88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* התכנסות במובן הרחב */

2020-10-20T12:43:07Z

התכנסות במובן הרחב

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:43, 20 באוקטובר 2020
שורה 244:		שורה 244:

	==התכנסות במובן הרחב==		==התכנסות במובן הרחב==

			<videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash>


	דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים.		דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים.

ארז שיינר: /* גבול של סדרה */

2020-10-20T12:42:16Z

גבול של סדרה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:42, 20 באוקטובר 2020
שורה 2:		שורה 2:

	==גבול של סדרה==		==גבול של סדרה==

			<videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>


	===ההגדרה המדויקת של סדרה===		===ההגדרה המדויקת של סדרה===
	<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>		<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>

אסף25 ב־17:55, 4 בנובמבר 2019

2019-11-04T17:55:12Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:55, 4 בנובמבר 2019
שורה 6:		שורה 6:
	בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4\|פונקציה]]. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים.		בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדויקת של [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4\|פונקציה]]. סדרה הנה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הנה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים.

	באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האבר השני וכן הלאה.		באופן טבעי התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האבר השני וכן הלאה.

	===גבול של סדרה===		===גבול של סדרה===

יהודה שמחה ב־07:15, 10 בפברואר 2017

2017-02-10T07:15:35Z

הצגת שינויים

יהודה שמחה ב־21:07, 27 בינואר 2016

2016-01-27T21:07:25Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:07, 27 בינואר 2016
שורה 140:		שורה 140:

	תשובה: לא. כל האפשרויות מתקבלות:		תשובה: לא. כל האפשרויות מתקבלות:
			*<math>a_n=\frac1{n}\ ,\ b_n=(-1)^n</math> אזי
	*<math>a_n=\~~frac{1}~~{n},b_n=(-1)^n</math> אזי		:<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0</math>
	:<math>\lim_{n\~~rightarrow~~\infty}~~a_nb_n~~=\lim_{n\~~rightarrow~~\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0</math>

	*<math>a_n=\frac1{n}\ ,\ b_n=n</math> אזי		*<math>a_n=\frac1{n}\ ,\ b_n=n</math> אזי
	:<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}=1</math>		:<math>\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}=1</math>

	*<math>a_n=\~~frac{1}~~{n},b_n=n^2\big((-1)^n+1\big)</math> אזי		*<math>a_n=\frac1{n}\ ,\ b_n=n^2\big((-1)^n+1\big)</math> אזי
	:<math>\not\exists\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\~~big(~~(-1)^n+1\~~big)~~</math> (לא קיים גבול לסדרה זו)		:<math>\not\exists\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}\bigg[(-1)^n+1\bigg]</math> (לא קיים גבול לסדרה זו)


שורה 237:		שורה 236:


	ב. תנו דוגמה לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה		ב. תנו דוגמה לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.
	<math>\~~lim_~~{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

	'''פתרון.'''		'''פתרון.'''

	נתבונן בסדרה		נתבונן בסדרה
	<math>x_n=\left \{		<math>x_n=\left \{\begin{array}{cl}\frac1{n} & n~ {\rm odd}\\0 & n~{\rm even}\\\end{array}\right.</math>
	\begin{array}{cl}
	1/n & n~ {\rm odd}\\
	0 & n~{\rm even}\\
	\end{array}\right.
	</math>

	ברור כי <math>\~~lim_~~{n\to\infty}x_n=0</math> ו <math>\~~lim_~~{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.		ברור כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0</math> ו- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

	==חוק ~~הסנדביץ~~'==		==חוק הסנדוויץ'==
	הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור ~~בינהם~~ ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\~~leq~~ b_n\~~leq~~ c_n</math> וגם ידוע כי <math>\lim a_n=\lim c_n =L</math> אזי בהכרח <math>\lim b_n = L</math>		הידוע גם בגרסא הרוסית חוק השוטרים והשיכור; לפיו אם שני שוטרים מובילים אדם שיכור ביניהם ושני השוטרים מגיעים לתחנה, אזי גם השיכור (שאינו הולך ישר) יגיע איתם לתחנה. באופן דומה, אם מתקיים <math>\forall n:a_n\le b_n\le c_n</math> וגם ידוע כי <math>\lim a_n=\lim c_n =L</math> אזי בהכרח <math>\lim b_n = L</math> .


