88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־01:27, 16 בפברואר 2017

2017-02-16T01:27:47Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־01:27, 16 בפברואר 2017
שורה 7:		שורה 7:

	;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>		;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>
	סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m,n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>\|a_m-a_n\|<\varepsilon</math>		סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m>n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>\|a_m-a_n\|<\varepsilon</math>

	במילים, אם לכל מרחק <math>\varepsilon</math> קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני אברים''' שואף ל-0, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.		במילים, אם לכל מרחק <math>\varepsilon</math> קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני אברים''' שואף ל-0, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.
שורה 33:		שורה 33:


	<font size=4 color=#a7adcd>~~'''~~תרגיל.~~'''~~</font>		;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>
			תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>\|a_{n+1}-a_n\|\le p\|a_n-a_{n-1}\|</math> עבור <math>0<p<1</math> . הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

	~~תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>\|a_{n+1}-a_n\|\le p\|a_n-a_{n-1}\|</math> עבור <math>0<p<1</math> . הוכח ש-~~ <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.		;פתרון
			נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

	~~;פתרון~~		ראשית, נשים לב כי <math>\|a_{n+1}-a_n\|\le p\|a_n-a_{n-1}\|\le p^2\|a_{n-1}-a_{n-2}\|\le\cdots\le p^{n-1}\|a_2-a_1\|</math> .
	~~נוכיח ש-~~ <math>\{~~a_n~~\}</math> ~~סדרת קושי, ולכן מתכנסת~~.

	~~דבר ראשון, נשים לב ש- <math>\|a_{n+1}-a_n\|\le p\|a_n-a_{n-1}\|\le p^2\|a_{n-1}-a_{n-2}\|\le\cdots\le p^{n-1}\|a_2-a_1\|</math> .~~ נסמן <math>d=\|a_2-a_1\|</math> ולכן סה"כ <math>\|a_{n+1}-a_n\|\le p^{n-1}d</math>		נסמן <math>d=\|a_2-a_1\|</math> ולכן סה"כ <math>\|a_{n+1}-a_n\|\le p^{n-1}d</math>

	כעת,		כעת,

	<math>\|a_m-a_n\|=\|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\|\le</math>		<math>\begin{align}
			\|a_m-a_n\|&=\Big\|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big\|\\
			&\le\|a_m-a_{m-1}\|+\|a_{m-1}-a_{m-2}\|+\cdots+\|a_{n+2}-a_{n+1}\|+\|a_{n+1}-a_n\|\\
			&\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)=p^{n-1}d\left(\dfrac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right)\le p^{n-1}\dfrac{d}{1-p}\to0
			\end{align}</math>

	~~<math>\le\|a_m-a_{m-1}\|+\|a_{m-1}-a_{m-2}\|+\cdots+\|a_{n+1}-a_n\|\leq</math>~~		(לפי מה שהראינו)

	<math>~~\le p^{m-2}d+\cdots+~~p^{n~~-1}d=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+~~\~~cdots+1)=~~p~~^{n-1}d\left(\frac{~~1~~-p^{m-n-1}}{1-p}\right)\le p^{n-1}\frac{d}{1-p}\to0~~</math> ~~(לפי מה שהראינו)~~		מכיון ש- <math>p^n\to0</math> עבור <math>p<1</math> .

	~~מכיון ש- <math>p^n\to0</math> עבור p<1.~~


	~~<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>~~

			;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>
	תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה		תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה

שורה 62:		שורה 64:

	;הוכחה		;הוכחה
	נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>\~~epsilon~~>0</math> ~~כלשהו~~. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני אברים קטן מ- <math>\~~epsilon~~</math> . נביט במרחק בין שני אברים כלשהם:		נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי <math>\varepsilon>0</math> . צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני אברים קטן מ- <math>\varepsilon</math> . נביט במרחק בין שני אברים כלשהם:

	<math>\|a_m-a_n\|=\Big\|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-\cdots+a_{n+1}-a_n\Big\|\le</math>		<math>\begin{align}
			\|a_m-a_n\|&=\Big\|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big\|\\
			&\le\|a_m-a_{m-1}\|+\cdots+\|a_{n+1}-a_n\|=\dfrac1{m^2}+\cdots+\dfrac1{(n+1)^2}\\&\le\dfrac1{m(m-1)}+\cdots+\frac1{(n+1)n}\\
			&=\dfrac1{m-1}-\dfrac1m+\dfrac1{m-2}-\dfrac1{m-1}+\cdots+\dfrac1n-\dfrac1{n+1}=\dfrac1n-\dfrac1m\le\dfrac1n\end{align}</math>

