88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8 - היסטוריית גרסאות

אחיה בר-און: /* דוגמא 2 */

2020-07-30T13:12:30Z

דוגמא 2

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:12, 30 ביולי 2020
שורה 161:		שורה 161:


	מה היה קורה אם היינו מחליפים את <math>v_1,v_2,v_3</math> להיות		#מה היה קורה אם היינו מחליפים את <math>v_1,v_2,v_3</math> להיות

	<math>		<math>
	~~v_1~~=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},		u_1=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
	~~v_2~~= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix},		u_2= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix},
	~~v_3~~= \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}		u_3= \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}

	\in \mathbb{R}^3		\in \mathbb{R}^3
	</math>		</math>

	?		?
			האם קיימת הע"ל <math>T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> המקיימת <math>Tu_i=w_i</math> לכל <math>i</math>?

			#מה היה קורה אם היינו מחליפים ומגדירים <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math> ?
	מה היה קורה אם היינו מחליפים ומגדירים <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math> ?

	תשובה: לא היינו יכולים להגדיר הע"ל כנדרש בשאלה כי מתקיים ש <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> ואם מתקיים <math>Tv_1=w_1,Tv_2=w_2</math> אזי בהכרח <math>Tv_3</math> צריך להיות מוגדר לפי הקשר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> שלא מתקיים עבור <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math>		תשובה: לא היינו יכולים להגדיר הע"ל כנדרש בשאלה כי מתקיים ש <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> ואם מתקיים <math>Tv_1=w_1,Tv_2=w_2</math> אזי בהכרח <math>Tv_3</math> צריך להיות מוגדר לפי הקשר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> שלא מתקיים עבור <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math>

אחיה בר-און: /* דוגמא 2 */

2020-07-30T13:10:02Z

דוגמא 2

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:10, 30 ביולי 2020
שורה 159:		שורה 159:
	ולכן הדרישה כי <math>Tv_3=w_3</math> מתקבלת "בחינם" ולכן אפשר לוותר עליה.. כעת, ניתן להשלים את <math>v_1,v_2</math> לבסיס <math>v_1,v_2,v</math>		ולכן הדרישה כי <math>Tv_3=w_3</math> מתקבלת "בחינם" ולכן אפשר לוותר עליה.. כעת, ניתן להשלים את <math>v_1,v_2</math> לבסיס <math>v_1,v_2,v</math>
	ולהגדיר <math>Tv_i=w_i, Tv=0</math>/ לפי משפט ההגדרה, אכן הגדרנו ה"ל. לפי ההגדרה שהגדנו היא מקיימת את תנאי השאלה.		ולהגדיר <math>Tv_i=w_i, Tv=0</math>/ לפי משפט ההגדרה, אכן הגדרנו ה"ל. לפי ההגדרה שהגדנו היא מקיימת את תנאי השאלה.


			מה היה קורה אם היינו מחליפים את <math>v_1,v_2,v_3</math> להיות

			<math>
			v_1=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
			v_2= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix},
			v_3= \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}

			\in \mathbb{R}^3
			</math>

			?

Relweiz: /* תרגיל */

2019-08-04T08:07:47Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:07, 4 באוגוסט 2019
שורה 352:		שורה 352:
	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===

	תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכח שהבאים שקולים		תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכח שהבאים שקולים:

	1. <math>KerT = KerT^2</math>		1. <math>KerT = KerT^2</math>.
	2. <math>ImT^2 = ImT</math>
	3. <math>V=KerT\oplus ImT</math>		2. <math>ImT^2 = ImT</math>.

			3. <math>V=KerT\oplus ImT</math>.

	====פתרון:====		====פתרון:====

Relweiz: /* תרגיל */

2019-08-04T08:03:32Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:03, 4 באוגוסט 2019
שורה 326:		שורה 326:
	הוכחה:		הוכחה:

	נסתכל על ה"ל <math>T_W:W\to V</math> אזי מתקיים כי <math>KerT_W = W\cap kerT=0</math> ולכן <math>T_W</math> חח"ע. אם נבחר בסיס ל <math>B</math> אזי <math>T(B)</math> גם כן בסיס		נסתכל על ה"ל <math>T_W:W\to V</math> אזי מתקיים כי <math>KerT_W = W\cap kerT=0</math> ולכן <math>T_W</math> חח"ע. אם נבחר בסיס <math>B</math> ל -<math>W</math>, אזי <math>T(B)</math> גם כן בסיס

	ואז <math>\dim W =\|B\|=\|T(B)\|= \dim T(W)</math>		ואז <math>\dim W =\|B\|=\|T(B)\|= \dim T(W)</math>

Relweiz: /* תרגיל = */

2019-08-04T07:57:14Z

תרגיל =

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:57, 4 באוגוסט 2019
שורה 320:		שורה 320:
	כנדרש.		כנדרש.