שורה 260:		שורה 253:
	</font>		</font>
	מצא את גבול הסדרה <math>(2^n+3^n)^{\frac{1}{n}}</math>		מצא את גבול הסדרה <math>(2^n+3^n)^{\frac{1}{n}}</math>


	'''פתרון.'''		'''פתרון.'''
			:<math>3^n\le 2^n+3^n\le 3^n+3^n = 2\cdot 3^n</math>
	::<math>3^n\~~leq~~ 2^n+3^n\~~leq~~ 3^n+3^n = 2\cdot 3^n</math>

	לכן,		לכן,
			:<math>3=(3^n)^\frac1{n}\le (2^n+3^n)^\frac1{n}\le (2\cdot 3^n)^\frac1{n}=2^\frac1{n}\cdot 3</math>
			כיון שמתקיים
			:<math>\lim 2^\frac1{n}=1</math>

	~~::<math>3=(3^n)^{\frac{1}{n}} \leq (2^n+3^n)^{\frac{1}{n}} \leq (2\cdot 3^n)^\frac{1}{n}=2^\frac{1}{n}\cdot 3</math>~~

	~~כיוון שמתקיים~~

	~~::<math>\lim 2^\frac{1}{n}=1</math>~~		סה"כ שני צדי אי-השוויון מתכנסים ל- <math>3</math> ואז לפי חוק הסנדוויץ' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל- <math>3</math>.


	סה"כ שני ~~צידי~~ אי ~~השיוויון~~ מתכנסים ל-3 ואז לפי חוק ~~הסנדביץ~~' גם הסדרה שלנו מתכנסת ל-3.

	==התכנסות במובן הרחב==		==התכנסות במובן הרחב==
	דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי ~~מסויים~~. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון ~~מסויים~~.		דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסוים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסוים.

	<font size=4 color=#3c498e>		<font size=4 color=#3c498e>
	'''הגדרה.'''		'''הגדרה.'''
	</font>		</font>
	תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\~~mathbb{~~N}</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</math>		תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי אומרים כי הסדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם '''לכל''' <math>M>0</math> '''קיים''' <math>N_M\in\N</math> כך ש'''לכל''' <math>n>N_M</math> מתקיים <math>a_n>M</math> .

	הערה: שימו לב ש-M בדומה ~~לאפסילון~~ מודד מרחק, אך ~~מכיוון~~ שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות M ולא באות ~~אפסילון~~. אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס.		הערה: שימו לב ש-<math>M</math> בדומה ל- <math>\epsilon</math> מודד מרחק, אך מכיון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות <math>M</math> ולא באות <math>\epsilon</math>. אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס.

	ההגדרה להתכנסות במובן הרחב ~~למינוס אינסוף~~ דומה עם שינויים קלים בהתאם.		ההגדרה להתכנסות במובן הרחב ל- <math>-\infty</math> דומה עם שינויים קלים בהתאם.

	<font size=4 color=#a7adcd>		<font size=4 color=#a7adcd>
שורה 295:		שורה 283:

	'''פתרון.''' נוכיח כי סדרה זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.		'''פתרון.''' נוכיח כי סדרה זו מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.
			:<math>n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots \frac{n}{2} \cdots n</math> (המקרה בו <math>n</math> אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו).
	:::<math>n!=1\cdot 2\cdot 3 \cdots \frac{n}{2} \cdots n</math> (המקרה בו n אינו זוגי מאד דומה אך דורש התעסקות עדינה יותר, לא נפרט לגביו).		*נקטין את החצי הראשון של האיברים להיות <math>1</math>, ואת החצי השני של האיברים להיות <math>\frac{n}{2}</math> ונקבל:
			:<math>n!\ge\frac{n}{2}\cdots\frac{n}{2}=\bigg(\frac{n}{2}\bigg)^\frac{n}{2}</math>
	*נקטין את החצי הראשון של האיברים להיות 1, ואת החצי השני של האיברים להיות <math>\frac{n}{2}</math> ונקבל:

	:::<math>n!\~~geq~~ \frac{n}{2}\cdots\frac{n}{2}=(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}</math>

	ולכן,		ולכן,
			:<math>\sqrt[n]{n!}\ge\sqrt[n]{\bigg(\frac{n}{2}\bigg)^\frac{n}{2}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\to\infty</math>
	:::<math>\sqrt[n]{n!}\~~geq~~\sqrt[n]{(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\~~rightarrow~~\infty</math>

	קל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל איבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.		קל להוכיח שאם סדרה שואפת לאינסוף, סדרה הגדולה ממנה בכל איבר גם שואפת לאינסוף, כפי שרצינו.