	~~לפי אי~~-~~שוויון המשולש זה קטן או שווה ל:~~		נעזרנו בנוסחא <math>\dfrac1{k(k-1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k</math>

	<math>~~\|a_m-a_{m-1}\|+~~\~~cdots+\|a_~~{~~n+1}-a_n\|=~~\~~frac{1~~}{m~~^2}+\cdots+\frac{1}{(~~n~~+1)^2}~~\le</math>		וכרגיל, עבור <math>N_\varepsilon>\dfrac1{\varepsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\varepsilon</math>

	~~<math>\le\frac{1}{m(m-1)}+\cdots+\frac{1}{(n+1)n}=</math>~~

	~~כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה:~~ <math>~~\frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}~~</math>		;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>
			תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על-ידי כלל הנסיגה

	~~<math>=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\le\frac{1}{n}</math>~~		<math>a_{n+1}=a_n+\dfrac1{n+1}</math>

	~~וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon>\frac{1}{\epsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\epsilon</math>~~


	~~<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>~~

	~~תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה~~

	:<math>a_{n+1}=a_n+\~~frac{1}~~{n+1}</math>

	הוכח כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).		הוכח כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).


	;הוכחה		;הוכחה
	דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הנה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n=\~~frac{1}~~{n+1}>0</math>.		דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הנה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n=\dfrac1{n+1}>0</math> .

	לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.		לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.

	ניקח <math>\~~epsilon~~=\~~frac{1}{2}~~</math>. יהי <math>N\in\N</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math> . ניקח <math>m=2n</math> . מתקיים,		ניקח <math>\varepsilon=\tfrac12</math>. יהי <math>N\in\N</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math> . ניקח <math>m=2n</math> . מתקיים:

	~~<math>\|a_{2n}-a_n\|=\Big\|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}+a_{2n-2}-\cdots+a_{n+1}-a_n\Big\|=</math>~~

	<math>=\~~frac~~{1}{2n}+\cdots+~~\frac{~~1}{n+1}\ge\~~frac~~{1}{2n}+\cdots+\~~frac{1}~~{2n}=\frac{n}{2n}=\~~frac{1}~~{2}</math>		<math>\begin{align}\|a_{2n}-a_n\|&=\Big\|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big\|\\
			&=\frac1{2n}+\cdots+\frac1{n+1}\ge\frac1{2n}+\cdots+\frac1{2n}=\frac{n}{2n}=\frac12\end{align}</math>

	ולכן מתקיימת '''שלילת''' ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.		ולכן מתקיימת '''שלילת''' ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.

יהודה שמחה ב־22:51, 15 בפברואר 2017

2017-02-15T22:51:30Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:51, 15 בפברואר 2017
שורה 2:		שורה 2:

	==סדרות קושי==		==סדרות קושי==
	הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול <math>L</math> . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו <math>\sqrt2</math> בשדה הרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלים.		הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול <math>L</math> . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו <math>\sqrt2</math> בשדה הרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלים.

	נגדיר אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש ~~שאיברי~~ הסדרה יתקרבו ~~אחד לשני~~, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.		נגדיר אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאברי הסדרה יתקרבו זה לזה, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.

	<font size=4 color=#3c498e>'''~~הגדרה.~~'''</~~font~~>		;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>
			סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N_\varepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m,n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>\|a_m-a_n\|<\varepsilon</math>

	~~סדרה~~ <math>~~a_n~~</math> ~~נקראת~~ '''~~סדרת קושי~~''' ~~אם לכל <math>\epsilon>~~0~~</math> קיים <math>N_\epsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>\|a_n-a_m\|<\epsilon</math>~~		במילים, אם לכל מרחק <math>\varepsilon</math> קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני אברים''' שואף ל-0, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.


	במילים, אם לכל מרחק <math>\epsilon</math> קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני אברים''' שואף לאפס, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.		;משפט.
			מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.
	~~'''משפט.'''~~ מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.

	ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- <math>\sqrt2</math> , שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.		ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- <math>\sqrt2</math> , שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.


