88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7 - היסטוריית גרסאות

אריאל: /* תשובה */

2021-07-27T11:41:49Z

תשובה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:41, 27 ביולי 2021
שורה 537:		שורה 537:
	2. אם נתונים לנו מספר וקטורים שפורשים מרחב כלשהו, ואנחנו מחפשים מתוכם בסיס (ורוצים לזרוק את הוקטורים התלויים) - אז אמליץ לשים בעמודות. כי אז נוכל לקחת את הוקטוריים המקוריים המתאימים לעמודות ציר בצורה המדורגת של המטריצה שבנינו, והם מהווים בסיס.		2. אם נתונים לנו מספר וקטורים שפורשים מרחב כלשהו, ואנחנו מחפשים מתוכם בסיס (ורוצים לזרוק את הוקטורים התלויים) - אז אמליץ לשים בעמודות. כי אז נוכל לקחת את הוקטוריים המקוריים המתאימים לעמודות ציר בצורה המדורגת של המטריצה שבנינו, והם מהווים בסיס.

	3. אם נתונים לנו מס' וקטורים בת"ל ואנחנו רוצים להוסיף עליהם כדי להגיע לבסיס של מרחב כלשהו - אז אמליץ לשים ~~בשורות~~. ~~כי אז~~, ~~כיון שמרחב השורות לא מתקלקל בדירוג~~, ~~נוכל בקלות לדעת~~ אילו וקטורים ~~כדאי~~ להוסיף ~~על הוקטורים המתקבלים בסוף תהליך הדירוג, והם "עובדים טוב" גם~~ עם ~~המקוריים כי מרחב השורות בסוף ובהתחלה הוא זהה~~.		3. אם נתונים לנו מס' וקטורים בת"ל ואנחנו רוצים להוסיף עליהם כדי להגיע לבסיס של מרחב כלשהו - אז אמליץ לשים בעמודות, בתוספת לעמודות המהוות בסיס של המרחב המבוקש. ואז מכיון שעמודות אלה בת"ל, נקבל שיהיה איבר מוביל בעמודות המתאימות במדורגת, וגם נדע אילו וקטורים להוסיף - המתאימים לעמודות עם מוביל במדורגת.

	==== תרגיל ====		==== תרגיל ====

אריאל: /* פתרון */

2021-07-27T09:11:29Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:11, 27 ביולי 2021
שורה 528:		שורה 528:
	מתי כדאי לשים וקטורים בעמודות מטריצה ולדרג, ומתי כדאי לשים אותם בשורות מטריצה ולדרג?		מתי כדאי לשים וקטורים בעמודות מטריצה ולדרג, ומתי כדאי לשים אותם בשורות מטריצה ולדרג?

	=====~~פתרון~~=====		=====תשובה=====
	ראשית, הכוונה כמובן שלא שמים את הוקטורים בשורות/עמודות, אלא את הקואורדינטות, אבל נזרום עם זה.		ראשית, הכוונה כמובן שלא שמים את הוקטורים בשורות/עמודות, אלא את הקואורדינטות, אבל נזרום עם זה.

אריאל: /* תרגילים */

2021-07-27T09:01:58Z

תרגילים

@@ שורה 524: / שורה 524: @@
 \end{array}\right)\}</math>
 בסיס ל <math>\mathbb{R}^{3}</math>
 ==== תרגיל ====

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2020-07-23T14:29:39Z

תרגיל

@@ שורה 527: / שורה 527: @@
 ==== תרגיל ====
 השלימו את קבוצת הוקטורים (נתון שהם בת"ל) הבאה
-<math><math>\left\{ \left(\begin{array}{c}
+<math>\left\{ \left(\begin{array}{c}
 +i\\
 \\
@@ שורה 538: / שורה 538: @@
 \end{array}\right)\right\}</math> לבסיס של <math>\mathbb{C}^{4}</math>
 ==== תרגיל ====
 תהא A ריבועית מסדר n כך ש <math>A^2=0</math> הוכיחו כי <math>rank(A)\leq n/2</math>

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2020-07-23T14:25:10Z

תרגיל

@@ שורה 525: / שורה 525: @@
 בסיס ל <math>\mathbb{R}^{3}</math>
 ==== תרגיל ====
 תהא A ריבועית מסדר n כך ש <math>A^2=0</math> הוכיחו כי <math>rank(A)\leq n/2</math>