יהודה שמחה ב־18:15, 27 בינואר 2016

2016-01-27T18:15:56Z

הצגת שינויים

Grgga pitich: /* אי שוויון הממוצעים */

2012-11-24T04:01:21Z

אי שוויון הממוצעים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־04:01, 24 בנובמבר 2012
שורה 253:		שורה 253:
	בסתירה לכך ש <math>\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\|x_n\|=0</math>.		בסתירה לכך ש <math>\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\|x_n\|=0</math>.

	~~(הערה: ניתן להשתמש בתוצאה זו כדי להראות כי הסדרה <math>\{x_n\}=\{q^n\}</math> מתכנסת לאפס עבור <math>\|q\|<1</math>.)~~

	ב. תנו דוגמה לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה		ב. תנו דוגמה לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה
	<math>\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.		<math>\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

Grgga pitich: /* אי שוויון הממוצעים */

2012-11-23T09:30:04Z

אי שוויון הממוצעים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:30, 23 בנובמבר 2012
שורה 256:		שורה 256:

	ב. תנו דוגמה לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה		ב. תנו דוגמה לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה
	<math>L=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.		<math>\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

	'''פתרון.'''		'''פתרון.'''

Grgga pitich ב־13:03, 22 בנובמבר 2012

2012-11-22T13:03:16Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:03, 22 בנובמבר 2012
שורה 230:		שורה 230:

	<math>\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{n-1}=1</math>. מש"ל.		<math>\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{n-1}=1</math>. מש"ל.


			<font size=4 color=#a7adcd>
			'''תרגיל.'''
			</font>
			תהי <math>\{x_n\}</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>a</math>.

			א. הוכיחו כי אם קיים הגבול <math>L=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אזי <math>\|L\|\leq 1</math>.


			'''פתרון.'''

			אם <math>\lim_{n\to\infty}x_n\neq 0</math> נקבל
			<math>\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\lim_{n\to\infty}x_{n+1}}{\lim_{n\to\infty}x_n}=\frac{a}{a}=1</math>.

			אחרת, <math>\lim_{n\to\infty}x_n=0</math>.
			מאי שוויון המשולש נקבל <math>\left \|\left \|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right \|-\|L\|\right \|\leq \left \|\frac{x_{n+1}}{x_n}-L\right \|<\epsilon,~\forall n>N_\epsilon</math>.

			נובע כי <math>\|x_{n+1}\|>(\|L\|-\epsilon)\|x_n\|,~\forall n>N_\epsilon</math>.
			נניח כעת, בשלילה, כי <math>\|L\|>1</math>, ניקח <math>\epsilon = \|L\|-1</math> ונקבל כי <math>\|x_{n+1}\|>\|x_n\|,~\forall n>N_\epsilon</math>

			בסתירה לכך ש <math>\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\|x_n\|=0</math>.

			(הערה: ניתן להשתמש בתוצאה זו כדי להראות כי הסדרה <math>\{x_n\}=\{q^n\}</math> מתכנסת לאפס עבור <math>\|q\|<1</math>.)

			ב. תנו דוגמה לסדרה מתכנסת <math>\{x_n\}</math> עבורה
			<math>L=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

			'''פתרון.'''

			נתבונן בסדרה
			<math>x_n=\left \{
			\begin{array}{cl}
			1/n & n~ {\rm odd}\\
			0 & n~{\rm even}\\
			\end{array}\right.
			</math>

			ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x_n=0</math> ו <math>\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}</math> אינו קיים.

	==חוק הסנדביץ'==		==חוק הסנדביץ'==

ארז שיינר: /* אריתמטיקה (חשבון) של גבולות */

2011-12-17T17:01:36Z

אריתמטיקה (חשבון) של גבולות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:01, 17 בדצמבר 2011
שורה 160:		שורה 160:
	'''תרגיל חשוב מאד.'''		'''תרגיל חשוב מאד.'''
	</font>		</font>
	תהי סדרה <math>a_n\rightarrow 0</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים M כך שלכל מקום בסדרה n מתקיים <math>\|~~a_n~~\|<M</math>. ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האיברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).		תהי סדרה <math>a_n\rightarrow 0</math> ותהי <math>b_n</math> סדרה '''חסומה'''. (כלומר, קיים M כך שלכל מקום בסדרה n מתקיים <math>\|b_n\|<M</math>. ישנם אינסוף מספרים בסדרה, אבל קבוצת האיברים שנמצאים בסדרה חסומה מלעיל ומלרע).

	:הוכח: <math>a_nb_n\rightarrow 0</math>		:הוכח: <math>a_nb_n\rightarrow 0</math>