	<font size=4 color=#a7adcd>~~'''~~תרגיל.~~'''~~</font>		;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>
			תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>\|a_n-a_{n-1}\|<\dfrac1{2^n}</math> . הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
	תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>\|a_n-a_{n-1}\|<\~~frac{1}~~{2^n}</math> . הוכח ש- <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

	;פתרון		;פתרון
	נוכיח ש- <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.		נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

	~~<math>\|a_m-a_n\|=\|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\|\le</math>~~

	~~<math>\le\|a_m-a_{m-1}\|+\|a_{m-1}-a_{m-2}\|+\cdots+\|a_{n+1}-a_n\|<</math>~~

	~~<math><\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+\cdots+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1}{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]</math> (לפי הנתון)~~

	<math>=\~~frac~~{1}{2^{n+1}}\~~left[~~\~~frac~~{1-\~~frac~~{1}{2^{m-n}}}{1-\~~frac~~{1}{2}}\right]=\~~frac~~{1}{2^n}\left[1-\~~frac{1}~~{2^{m-n}}\right]=\~~frac{1}~~{2^n}-\~~frac{1}~~{2^m}\le\~~frac{1}~~{2^n}\to0</math>		לפי הנתון
			:<math>\begin{align}
			\|a_m-a_n\|&=\Big\|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\Big\|\\
			&\le\|a_m-a_{m-1}\|+\|a_{m-1}-a_{m-2}\|+\cdots+\|a_{n+2}-a_{n+1}\|+\|a_{n+1}-a_n\|\\
			&<\dfrac1{2^m}+\dfrac1{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac1{2^{n+1}}=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\frac1{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\
			&=\dfrac1{2^{n+1}}\left[\dfrac{1-\frac1{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac1{2^n}\left[1-\frac1{2^{m-n}}\right]=\frac1{2^n}-\dfrac1{2^m}\le\dfrac1{2^n}\to0
			\end{align}</math>

יהודה שמחה ב־21:41, 8 בנובמבר 2016

2016-11-08T21:41:42Z

הצגת שינויים

ארז שיינר: /* סדרות קושי */

2011-11-24T22:06:04Z

סדרות קושי

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 נגדיר איפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי הסדרה יתקרבו אחד לשני, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.
 <font size=4 color=#3c498e>
@@ שורה 19: / שורה 18: @@
 ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת לשורש שתיים, שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.
 <font size=4 color=#a7adcd>

ארז שיינר: /* סדרות קושי */

2011-11-20T00:34:41Z

סדרות קושי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:34, 20 בנובמבר 2011
שורה 46:		שורה 46:


	::<math>=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{m-2}-\frac{1}{m-1}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}-\frac{1}{m}\leq \frac{1}{n}</math>		::<math>=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}-\frac{1}{m}\leq \frac{1}{n}</math>

	וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon > \frac{1}{\epsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\epsilon</math>		וכרגיל, עבור <math>N_\epsilon > \frac{1}{\epsilon}</math> אנו מקבלים את מה שצריך לכל <math>m>n>N_\epsilon</math>

ארז שיינר: /* סדרות קושי */

2011-11-20T00:34:00Z

סדרות קושי

@@ שורה 19: / שורה 19: @@
 ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת לשורש שתיים, שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.
@@ שורה 28: / שורה 62: @@
 ::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}</math>
-הוכח כי <math>\lim a_n = \infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.
+הוכח כי <math>\lim a_n = \infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "חזרה לסדרות ==סדרות קושי== הגדרת התכנסות סדרה ע..."

2011-11-20T00:19:32Z

יצירת דף עם התוכן "חזרה לסדרות ==סדרות קושי== הגדרת התכנסות סדרה ע..."

דף חדש

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]

==סדרות קושי==
הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול L. אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו שורש שתים בשדה הרציונאליים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאליים.

נגדיר איפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי הסדרה יתקרבו אחד לשני, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.

<font size=4 color=#3c498e>
'''הגדרה.'''
</font>

סדרה <math>a_n</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>N_\epsilon\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>m>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-a_m|<\epsilon</math>

במילים, אם לכל מרחק אפסילון קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני איברים''' קטן מאפסילון, אזי הסדרה הינה סדרת קושי.

'''משפט.''' מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.

ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת לשורש שתיים, שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.

<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.'''
</font>

תהי <math>a_n</math> סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה
::<math>a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1}</math>

הוכח כי <math>\lim a_n = \infty</math> (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.

'''הוכחה.'''

דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הינה מונוטונית עולה שכן <math>a_{n+1}-a_n = \frac{1}{n+1}>0</math>.

לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.

ניקח <math>\epsilon =\frac{1}{2}</math>. יהי <math>N\in\mathbb{N}</math> מקום כלשהו בסדרה, ויהי <math>n>N</math>. ניקח <math>m=2n</math>. מתקיים,

::<math>|a_{2n}-a_n|=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}+a_{2n-2}-...+a_{n+1}-a_n\Big|=</math>

::<math>=\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{n+1}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math>

ולכן מתקיימת '''שלילת''' ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.