88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/גזירות - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־11:38, 7 ביוני 2016

2016-06-07T11:38:17Z

ארז שיינר: /* אריתמטיקה של נגזרות ושאר נוסחאות */

2013-01-16T09:00:18Z

אריתמטיקה של נגזרות ושאר נוסחאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:00, 16 בינואר 2013
שורה 69:		שורה 69:

	::<math>\Big( f^{-1}\Big)'(x)=\frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x)\Big)}</math>		::<math>\Big( f^{-1}\Big)'(x)=\frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x)\Big)}</math>


			==נגזרות של פונקציות נפוצות==

			*[[מדיה:09Infi2Derivatives.jpg\|דף נוסחאות של נגזרות]]

	==רציפות הנגזרת==		==רציפות הנגזרת==

ארז שיינר: /* פרמה, רול ולגראנז' */

2012-03-08T00:42:15Z

פרמה, רול ולגראנז'

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:42, 8 במרץ 2012
שורה 100:		שורה 100:
	וקל לראות שפונקציה זו אינה חסומה באף סביבה של אפס ולכן אינה רציפה שם.		וקל לראות שפונקציה זו אינה חסומה באף סביבה של אפס ולכן אינה רציפה שם.

			==מונוטוניות==
			'''משפט.''' אם הנגזרת של f אי שלילית בקטע מסויים, אזי f מונוטונית לא יורדת בו. באופן דומה, אם הנגזרת אי חיובית, אזי הפונקציה מונוטונית לא עולה.
	==פרמה, רול ולגראנז'==		==פרמה, רול ולגראנז'==

			[[משפט פרמה (אינפי)\|משפט פרמה]]

			[[משפט רול]]

			[[משפט לגראנז' (אינפי)\|משפט לגראנז']]

ארז שיינר: /* אריתמטיקה של נגזרות */

2012-01-22T07:17:54Z

אריתמטיקה של נגזרות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:17, 22 בינואר 2012
שורה 44:		שורה 44:


	==אריתמטיקה של נגזרות==		==אריתמטיקה של נגזרות ושאר נוסחאות==

	::<math>(cf)'=c\cdot f'</math>		::<math>(cf)'=c\cdot f'</math>
שורה 66:		שורה 66:

	שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה <math>f^g = e^{ln\Big(f^g\Big)}=e^{gln(f)}</math>		שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה <math>f^g = e^{ln\Big(f^g\Big)}=e^{gln(f)}</math>


			::<math>\Big( f^{-1}\Big)'(x)=\frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x)\Big)}</math>

	==רציפות הנגזרת==		==רציפות הנגזרת==

ארז שיינר: /* רציפות הנגזרת */

2012-01-16T15:49:35Z

רציפות הנגזרת

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:49, 16 בינואר 2012
שורה 68:		שורה 68:

	==רציפות הנגזרת==		==רציפות הנגזרת==
			שאלה, האם קיימת פונקציה הגזירה בקטע '''פתוח''' שנגזרתה אינה רציפה בקטע זה?

			נחקור לצורך מענה על השאלה את הפונקציה הבאה:

			::<math>f(x)=x^2sin\Big(\frac{1}{x^2}\Big)</math>


			כיוון שזו הרכבה וחלוקה של פונקציות גזירות, זו פונקציה רציפה וגזירה לכל <math>x\neq 0</math>. בנקודה אפס הפונקציה אינה מוגדרת ולכן אינה רציפה ואינה גזירה.

			אולם, נוכיח כי אי הרציפות בנקודה אפס הינה סליקה, ונתקן את הפונקציה לקבל פונקציה רציפה על כל הממשיים:

			::<math>g(x)=f(x)</math> כאשר <math>x\neq 0</math> ו <math>g(0)=0</math>

			(קל לבדוק כי <math>\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=0</math> ולכן הפונקציה רציפה על כל הממשיים).


			האם g גזירה באפס? יש לבדוק ישירות מתוך ההגדרה (כיוון שהיא לא מוגדרת על ידי פונקציות אלמנטריות בנקודה זו).