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2019-07-29T18:28:22Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:28, 29 ביולי 2019
שורה 589:		שורה 589:
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>		</math>

			==== תרגיל ====
			יהיו <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצות. הוכיחו כי <math>rank(A+B)\leq rank(A)+rank(B)</math>

			פתרון:
			מתקיים כי <math>C(A+B)\subseteq C(A)+C(B)</math> ולפי משפט המימדים <math> dim[C(A)+C(B)]\leq dimC(A)+ dimC(B)</math>

			==== תרגיל ====
			יהיו <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצות. הוכיחו כי <math>rank(A-B) \geq \|rank(A)-rank(B)\|</math>

			פתרון: מצד אחד <math>rank(A-B) \geq rank(A)-rank(B)</math> כי לפי תרגיל קודם <math>rank(A)=rank(A-B+B)\leq rank(A-B)+rank(B)</math> ונעביר אגף

			מצד שני <math>rank(A-B) \geq rank(B)-rank(A)</math> כי לפי תרגיל קודם <math>rank(B)=rank(B-A+A)\leq rank(B-A)+rank(A)</math> ונעביר אגף + נציין (כדאי להוכיח) כי <math>rank(M)=rank(-M)</math>

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2018-07-26T13:12:26Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:12, 26 ביולי 2018
שורה 529:		שורה 529:

	פתרון: מהנתון נקבל כי כל עמודה של A נמצאת במרחב האפס של A ולכן מרחב העמודות מוכל ב מרחב האפס <math>2rank(A)\leq \dim N(A)+\dim C(A)=n </math>. נחלק ב 2 ונקבל את המבוקש.		פתרון: מהנתון נקבל כי כל עמודה של A נמצאת במרחב האפס של A ולכן מרחב העמודות מוכל ב מרחב האפס <math>2rank(A)\leq \dim N(A)+\dim C(A)=n </math>. נחלק ב 2 ונקבל את המבוקש.

	==== תרגיל ====		==== תרגיל ====
	תרגיל. יהיו <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש <math>rank(A)+rank(B)>n</math>. הוכח <math>AB\not=0</math>		תרגיל. יהיו <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש <math>rank(A)+rank(B)>n</math>. הוכח <math>AB\not=0</math>

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2018-07-26T13:02:08Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:02, 26 ביולי 2018
שורה 525:		שורה 525:
	בסיס ל <math>\mathbb{R}^{3}</math>		בסיס ל <math>\mathbb{R}^{3}</math>

			==== תרגיל ====
			תהא A ריבועית מסדר n כך ש <math>A^2=0</math> הוכיחו כי <math>rank(A)\leq n/2</math>

			פתרון: מהנתון נקבל כי כל עמודה של A נמצאת במרחב האפס של A ולכן מרחב העמודות מוכל ב מרחב האפס <math>2rank(A)\leq \dim N(A)+\dim C(A)=n </math>. נחלק ב 2 ונקבל את המבוקש.
	==== תרגיל ====		==== תרגיל ====
	תרגיל. יהיו <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש <math>rank(A)+rank(B)>n</math>. הוכח <math>AB\not=0</math>		תרגיל. יהיו <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש <math>rank(A)+rank(B)>n</math>. הוכח <math>AB\not=0</math>