	== תרגיל ===		=== תרגיל ===

	תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל, <math>W\leq V</math> ת"מ. נתון כי <math>W\cap KerT=0</math>. הוכח כי <math>\dim W = \dim T(W)</math>		תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל, <math>W\leq V</math> ת"מ. נתון כי <math>W\cap KerT=0</math>. הוכח כי <math>\dim W = \dim T(W)</math>

Relweiz ב־07:23, 4 באוגוסט 2019

2019-08-04T07:23:35Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:23, 4 באוגוסט 2019
שורה 16:		שורה 16:


	==דוגמאות ==		==דוגמאות==

	1. יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>		1. יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>
שורה 72:		שורה 72:
	</math>		</math>

	== תרגיל ==		=== תרגיל ===
	יהיו <math>T,S:V\to W</math> שתי הע"ל. <math>B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}</math> בסיס ל <math>V</math>. נניח <math>T(v_{i})=S(v_{i})</math> לכל <math>1\leq i\leq n</math>		יהיו <math>T,S:V\to W</math> שתי הע"ל. <math>B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}</math> בסיס ל <math>V</math>. נניח <math>T(v_{i})=S(v_{i})</math> לכל <math>1\leq i\leq n</math>

שורה 165:		שורה 165:
	תשובה: לא היינו יכולים להגדיר הע"ל כנדרש בשאלה כי מתקיים ש <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> ואם מתקיים <math>Tv_1=w_1,Tv_2=w_2</math> אזי בהכרח <math>Tv_3</math> צריך להיות מוגדר לפי הקשר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> שלא מתקיים עבור <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math>		תשובה: לא היינו יכולים להגדיר הע"ל כנדרש בשאלה כי מתקיים ש <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> ואם מתקיים <math>Tv_1=w_1,Tv_2=w_2</math> אזי בהכרח <math>Tv_3</math> צריך להיות מוגדר לפי הקשר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> שלא מתקיים עבור <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math>

	== ~~הגדרות~~==		== גרעין, תמונה ודרגה==
	תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל.		תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל.
	#הגרעין של <math>T</math> מוגדר <math>\ker T=\{v\in V\,\|\,T(v)=0\}\leq V</math>		#הגרעין של <math>T</math> מוגדר <math>\ker T=\{v\in V\,\|\,T(v)=0\}\leq V</math>
שורה 196:		שורה 196:
	# יהא <math>v\in ImT^2</math> אזי <math>\exists w: T^2w=v</math> ולכן <math>T(Tw)=T^2w=v</math>. כלומר <math>v\in ImT</math>		# יהא <math>v\in ImT^2</math> אזי <math>\exists w: T^2w=v</math> ולכן <math>T(Tw)=T^2w=v</math>. כלומר <math>v\in ImT</math>

	== משפט ==		=== משפט ===

	תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל.		תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל.
שורה 202:		שורה 202:
	אזי <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math> מתקיים כי <math>kerT=\{0\}</math>		אזי <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math> מתקיים כי <math>kerT=\{0\}</math>

	=== תרגיל: ===		==== תרגיל: ====

	תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל. ויהיו <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> וקטורים ב <math>V</math> אזי		תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל. ויהיו <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> וקטורים ב <math>V</math> אזי
שורה 208:		שורה 208:
	# אם <math>T</math> חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל אז <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math>		# אם <math>T</math> חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל אז <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math>

	הוכחה		=====הוכחה=====
	# נניח <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. נפעיל <math>T</math> על שני האגפים ונקבל מלינאריות של <math>T</math> כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. כיוון שנתון ש <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש.		# נניח <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. נפעיל <math>T</math> על שני האגפים ונקבל מלינאריות של <math>T</math> כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. כיוון שנתון ש <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש.
	# נניח כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i)_ = 0</math> כיוון ש <math>T</math> חח"ע נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. כיוון ש <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש.		# נניח כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i)_ = 0</math> כיוון ש <math>T</math> חח"ע נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. כיוון ש <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש.

	=== תרגיל ===		==== תרגיל ====
	<math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל חח"ע?		<math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל חח"ע?

	פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> חח"ע אזי כיוון ש <math>1,x,x^2</math> בתל גם <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> בת"ל אבל <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.		פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> חח"ע אזי כיוון ש <math>1,x,x^2</math> בתל גם <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> בת"ל אבל <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.