			::<math>g'(0):=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=
			\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2sin\Big(\frac{1}{x^2}\Big))}{x}=0
			</math>

			על כן g גזירה באפס, וביחד היא גזירה על כל הממשיים.

			::<math>g'(x)=2xsin\Big(\frac{1}{x^2}\Big)-x^2sin\Big(\frac{1}{x^2}\Big)\cdot\Big(-\frac{2}{x^3}\Big)</math>


			וקל לראות שפונקציה זו אינה חסומה באף סביבה של אפס ולכן אינה רציפה שם.

	==פרמה, רול ולגראנז'==		==פרמה, רול ולגראנז'==

ארז שיינר ב־16:38, 15 בינואר 2012

2012-01-15T16:38:44Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:38, 15 בינואר 2012
שורה 43:		שורה 43:


	~~==רציפות הנגזרת==~~

	==אריתמטיקה של נגזרות==		==אריתמטיקה של נגזרות==
שורה 68:		שורה 67:
	שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה <math>f^g = e^{ln\Big(f^g\Big)}=e^{gln(f)}</math>		שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה <math>f^g = e^{ln\Big(f^g\Big)}=e^{gln(f)}</math>

			==רציפות הנגזרת==

	==פרמה, רול ולגראנז'==		==פרמה, רול ולגראנז'==

ארז שיינר: /* הגדרת הנגזרת */

2012-01-15T16:38:15Z

הגדרת הנגזרת

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:38, 15 בינואר 2012
שורה 41:		שורה 41:
	=\frac{1}{2\sqrt{x}}		=\frac{1}{2\sqrt{x}}
	</math>		</math>


			==רציפות הנגזרת==

	==אריתמטיקה של נגזרות==		==אריתמטיקה של נגזרות==

ארז שיינר: /* אריתמטיקה של נגזרות */

2012-01-15T16:11:28Z

אריתמטיקה של נגזרות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:11, 15 בינואר 2012
שורה 64:		שורה 64:

	שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה <math>f^g = e^{ln\Big(f^g\Big)}=e^{gln(f)}</math>		שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה <math>f^g = e^{ln\Big(f^g\Big)}=e^{gln(f)}</math>


			==פרמה, רול ולגראנז'==

ארז שיינר ב־16:09, 15 בינואר 2012

2012-01-15T16:09:56Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:09, 15 בינואר 2012
שורה 41:		שורה 41:
	=\frac{1}{2\sqrt{x}}		=\frac{1}{2\sqrt{x}}
	</math>		</math>

			==אריתמטיקה של נגזרות==

			::<math>(cf)'=c\cdot f'</math>


			::<math>(f+g)'=f'+g'</math>

			שימו לב: משני תנאים אלה ניתן לראות כי 'נגזרת' היא אופרטור לינארי על מרחב הפונקציות (שהוא אכן מרחב וקטורי).


			::<math>(f\cdot g)'=f'g+g'f</math>


			::<math>\Big(\frac{f}{g}\Big)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}</math>


			::<math>\Big(f(g)\Big)'=f'(g)\cdot g'</math>


			::<math>\Big(f^g\Big)'=f^g\Big[g'ln(f)+\frac{gf'}{f}\Big]</math>

			שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה <math>f^g = e^{ln\Big(f^g\Big)}=e^{gln(f)}</math>

ארז שיינר: /* הגדרת הנגזרת */

2012-01-15T15:36:46Z

הגדרת הנגזרת

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:36, 15 בינואר 2012
שורה 26:		שורה 26:

	::<math>f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}</math>		::<math>f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}</math>

			'''הערה חשובה:''' התייחסו אל <math>\Delta x</math> כאל משתנה יחיד, ולא כפונקציה את x.


			<font size=4 color=#a7adcd>
			'''דוגמא.'''
			</font>

			נגזור את הפונקציה <math>f(x)=\sqrt{x}</math> בנקודה כללית <math>x>0</math>.

			::<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}
			=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x (\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}
			=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}
			=\frac{1}{2\sqrt{x}}
			</math>