Eitan600: /* מרחבי המטריצות */

2017-08-31T16:10:48Z

מרחבי המטריצות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:10, 31 באוגוסט 2017
שורה 4:		שורה 4:
	תהי מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. מגדירים 4 מרחבים עיקריים:		תהי מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. מגדירים 4 מרחבים עיקריים:
	*'''מרחב העמודות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן <math>C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}=\{Ax\; \| \; x\in \mathbb{F}^n\}\leq\mathbb{F}^m</math>		*'''מרחב העמודות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן <math>C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}=\{Ax\; \| \; x\in \mathbb{F}^n\}\leq\mathbb{F}^m</math>
	*'''מרחב השורות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי ~~עמודות~~ המטריצה A. נסמן <math>R(A)=span\{R_1(A),...,R_m(A)\}=\{A^tx\; \| \; x\in \mathbb{F}^m\}=C(A^t)\leq\mathbb{F}^n</math>		*'''מרחב השורות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי שורות המטריצה A. נסמן <math>R(A)=span\{R_1(A),...,R_m(A)\}=\{A^tx\; \| \; x\in \mathbb{F}^m\}=C(A^t)\leq\mathbb{F}^n</math>
	*'''מרחב האפס''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>. נסמן <math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n\|Ax=0\}\leq\mathbb{F}^n</math>		*'''מרחב האפס''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>. נסמן <math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n\|Ax=0\}\leq\mathbb{F}^n</math>
	*'''מרחב האפס השמאלי''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>A^tx=0</math>. נסמן <math>N(A^t)=\{x\in\mathbb{F}^m\|A^tx=0\}=\{x\in\mathbb{F}^m\|x^tA=0\} \leq \mathbb{F}^m</math>		*'''מרחב האפס השמאלי''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>A^tx=0</math>. נסמן <math>N(A^t)=\{x\in\mathbb{F}^m\|A^tx=0\}=\{x\in\mathbb{F}^m\|x^tA=0\} \leq \mathbb{F}^m</math>

1239482242: /* יישום: השלמה לבסיס */

2017-03-14T08:15:22Z

יישום: השלמה לבסיס

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:15, 14 במרץ 2017
שורה 103:		שורה 103:

	==== יישום: השלמה לבסיס ====		==== יישום: השלמה לבסיס ====
	ראינו שמרחב השורות לא משתנה בדירוג. לכן כדי למצוא וקטור שאינו במרחב השורות, אפשר להסתכל הצורה המדורגת ולמצוא וקטור שאינו נמצא במרחב השורות של ~~המדוגרת~~.		ראינו שמרחב השורות לא משתנה בדירוג. לכן כדי למצוא וקטור שאינו במרחב השורות, אפשר להסתכל הצורה המדורגת ולמצוא וקטור שאינו נמצא במרחב השורות של המדורגת.
	כמו שראינו, אם <math>v\not\in span\{v_1,\dots, v_n\}</math> אזי <math>\{v_1,\dots v_n,v\}</math> בת"ל. ואם נמצא קבוצה בת"ל מקס' אזי היא בסיס.		כמו שראינו, אם <math>v\not\in span\{v_1,\dots, v_n\}</math> אזי <math>\{v_1,\dots v_n,v\}</math> בת"ל. ואם נמצא קבוצה בת"ל מקס' אזי היא בסיס.

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:10, 31 באוגוסט 2017
שורה 4:		שורה 4:
	תהי מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. מגדירים 4 מרחבים עיקריים:		תהי מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. מגדירים 4 מרחבים עיקריים:
	*'''מרחב העמודות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן <math>C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}=\{Ax\; \| \; x\in \mathbb{F}^n\}\leq\mathbb{F}^m</math>		*'''מרחב העמודות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן <math>C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}=\{Ax\; \| \; x\in \mathbb{F}^n\}\leq\mathbb{F}^m</math>
	*'''מרחב השורות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי ~~עמודות~~ המטריצה A. נסמן <math>R(A)=span\{R_1(A),...,R_m(A)\}=\{A^tx\; \| \; x\in \mathbb{F}^m\}=C(A^t)\leq\mathbb{F}^n</math>		*'''מרחב השורות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי שורות המטריצה A. נסמן <math>R(A)=span\{R_1(A),...,R_m(A)\}=\{A^tx\; \| \; x\in \mathbb{F}^m\}=C(A^t)\leq\mathbb{F}^n</math>
	*'''מרחב האפס''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>. נסמן <math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n\|Ax=0\}\leq\mathbb{F}^n</math>		*'''מרחב האפס''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>. נסמן <math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n\|Ax=0\}\leq\mathbb{F}^n</math>
	*'''מרחב האפס השמאלי''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>A^tx=0</math>. נסמן <math>N(A^t)=\{x\in\mathbb{F}^m\|A^tx=0\}=\{x\in\mathbb{F}^m\|x^tA=0\} \leq \mathbb{F}^m</math>		*'''מרחב האפס השמאלי''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>A^tx=0</math>. נסמן <math>N(A^t)=\{x\in\mathbb{F}^m\|A^tx=0\}=\{x\in\mathbb{F}^m\|x^tA=0\} \leq \mathbb{F}^m</math>