	=== תרגיל ===		==== תרגיל ====
	<math>V=\mathbb{R}^3,\,W=\mathbb{R}^{4}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל על?		<math>V=\mathbb{R}^3,\,W=\mathbb{R}^{4}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל על?

	פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> על אזי יש מקור ל <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math>. נסמן את המקורות ב<math>v_i</math> כלומר <math>Tv_i=e_i</math>. כיוון ש <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math> בת"ל גם <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> בת"ל אבל <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.		פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> על אזי יש מקור ל <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math>. נסמן את המקורות ב<math>v_i</math> כלומר <math>Tv_i=e_i</math>. כיוון ש <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math> בת"ל גם <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> בת"ל אבל <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.

	== תרגיל ==		=== תרגיל ===
	תהא <math>T:V\to W</math> ה"ל. תהא <math>A\subseteq V</math> תת קבוצה. אזי <math>T(span(A))=spanT(A)</math>		תהא <math>T:V\to W</math> ה"ל. תהא <math>A\subseteq V</math> תת קבוצה. אזי <math>T(span(A))=spanT(A)</math>

שורה 235:		שורה 235:
	מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i)\in T(span(A))</math>		מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i)\in T(span(A))</math>

	'''מסקנה''' לכל תת מרחב <math>W\leq V</math> מתקיים כי <math>T(W)</math> תת מרחב.		'''מסקנה:''' לכל תת מרחב <math>W\leq V</math> מתקיים כי <math>T(W)</math> תת מרחב.

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===
שורה 320:		שורה 320:
	כנדרש.		כנדרש.

	== תרגיל ==		== תרגיל ===

	תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל, <math>W\leq V</math> ת"מ. נתון כי <math>W\cap KerT=0</math>. הוכח כי <math>\dim W = \dim T(W)</math>		תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל, <math>W\leq V</math> ת"מ. נתון כי <math>W\cap KerT=0</math>. הוכח כי <math>\dim W = \dim T(W)</math>
שורה 339:		שורה 339:
	נסתכל על ה"ל <math>T:\mathbb{F}^{n\times n} \to \mathbb{F} </math> המוגדרת <math>T(A)=tr(A)</math> מצא בסיס לגרעין העתקה.		נסתכל על ה"ל <math>T:\mathbb{F}^{n\times n} \to \mathbb{F} </math> המוגדרת <math>T(A)=tr(A)</math> מצא בסיס לגרעין העתקה.

	פתרון:		====פתרון:====

	<math>T</math> היא על כי לכל <math>a\in \mathbb{F}</math> יש מקור. למשל <math>a\cdot E_{1,1}</math>.		<math>T</math> היא על כי לכל <math>a\in \mathbb{F}</math> יש מקור. למשל <math>a\cdot E_{1,1}</math>.
שורה 358:		שורה 358:
	3. <math>V=KerT\oplus ImT</math>		3. <math>V=KerT\oplus ImT</math>

	פתרון:		====פתרון:====

	ממשפט הדרגה מתקיים (פעם אחת עבור <math>T</math> ופעם אחת עבור <math>T^2</math> כי		ממשפט הדרגה מתקיים (פעם אחת עבור <math>T</math> ופעם אחת עבור <math>T^2</math> כי
שורה 394:		שורה 394:
	ה"ל <math>T:V\to W</math> היא הפיכה אם יש הע"ל<math>S:W\to V</math> כך ש: <math>ST=Id_V,TS=Id_W</math>. במקרה זה מסמנים <math>T^{-1}=S</math>		ה"ל <math>T:V\to W</math> היא הפיכה אם יש הע"ל<math>S:W\to V</math> כך ש: <math>ST=Id_V,TS=Id_W</math>. במקרה זה מסמנים <math>T^{-1}=S</math>

	~~'''~~משפט~~'''~~		===משפט===
	<math>T</math> הפיכה אמ"מ <math>T</math> חח"ע ועל		<math>T</math> הפיכה אמ"מ <math>T</math> חח"ע ועל

שורה 400:		שורה 400:


