,y)</math> כי למשל <math>(1+1)\cdot 2\cdot(0,1)= (0,1)\neq (0,2)=1\cdot(0,1)+1\cdot(0,1)</math>.

	==תתי מרחבים ==		==תתי מרחבים ==

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2020-07-16T12:09:18Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:09, 16 ביולי 2020
שורה 425:		שורה 425:

	==== תרגיל ====		==== תרגיל ====
	.3 במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math>, הוכיחו כי <math>W_{1}=\left\{ p(x)\,\|\,p(2)=0\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ p(x)\,\|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\}</math> הם תתי מרחבים. חשבו את החיתוך והסכום שלהם. הראו שהסכום ישר.		במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math>, הוכיחו כי <math>W_{1}=\left\{ p(x)\,\|\,p(2)=0\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ p(x)\,\|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\}</math> הם תתי מרחבים. חשבו את החיתוך והסכום שלהם. הראו שהסכום ישר.

אחיה בר-און: /* סכום תתי מרחבים וסכום ישר */

2020-07-16T12:08:50Z

סכום תתי מרחבים וסכום ישר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:08, 16 ביולי 2020
שורה 423:		שורה 423:

	יהא <math>(a_1,\dots ,a_n)=v\in W_1\cap W_2</math> צ"ל שזהו וקטור האפס. בגלל ש <math>v\in W_1</math> ניתן להציג אותו כ <math>v=(a,a,\dots ,a)</math>, כיוון ש <math>v\in W_2</math> צריך להתקיים <math>a+a+\dots +a =na=0</math> ולכן <math>a=0</math> ולכן <math>v=0</math>		יהא <math>(a_1,\dots ,a_n)=v\in W_1\cap W_2</math> צ"ל שזהו וקטור האפס. בגלל ש <math>v\in W_1</math> ניתן להציג אותו כ <math>v=(a,a,\dots ,a)</math>, כיוון ש <math>v\in W_2</math> צריך להתקיים <math>a+a+\dots +a =na=0</math> ולכן <math>a=0</math> ולכן <math>v=0</math>

			==== תרגיל ====
			.3 במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math>, הוכיחו כי <math>W_{1}=\left\{ p(x)\,\|\,p(2)=0\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ p(x)\,\|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\}</math> הם תתי מרחבים. חשבו את החיתוך והסכום שלהם. הראו שהסכום ישר.

בארי: /* דוגמא 2 */

2020-07-13T13:04:20Z

דוגמא 2

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:04, 13 ביולי 2020
שורה 242:		שורה 242:

	====דוגמא 2====		====דוגמא 2====
	יהי <math>V = \mathbb{R}^3 </math>. נגדיר ~~שתי~~ תת מרחבים		יהי <math>V = \mathbb{R}^3 </math>. נגדיר שני תת מרחבים

	<math>W_1=\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}		<math>W_1=\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}

בארי: /* דוגמא 1 */

2020-07-13T13:03:53Z

דוגמא 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:03, 13 ביולי 2020
שורה 175:		שורה 175:

	====דוגמא 1====		====דוגמא 1====
	1. יהי <math>V = \mathbb{R}^4 </math>. נגדיר ~~שתי~~ תת מרחבים		1. יהי <math>V = \mathbb{R}^4 </math>. נגדיר שני תת מרחבים
	<math>W_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+x_4 =0\} </math>		<math>W_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+x_4 =0\} </math>