	~~'''~~תכונות~~'''~~		===תכונות===
	# אם <math>T</math> הפיכה אז גם ההופכית ומתקיים<math>(T^{-1})^{-1}=T</math>		# אם <math>T</math> הפיכה אז גם ההופכית ומתקיים<math>(T^{-1})^{-1}=T</math>
	# יהיו <math>T,S:V\to V</math> שתי הע"ל אזי <math>T,S</math> הפיכות אמ"מ ההרכבה <math>ST</math> הפיכה. במקרה זה מתקיים <math>(ST)^{-1} =T^{-1}S^{-1}</math>		# יהיו <math>T,S:V\to V</math> שתי הע"ל אזי <math>T,S</math> הפיכות אמ"מ ההרכבה <math>ST</math> הפיכה. במקרה זה מתקיים <math>(ST)^{-1} =T^{-1}S^{-1}</math>
שורה 439:		שורה 439:
	כעת עבור מציאת איזו' בין 2 מרחבים <math>V,W</math> זה פשוט יהיה <math>T_{B'}^{-1}T_B</math> כאשר <math>B</math> בסיס ל <math>V</math> ו- <math>B'</math> בסיס ל <math>W</math>		כעת עבור מציאת איזו' בין 2 מרחבים <math>V,W</math> זה פשוט יהיה <math>T_{B'}^{-1}T_B</math> כאשר <math>B</math> בסיס ל <math>V</math> ו- <math>B'</math> בסיס ל <math>W</math>

	דוגמא		====דוגמא====

	<math>\mathbb{C}^{2\times 3} \cong \mathbb{C}^6 \cong \mathbb{C}_5 [x] \cong span\{e_1, e_7, e_{12},e_{101}\} </math>		<math>\mathbb{C}^{2\times 3} \cong \mathbb{C}^6 \cong \mathbb{C}_5 [x] \cong span\{e_1, e_7, e_{12},e_{101}\} </math>

Relweiz: /* העתקות לינאריות (הע"ל) */

2019-08-04T06:50:25Z

העתקות לינאריות (הע"ל)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:50, 4 באוגוסט 2019
שורה 1:		שורה 1:
	=העתקות לינאריות (הע"ל)=		=העתקות לינאריות (הע"ל)=

	'''הגדרה:''' יהיו <math>V,W</math> שני מ"ו מעל ''אותו'' שדה <math>\mathbb{F}</math>. ~~הע"ל היא~~ פונקציה <math>T:V\to W</math> אם		'''הגדרה:''' יהיו <math>V,W</math> שני מ"ו מעל ''אותו'' שדה <math>\mathbb{F}</math>. פונקציה <math>T:V\to W</math> היא הע"ל אם
	# <math>\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)</math>		# <math>\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)</math>
	# <math>\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)</math>		# <math>\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)</math>

464497330 ב־05:54, 8 באוגוסט 2016

2016-08-08T05:54:23Z

הצגת שינויים

אחיה בר-און: /* הפיכות ואיזמורפיזם */

2016-03-16T12:28:40Z

הפיכות ואיזמורפיזם

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:28, 16 במרץ 2016
שורה 402:		שורה 402:
	'''תכונות'''		'''תכונות'''
	# אם <math>T</math> הפיכה אז גם ההופכית ומתקיים<math>(T^{-1})^{-1}=T</math>		# אם <math>T</math> הפיכה אז גם ההופכית ומתקיים<math>(T^{-1})^{-1}=T</math>
	# <math>T,S</math> הפיכות אמ"מ ההרכבה <math>ST</math> הפיכה. במקרה זה מתקיים <math>(ST)^{-1} =T^{-1}S^{-1}</math>		# יהיו <math>T,S:V\to V</math> שתי ה"ל אזי <math>T,S</math> הפיכות אמ"מ ההרכבה <math>ST</math> הפיכה. במקרה זה מתקיים <math>(ST)^{-1} =T^{-1}S^{-1}</math>
	# אם ה"ל <math>L_A(v)=Av</math> הפיכה אז ההופכית היא <math>L_{A^{-1}}</math>		# אם ה"ל <math>L_A(v)=Av</math> הפיכה אז ההופכית היא <math>L_{A^{-1}}</math>

אחיה בר-און: /* הגדרות */

2016-03-14T09:06:15Z

הגדרות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:06, 14 במרץ 2016
שורה 167:		שורה 167:
	== הגדרות==		== הגדרות==
	תהא <math>T:V\to W</math> ה"ל.		תהא <math>T:V\to W</math> ה"ל.
	#הגרעין של <math>T</math> מוגדר <math>kerT=\{v\in V\,\|\,T(v)=0\}\~~subset~~ V</math>		#הגרעין של <math>T</math> מוגדר <math>kerT=\{v\in V\,\|\,T(v)=0\}\leq V</math>
	#התמונה של <math>T</math> מוגדרת <math>ImgT=\{T(v)\,\|\,v\in V\}\~~subset~~ W</math>		#התמונה של <math>T</math> מוגדרת <math>ImgT=\{T(v)\,\|\,v\in V\}\leq W</math>
	#הדרגה של <math>T</math> מוגדרת <math>rank(T)=dim(ImgT)</math>		#הדרגה של <math>T</math> מוגדרת <math>rank(T)=dim(ImgT)</math>